Universit´e de Bordeaux
Master 1 MSS 26/10/2017
CONTR ˆ OLE CONTINU
PROBABILIT´ ES ET STATISTIQUE
Dur´ee 2h00
PROBL`EME I. Soit p ∈]0,1[. On effectue une suite de tirages successifs avec remise dans une urne contenant des jetons de 2 types : des jetons portant le num´ero 1 en proportion pet des jetons portant le num´ero 0 en proportion 1−p. On appelle s´erie une suite de num´eros identiques. Soit X la longueur de la premi`ere s´erie et Y la longueur de la deuxi`eme s´erie.
Par exemple, pour le tirage 1111001100..., on a X = 4 etY = 2.
1. Pour tout i∈N∗, on d´efinit l’´ev`enement :
Ai =«le i`eme jeton tir´e porte le num´ero 1».
Pour k ∈ N∗ exprimer l’´ev`enement {X =k} en fonction des ´ev`enements Ai. Donner la loi de X.
2. Calculer la loi de (X, Y). En d´eduire la loi de Y. 3. CalculerP(X =Y).
PROBL`EME II. Soit (X, Y) un vecteur al´eatoire de densit´e f(x, y) = 2e−(x+y)106x6y.
1. D´eterminer les densit´es de X etY.
2. Calculer la fonction de r´epartition deY etE[Y]. On rappelle que l’esp´erance d’une loi exponentielle E(λ) vaut 1/λ.
3. Les variablesX et Y sont elles ind´ependantes ?
PROBL`EME III. On consid`ere une variable al´eatoire X de loi de Pareto P(a), de densit´e
h(x) = a
xa+11[1,+∞[(x), oa >0 est un param`etre.
1. On consid`ere n variables al´eatoiresX1, ..., Xn ind´ependantes de loiP(a). Donner l’es- timateur du maximum de vraisemblance de a pour l’´echantillon X1, ..., Xn.
2. Donner la loi de la variable al´eatoire Z = lnX.
PROBL`EME IV. Soient X et Y deux variables al´eatoires ind´ependantes et de mˆeme loi E(1). Rappelons que la loi exponentielle de param`etre 1 est une loi continue de densit´e
f(x) = e−x1x>0. Soient U et V les variables al´eatoires r´eelles d´efinies par
U = X
Y , V =Y.
1. Le vecteur (X, Y) est-il un vecteur al´eatoire `a densit´e ? Si oui donner sa densit´ef(X,Y). 2. Montrer que le couple (U, V) est un vecteur `a densit´e et donner sa densit´e.
3. Donner les lois marginales de U etV.
4. Les variables al´eatoiresU etV sont elles ind´ependantes ? 5. CalculerE[U].
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