Universite Paris XII, Licence L2 2007-2008 1
Mathematiques Contr^ole Continu N2
Groupe TD N2
Gwenn PARENT
Aucun document ni formulaire n'est autorise. Vous disposez de 45 minutes.
La calculatrice est egalement interdite.
Exercice 1 : (2 points)
L'ensemble E1= f(x; y) 2 R2 j x2+ y2= 0g est-il un sous-espace vectoriel de R2?
Exercice 2 : (10 points)
Soient les suites recurrentes un, vn et wn denies par le systeme suivant : 8<
:
un+1 = 3un+ 4vn 4wn
vn+1 = 2un vn+ 2wn
wn+1 = 2un+ wn
1. Posons Zn= 0
@un vn wn
1
A. Exprimez Zn+1 en fonction de Zn.
2. Donnez l'expression de un, vn et wn en fonction de n, u0, v0 et w0. 3. Soit Z0=
0
@1 11
1
A, donnez l'expression de Zn en fonction de n.
Exercice 3 : (8 points)
Soit l'application lineaire f : R3! R2 denie par
f(x; y; z) = (2x z; x + y; x y + z) 1. Veriez que f est lineaire.
2. Ecrire la matrice de f dans la base canonique de R3.
3. L'application f est-elle bijective ? Si oui determinez son application reciproque f 1. Sinon, determinez son noyau et son image.
