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CONTR ˆ OLE CONTINU DE MATH 2

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Academic year: 2022

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Universit´e Claude Bernard Lyon 1 PCSI Licence1 UE Math 2

CONTR ˆ OLE CONTINU DE MATH 2

Jeudi 6 novembre 2008. Dur´ee de l’´epreuve : 45 minutes

Il est interdit d’utiliser des calculatrices et de consulter des notes personnelles ou des livres. Les t´el´ephones portables doivent ˆetre ´eteints.

Exercice 1 Soit L : R2 −→ R2 l’application lin´eaire d´efinie, en coordonn´ees cart´esiennes, par

L x

y

=

2x−y x

.

Ecrire la matriceAassoci´ee `a Let calculer son d´eterminant detA.

Exercice 2 On consid`ere la fonction r´eelle de deux variables d´efinie par

f(x, y) =p

9−4x2−y2

sur l’ensembleD={(x, y)∈R2 |9−4x2−y2≥0}.

1. Quelles courbes sont les lignes de niveau 0, 1 et 3 de f? Les repr´esenter dansD.

2. Quelles courbes sont les fonctions partielles de f pour x= 0 et y = 0 ? Les repr´esenter respectivement dans le planyOzet dans le planxOz.

3. Dessiner sommairement le graphe de f dansR3, en utilisant les lignes de niveau et les fonctions partielles trouv´ees pr´ec´edemment.

Exercice 3 On consid`ere la fonction r´eelle de deux variables d´efinie par

f(x, y) = sinx y ,

sur l’ensembleD={(x, y)∈R2 |x∈[0,2π], y >0}.

1. Calculer le gradient de f en un point (x, y)∈D.

2. Ecrire l’approximation au 1er ordre de f(x, y) autour du point (π2,1).

3. Calculer la matrice hessienne de f en un point (x, y)∈D.

Exercice 4 Calculer les d´eriv´ees partielles par rapport `a uet v de la fonction

f(x, y) =y sh(x), o`u

x=u2+v2

y=uv ,

sans calculer la fonction compos´ee.

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