Contrˆ ole continu n

L31B Topologie 1^er semestre 2006/2007

Contrˆ ole continu n

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Dur´ee 2h, documents, calculettes et t´el´ephones interdits

Exercice 1 : Donner la d´efinition d’un ensemble compact. Donner un exemple de compact du plan R².

Exercice 2 : On note `<sup>∞</sup>(N) l’espace vectoriel des suites (u<sup>n</sup>)<sup>n</sup>∈N r´eelles et born´ees que l’on munit de la norme k.k∞ d´efinie par k(un)k∞= supn∈N|un|. On consid`ere l’op´erateur

∆ :

`<sup>∞</sup>(N) −→ `^∞(N)

(uⁿ) 7−→ (vⁿ)

o`u vn =un+1−un

Montrer que ∆ est une application lin´eaire continue et calculer |||∆|||.

Exercice 3 : On munit R de sa topologie usuelle. Soient a, b, a⁰ et b⁰ quatre nombres r´eels.

1) Montrer que le segment [a, b[ est hom´eomorphe au segment ]a⁰, b⁰].

2) Montrer que le segment [a, b] n’est pas hom´eomorphe au segment ]a⁰, b⁰].

Exercice 4 : On munit la droite Rde sa topologie usuelle. Donner un exemple de partie A de R pour laquelle les ensembles

A, A, A,^o

o

A, A^o

sont deux `a deux distincts.

T.S.V.P.

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Exercice 5 : On munit le plan R² de sa topologie usuelle. Pour chaque ensemble suivant, dire s’il est ouvert ou ferm´e, ou ni l’un ni l’autre. Donner son int´erieur, son adh´erence et sa fronti`ere. On prendra soin de justifier chaque r´eponse par de brefs arguments.

A= [0,1[×]1,+∞[

C ={(0,0)} ∪ {(0,_n+1¹ ), n∈N}

B ={(x, y), inf(|x|,|x−y|)≤1}

D=Q²∪ {(x, y), x+y <1}

Exercice 6 : Soit X = C⁰([0,1],R) muni de la norme de la convergence uniforme k.k∞. Soit A le sous-ensemble de X d´efini par

A={f ∈X, ∃(x−, x+)∈[0,1]², f(x−)<0 et f(x+)>0}.

L’ensemble A est-il ouvert dans X ? Donner son int´erieur et montrer que son adh´erence est

A={f ∈X, ∃x0 ∈[0,1], f(x0) = 0}. D´ecrire les ´el´ements de la fronti`ere de A.

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