ECS2 Lycée Louis Pergaud
Endomorphismes symétriques
TD18
Endomorphismes symétriques
Exercice 18.1 (F)
On munit l’espaceR3 du produit scalaire canonique et on considère l’endomorphisme f de R3 défini, pour tout vecteurx= (x1, x2, x3) de R3 par :
f(x) = (3x1+x2+x3, x1+ 3x2+x3, x1+x2+ 3x3). Montrer que l’endomorphisme f est symétrique.
Exercice 18.2 (F)
Dans R3 muni du produit scalaire canonique, on considère l’endomorphisme f dont la matrice rela- tivement à la base canonique de R3 est A=
1/2 0 −1/2
0 0 0
−1/2 0 1/2
.
Montrer quef est la projection orthogonale sur un sous-espace de R3 que l’on déterminera.
Exercice 18.3 (FF - Structure des endomorphismes symétriques - ) On note S l’ensemble des endomorphismes symétriques de E.
1. Montrer queS est un sous-espace vectoriel deL(E).
2. Soit (f, g) un couple d’éléments de S.
Montrer quef ◦g∈S si et seulement sif etg commutent.
3. Soit f ∈S. Montrer que pour toutn∈N,fn∈S puis que pour tout P ∈R[X],P(f)∈S.
Exercice 18.4 (FF)
Soitf ∈L(E). On suppose quef est symétrique. Montrer que Ker(f) et Im(f) sont supplémentaires orthogonaux dansE.
Réduction des endomorphismes symétriques
Exercice 18.5 (F) Soit la matriceA=
2 2 −2
2 5 −4
−2 −4 5
∈M3(R).
1. Montrer queA est diagonalisable.
2. Déterminer le rang deA−I3. En déduire que 1 est valeur propre deAet déterminer dim(E1(A)).
En déduire les autres valeurs propres deA.
3. Déterminer une base des sous-espaces propres deA.
4. Déterminer une matrice orthogonaleP et une matrice diagonaleD telles queA=P DtP.
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Exercice 18.6 (F)
Pour chacune des matrices symétriques suivantes, déterminerDdiagonale etP orthogonale telles que A=P D tP :
A= 4 3 3 −4
!
; A=
3 2 4 2 0 2 4 2 3
; A=
−1 0 2
0 1 2
2 2 0
.
Exercice 18.7 (FF)
1. Montrer qu’on définit un produit scalaireh·,·i surE =R3[X] en posant :
∀(P, Q)∈E2, hP, Qi=Z 1
−1
P(t)Q(t)dt.
2. On définitf :P ∈E 7→2XP0+ (X2−1)P00. Montrer quef ∈L(E).
3. Montrer que : ∀P, Q∈R3[X],hf(P), Qi=− Z 1
−1P0(t)Q0(t)(t2−1)dt.
En déduire quef est symétrique. f est-il diagonalisable ? 4. Déterminer le spectre def. f est-il un automorphisme ? 5. Déterminer une base orthonormée de vecteurs propres de f.
Exercice 18.8 (FF - D’après EM Lyon 2013)
Soit X ∈Mn,1(R) avec kXk= 1, et soitS =X tX. On munit Mn(R) du produit scalaire hM, Ni= Tr(tM N).
1. Montrer queS est symétrique et vérifieS2 =S.
2. Soit Φ : Mn(R) → Mn(R) défini par Φ(M) = SM. Vérifier que Φ est un endomorphisme symétrique de Mn(R).
3. Montrer que Φ2 = Φ. Que dire des valeurs propres de Φ ?
4. Montrer que Ker(Φ) et Ker(Φ−IdMn(R)) sont supplémentaires orthogonaux dansMn(R).
Exercice 18.9 (FF)
Soit A ∈Mn(R) une matrice symétrique. On suppose qu’il existek ∈N∗ tel que Ak = In. Montrer queA2=In.
Exercice 18.10 (FF)
Soit A= (ai,j)∈Sn(R), et soient λ1, . . . , λp les valeurs propres distinctes deA. Montrer que :
n
X
i=1 n
X
j=1
a2i,j =
p
X
i=1
λ2i dim(Eλi(A)).
Exercice 18.11 (FF - )
Soit A∈Mn(R), et soit B= tAA. On munit Mn,1(R) de son produit scalaire canonique.
1. Montrer queB est symétrique et que B= 0⇔A= 0.
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2. Soitλ∈Spec(B) etXun vecteur propre deBassocié àλ. En calculant de deux façonshBX, Xi, montrer que λ≥0.
3. Montrer queE0(A) =E0(B) et en déduire que rg(B) = rg(A).
Exercice 18.12 (FFF)
On munit Rn de son produit scalaire canonique, et on considère (u1, . . . , up) une famille libre deRn, avec p≤n. On définit une applicationf :Rn→Rn parf(x) =
p
X
i=1
hx, uiiui pour toutx∈Rn. 1. Montrer quef est un endomorphisme symétrique, et déterminer son noyau et son image.
2. On suppose à présent que p=n.
(a) Montrer que les valeurs propres def sont toutes strictement positives.
(b) Montrer qu’il existe un endomorphisme symétriqueg, dont toutes les valeurs propres sont strictement positives, et tel que g2 =f−1.
(c) Établir que (g(u1), . . . , g(un)) est une base orthonormée deE.
Exercice 18.13 (FFF - QSP ESCP 2015) Soit Aune matrice de Mn(R) telle que tAA=A tA.
On suppose qu’il existe p∈N∗ tel queAp= 0. Montrer que A= 0.
Exercice 18.14 (FFFF - Endomorphismes antisymétriques - HEC 2017 - ) Soit E un espace euclidien de dimensionn≥1 muni d’un produit scalaire notéh·,·i.
Dans tout l’exercice, on considère un endomorphismeϕde E antisymétrique, c’est-à-dire tel que :
∀(x, y)∈E2, hx, ϕ(y)i=−hϕ(x), yi.
1. Établir les propriétés suivantes :
(a) Pour toutx∈E, on a : hx, ϕ(x)i= 0.
(b) Im(ϕ) = Ker(ϕ)⊥.
(c) SoitF un sous-espace vectoriel deE. Montrer que siF est stable parϕ, alorsF⊥est stable parϕ.
(d) Ker(ϕ) = Ker(ϕ2), oùϕ2 =ϕ◦ϕ.
(e) Le spectre deϕest soit vide, soit réduit à{0}.
2. Montrer que toutes les valeurs propres deϕ2 sont négatives ou nulles.
3. Soit :
• F un sous-espace vectoriel de E de dimensionp≥2,
• α un réel strictement positif,
• uun endomorphisme antisymétrique deFtel queu2 =−α2IdF, où IdF est l’endomorphisme identité deF.
(a) On suppose que p= 2. Établir l’existence d’une base orthonormale de F dans laquelle la matriceAα de uest donnée par : Aα= 0 −α
α 0
! .
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(b) À l’aide d’un raisonnement par récurrence surp, montrer qu’il existe une base orthonormale de F dans laquelle la matriceBα de u est de la forme :
Bα =
Aα (0) . . . (0) (0) Aα ... ...
... ... ... (0) (0) . . . (0) Aα
.
Formes quadratiques
Exercice 18.15 (F)
1. Déterminer les formes quadratiques q1 etq2 associées aux matrices suivantes :
A= 2 1 1 2
!
; B =
1 −1 −1
−1 2 0
−1 0 2
.
2. Déterminer la matrice dont proviennent les formes quadratiques suivantes :
q3((x, y, z)) = 2xy+ 2xz+ 2yz; q4((x, y, z)) =x2+ 2y2+ 2z2+ 2xy−yz.
3. Déterminer le signe des 4 formes quadratiques précédentes.
Exercice 18.16 (FF - Quotients de Rayleigh - )
Soit E un espace euclidien et f un endomorphisme symétrique de E. Soit λ la plus petite valeur propre de f etµla plus grande valeur propre.
1. Montrer que pour toutx∈E\ {0E}, on a : λ≤ hf(x), xi kxk2 ≤µ. 2. En déduire que :
λ= min
x6=0
hf(x), xi
kxk2 et queµ= max
x6=0
hf(x), xi kxk2 .
3. Dans le cas oùfest l’endomorphisme deMn,1(R) canoniquement associé à une matrice symétrique A∈Mn(R), quel résultat de cours retrouve-t-on ?
Exercice 18.17 (FFF - Matrices symétriques définies positives - )
On dit qu’une matrice symétrique M de Mn(R) est définie positive si pour tout X ∈ Mn,1(R) non nul, on a qM(X) = tXM X >0.
1. Soit L∈Mn(R) inversible. Montrer que M = tLLest une matrice symétrique définie positive.
2. Soit M ∈Mn(R) une matrice symétrique.
(a) Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes : (i) M est définie positive.
(ii) Les valeurs propres deM sont strictement positives.
(iii) Il existe une matrice orthogonaleP et une matrice diagonaleDà coefficients diagonaux strictement positifs telles queM = tP DP.
(iv) Il existe une matrice symétrique et inversible L∈Mn(R) telle que M =L2. (b) Montrer qu’il existeP ∈Rn−1[X] tel queL=P(M).
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