Universite Paris XII, Licence L2 2007-2008 1
Mathematiques Contr^ole Continu N2
Groupe TD N4
Gwenn PARENT
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Exercice 1 : (2 points)
L'ensemble E1= f(x; y) 2 R2 j x + y = 0g est-il un sous-espace vectoriel de R2?
Exercice 2 : (10 points)
On considere l'application lineaire f : R3! R3 donnee par
f(x; y; z) = (x + y z; y z; x + z) 1. Ecrire la matrice de l'application f dans la base canonique (e1; e2; e3).
2. Soit v1= (1; 0; 2), v2= (0; 1; 1) et v3= ( 1; 2; 1). Montrez que (v1; v2; v3) est une base de R3. 3. Ecrire la matrice de f dans la base (v1; v2; v3).
4. Exprimez f(v1), f(v2) et f(v3) en fonction de v1, v2 et v3.
5. Quelles sont les coordonnees du vecteur w = (1; 2; 1) dans la base (v1; v2; v3) ? En deduire une expression de w en fonction de v1, v2 et v3.
Exercice 3 : (8 points)
Soit la matrice : A = 0
@ 3 2 2
12 8 6
8 5 3
1 A
1. Calculez les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice A.
2. La matrice A est-elle diagonalisable ? Si oui, explicitez la matrice diagonale D semblable a A, ainsi que la matrice de passage correpondante.
3. Determinez An.
