L YC EE ´ H.PACHA
D EVOIR DE CONTR OLE ˆ # 1.
A NN EE SCOLAIRE ´ 2011 2012
Pr : Ben fredj sofiane
Le devoir dure 2 heures. Les alulatries sont autorisees, mais :
l'ehange de tout materiel est interdit
Les brouillons ne sont pas aeptes dans les opies. Une opie non soignee
sera santionnee.
E XERCICE 1 ( 5 POINTS ).
Repondre par vrai ou faux, en justiant la reponse.1 Le quotient du nombre 2721 par 347 est 7.
2 Si p est un entier premier tel que p > 2 alors 12 divise p 3
p.
3 Les deux suites (a
n
) et (b
n
) denies i-dessous sont adjaentes.
Pour tout n 2 N
∗
, a
n
= 1
n et b
n
=1+ 1
n
4 (u
n
) et (v
n
) sont deux suites telles que : pour tout n 2N, v
n
= (u
n )
2
.
Si (v
n
) onverge alors (u
n
) est onvergente.
E XERCICE 2 ( 5 POINTS ).
Pour tout n 2N∗
, on pose : Hn =n
X
k=1 1
k .
1 a Montrer que (H
n
) est roissante.
b Montrer que pour tout n 1, H
2n H
n
= n
X
k=1 1
k+n .
Montrer que pour tout n 1, H
2n H
n
1
2
d Montrer que lim
n
→
+H
n
=+.
2 Montrer que pour tout k 2N
∗
, 1
2k
p
k p
k 1.
3 Deduire que pour tout n 1, H
n 2
p
n.
4 Caluler lim
n
→
+H
n
n .
1 D EVOIR DE CONTR OLE ˆ # 1
SECTIO4
`emeN
MATH´EMATIQUE S
E XERCICE 3 .
(5 POINTS
)1 Resoudre dans C, l'equation : z 2
z+1= 0.
On donnera les solutions de (E) sous forme exponentielle.
2 On onsidere dans C, l'equation :
(E): z 3
(1+i)z 2
+(1+i)z i= 0
a Montrer que i, e i
3
et e
−
i3sont les solutions de (E).
b Resoudre alors dans C, les equations :
(E
′
): z 3
+(1+i)z 2
+(1+i)z+i= 0
(E
′′
): z 6
(1+i)z 4
+(1+i)z 2
i= 0
On donnera les solutions de (E
′
) et (E
′′
) sous forme exponentielle.
E XERCICE 4 .
(5 POINTS
) Le plan omplexeest rapporte a un repere orthonorme diret(O;
!
u ;
!
v).
1 a z;z
′
sont deux nombres omplexes tels que z 6= z
′
.
Montrer que si z et z
′
ont le m^eme module alors z
′
+z
z
′
zest imaginaire pur.
b z;z
′
et z
′′
sont les aÆxes respetivesdes points M, M
′
etM
′′
et soitH le point
d'aÆxe z
H
= z+z
′
+z
′′
.
On supposeque z;z
′
et z
′′
sont deux a deux distintstels que jzj =jz
′
j =jz
′′
j.
Montrer que H est l'orthoentre du triangle MM
′
M
′′
.
2 Soient A;B et C les points d'aÆxes respetives :
a =2e i
, b =2e 2i
et =2e 3i
,
et soit K le point d'aÆxe z
K
=a+b+ ou etant un reel de l'intervalle ℄0;[
a Montrer que K est l'orthoentre du triangle ABC.
b Montrer que
a
b a
= 2os
2
e i
2
Determiner la valeur de dans ℄0;[ pour que K soit le entre du erle
ironsrit du triangle ABC.
d Plaer soigneusement A;B et C pour la valeur trouvee.
2 D EVOIR DE CONTR OLE ˆ # 1
SECTIO4
`emeN
MATH´EMATIQUE S
