EX E633 1) Premier cas: numérotons les jetons (et les positions) à partir de 0. La transformation numéro 1 fait passer de la suite A = (a

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EX E633

1) Premier cas: numérotons les jetons (et les positions) à partir de 0. La transformation numéro 1 fait passer de la suite A = (a0, a1, a2, ..., a2n−1) à la suite B = (a0, an, a1, an+1, ..., an−1, a2n−1). On remarque que a0 et a2n−1

restent fixes alors que pour 1 6k 62n−2, ak est transporté en position 2k modulo 2n−1 (sik>nla position est 1 + 2(k−n)≡2kmodulo 2n−1). Il en résulte qu’aprèsptransformations, a_k est en position 2^pk modulo 2n−1; par suite,a₁ne retrouve sa position initiale que lorsque 2^p≡1 modulo 2n−1 c’est-à- dire pourpégal à l’ordre multiplicatif de 2 modulo 2n−1. Tous les termes de la suite initiale ont alors retrouvé leur position initiale. On obtient pour 26n612 les valeurs dep: 2,4,3,6,10,12,4,8,18,6,11; c’est la suite A2326 de l’encyclopédie des suites d’entiers. Appliquons ceci aux jetons blancs et noirs. Si on prend comme suite initiale la suite formée denfois B suivis denfois N, on retrouvera cette même suite quand l’ensemble {2^k ×1,2^k ×2, ...,2^k ×(n−1)} modulo 2n−1 sera égal à{1,2, ..., n−1}; or cela entraine que 2^k(1 + 2 +...+ (n−1))≡ 1 + 2 +...+ (n−1) modulo 2n−1 c’est-à-dire (2^k−1)n(n−1)/2≡0 modulo 2n−1 qui entraine 2^k ≡1 modulo 2n−1 (puisque 2n−1 est premier avecnet n−1). On obtient donc quef(n) =p(ordre multiplicatif de 2 modulo 2n−1).

Application num´erique: pour 2n = 52 on obtient p = 8; pour 2n = 10⁶ on a p= 180.

2) Deuxième cas: numérotons cette fois les jetons (et les positions) à partir de 1. La transformation numéro 2 fait passer de la suite A = (a₁, a₁, ..., a_2n)

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a la suiteB = (a_n+1, a₁, a_n+2, a₂, ..., a_2n, a_n). On remarque que pour 16k 6 2n, a_k est transporté en position 2k modulo 2n+ 1 (si k > n la position est 2(k−n)−1≡2k modulo 2n+ 1). Il en résulte qu’aprèsptransformations,a_k est en position 2^pkmodulo 2n+ 1; par suite,a1 ne retrouve sa position initiale que lorsque 2^p≡1 modulo 2n+ 1 c’est-à-dire pourpégal à l’ordre multiplicatif de 2 modulo 2n+ 1. Tous les termes de la suite initiale ont alors retrouvé leur position initiale. On retrouve la suite A2326 de l’encyclopédie des suites d’entiers. Application numérique: pour 2n= 52 on obtientp= 52.

Appliquons ceci aux jetons blancs et noirs. Si on prend comme suite initiale la suite formée denfois B suivis de nfois N, on retrouvera cette suite ou bien la suite avec B et N échangés quand l’ensemble{2^k×1,2^k×2, ...,2^k×n} modulo 2n+ 1 sera égal à {1,2, ..., n} où à {n+ 1, n+ 2, ...,2n}; or cela entraine que 2^k(1 + 2 +...+n) ≡ 1 + 2 +...+n ou 1 + 2 +...+n+n² modulo 2n+ 1 c’est-à-dire (2^k −1)n(n+ 1)/2 ≡0 ou n² modulo 2n+ 1 qui entraine 2^k ≡ 1 modulo 2n+ 1 ou 2^k ≡ −1 modulo 2n+ 1 (puisque 2n+ 1 est premier avecn et n+ 1). Réciproquement, si 2^k ≡1 modulo 2n+ 1 la suite est retournée à son état initial alors que si 2^k ≡ −1 modulo 2n+ 1 on a échangé les B et les N dans la suite initiale. On obtient donc quef(n) =q(sous-ordre multiplicatif de 2 modulo 2n+ 1) c’est-à-dire le plus petit entierq >1 tel que 2^q ≡ ±1 modulo 2n+ 1. Pour 26n6 12: q= 2,3,3,5,6,4,4,9,6,11,10; c’est la suite A3558 de l’encyclopédie. Application numérique: pour 2n= 10⁶ on obtientp= 4950 (avec échange des B et N); pour 2n= 10⁹ on ap= 525780 (avec retour à l’état initial).

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3) Troisième cas: c’est le conjugué du deuxième cas par l’applicationϕqui

échange lesn premiers termes de la suite avec les n derniers, c’est-à-dire que pour réaliser la transformationT3 on effectue ϕsuivie de T2 suivie deϕ(ϕest

égale à son application réciproque). Il en résulte que le cas 3 donne les mêmes résultats que le cas 2.

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