Lyc´ee Saint Louis MP2, ann´ee 2011-2012. Benoˆıt Patra
TP MAPLE 5 : Alg`ebre lin´eaire : R´eduction1
Exercice 1. Etude d’un op´erateur lin´eaire Pour une matriceM ∈ Mn(K),
fM :X ∈ Mn(K)7→XM−M X∈ Mn(K).
1. Ecrivez une proc´edureMatfqui prend en entr´ee une matriceM de taillen×net qui renvoie la matrice de taillen2×n2defM dans la base canonique.
2. Calculez les valeurs propres defAet defB. Conjecturez une relation entre les valeurs propres deM et celles defM.
3. Testez la validit´e de votre conjecture pourRetHavec des valeurs approch´ees.
A=
1 2 4 8
, B=
1 −5 5 1
SoientR1,R2des matrices al´eatoires de tailles5×7et7×5, etR=R2×R1. H = (hi,j)de taille10×10avec hi,j=i+j1 .
Exercice 2. Un endomorphisme sur l’espace des polynˆomes SoitQ∈R[X]avecdegQ≤2etd≥2. On pose :
ΦQ : Rd[X] −→ Rd[X]
P 7→ XdP X1
+P(x+ 1) +QP00. 1. V´erifier queΦQest bien d´efinie et lin´eaire.
2. Ecrivez une proc´edure qui prendd, Qen entr´ee et qui renvoie la matrice deΦQdans la base des(Xn)n. 3. Testez votre proc´edure pourd∈ {2,3},Q∈ {0, X}et v´erifiez le r´esultat.
4. Calculez une valeur approch´ee des ´el´ements propres deΦQavecd= 4etQ=X2+X+ 1.
Exercice 3. Etude de quelques endomorphismes
1. SoitM1=
4 −1 4 0
. Calculez les ´el´ements propres deM1.M1est-elle diagonalisable ? Trouvez une base dans laquelle est triangle sup´erieure, puis trouvez une base dans laquelleM1est triangulaire sup´erieure et dans laquelle le coefficient surdiagonal est1.
2. SoitM1=
35 −116 10 −33
. Calculez mes ´el´ements propres deM2.M2est diagonalisable dansC? dansR? Trouvez une base dans laquelleM2est de la forme
acosθ −asinθ asinθ acosθ
.
3. SoitM1=
3 0 −1 0
−1 2 0 1
0 0 3 0
−1 −1 −1 4
etM4=
2 −3 −2 −2
0 4 1 1
1 2 4 1
0 −1 −1 2
.
(a) Calculez les ´el´ements propres deM3etM4. Sont-elles diagonalisables ? Peut-on conclure queM3etM4
sont semblables ?
(b) On appellee1ete3deux vecteurs propres ind´ependants deM3. Trouver deux vecteurse2ete4 tels que M3e2= 3e2+e1etM3e4= 3e4+e3(voirLinearSolve) et montrer que(e1, e2, e3, e4)est une base deR4. Que vaut la matrive deM3dans cette base ? Que vaut le polynˆome minimal deM3?
1le corrig´e sera mis en ligne `a l’adressehttp://www.lsta.upmc.fr/doct/patra/, un imprim´e peut ˆetre obtenu sur simple demande.
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(c) On appellef1etf4deux vecteurs propres ind´ependants deM4. Trouver un vecteurf2tel queM4f2 = 3f2+fiet un vecteurf3tel queM4f3 = 3f3+f2, o`ui= 1ou4. Si besoin, ´echangezf1etf4de sorte quei= 1. Montrer que(f1, f2, f3, f4)est une base deR4. Que vaut la matrice deM4dans cette base ? Que vaut le polynˆome minimal deM4?
(d) M3etM4sont-elles semblables ?
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