1.2 Caractérisation d’un endomorphisme symétrique.

(1)

Algèbre bilinéaire : Compléments

Table des matières

1 Endomorphismes symétriques d’un espace euclidien, matrices symétriques. 2

1.1 Définitions. . . 2

1.2 Caractérisation d’un endomorphisme symétrique. . . 2

1.3 Propriétés des endomorphismes symétriques. . . 3

2 Projection orthogonale. 3 2.1 Projection orthogonale sur un sous-espace vectorielF. . . 3

2.2 Caractérisation du projeté orthogonal. . . 3

2.3 Caractérisation d’une projection orthogonale. . . 4

2.4 Expression du projeté orthogonal dans une base orthonormée deF. . . 4

2.5 Matrice dep_F dans une base orthonormée deE. . . . 4

2.6 Caractérisation par minimisation de la norme. . . 4

2.7 Application au problème des moindres carrés. . . 5

3 Réduction des endomorphismes et des matrices symétriques. 6 3.1 Théorème fondamental sur la réduction des endomorphismes symétriques. . . 6

3.2 Réduction des matrices symétriques deMn(R). . . 6

4 Étude du signe d’une forme quadratique . 7

(2)

1 Endomorphismes symétriques d’un espace euclidien, matrices symétriques.

Dans cette section,Edésigne un espace vectoriel de dimension finie

1.1 Définitions.

Définition d’un endomorphisme symétrique

Un endomorphismef d’un espace vectoriel euclidienEest symétrique si et seulement si pour tout couple (x,y)de vecteurs deE, on a :

〈f(x), y〉 = 〈x, f(y)〉.

Exercice 1 Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n, n étant un entier naturel supérieur ou égal à 3. Soit (a,b)une famille libre de E. Soit f l’application :

x7−→<a,x>b+<b,x>a 1. Montrer que f est un endomorphisme symétrique de E.

2. Déterminer le noyau et le rang de f . 3. Déterminer une base de Im(f).

Exercice 2 Soit E un espace euclidien. Soit f un endomorphisme symétrique de E.

1. Montrer queKerf = (Imf)^⊥. 2. Montrer queKerf²=Kerf . 3. Montrer queImf²=Imf .

Exercice 3 E=Rn[X]est muni du produit scalaire défini par :

∀(P,Q)∈E² , 〈P,Q〉= Z1

0

P(t)Q(t)dt On considèreΦdéfini par :

∀P∈E , Φ(P) =P(1−X). 1. Montrer queΦest un endomorphisme symétrique.

2. DéterminerΦ◦Φ. Quelle propriété du spectre deΦpeut-on en déduire ? 3. Écrire la matrice deΦdans la base

1,(X−¹₂), . . . ,

X−¹₂n . Définition

Une matriceM∈ Mn(R)est dite symétrique lorsque^tM=M.

On noteSn(R)l’ensemble des matrices carrées d’ordren, à coefficients réels, symétriques.

Exercice 4 Montrer queSn(R)est unR-espace vectoriel de dimension n(n+1)

2 .

1.2 Caractérisation d’un endomorphisme symétrique.

Théorème

SoitEun espace euclidien. Soit f un endomorphisme deEetBune base orthonormée deE.

Alors, f est symétrique si et seulement si sa matrice dansBest symétrique.

(3)

1.3 Propriétés des endomorphismes symétriques.

Théorème

Si f est un endomorphisme symétrique d’un espace euclidienEet siF est un sous-espace vectoriel deE stable par f, alorsF^⊥est stable par f.

Théorème

Les sous-espaces propres d’un endomorphisme symétrique f d’un espace euclidien sont deux à deux orthogonaux.

Corollaire

Si(u_k)1¶k¶p sont pvecteurs propres d’un endomorphisme symétrique f d’un espace euclidien, associés à des valeurs propres distinctes, alors la famille(u_k)1¶k¶p est une famille orthogonale.

2 Projection orthogonale.

2.1 Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel F .

Définition

SoitEun espace euclidien. SoitF un sous-espace vectoriel deE.

On appelleprojection orthogonalesurFla projection surF parallèlement àF^⊥, que l’on notep_F.

Remarque p_F+p_F⊥=id_E.

2.2 Caractérisation du projeté orthogonal.

Théorème

Soitp_F la projection orthogonale surF. Soitx∈E. Alors :

y=p_F(x)⇐⇒







y∈F et x−y∈F^⊥

(4)

2.3 Caractérisation d’une projection orthogonale.

Théorème

Soitpun projecteur deE. Alorspest un projecteur orthogonal si et seulement si Ker(p)⊥Im(p). Théorème

Sip est un projecteur (ou une projection) deEalors pest un projecteur orthogonal (ou une projection orthogonale) si et seulement sipest un endomorphisme symétrique.

Corollaire

SoitEun espace euclidien etBune baseorthonorméedeE. Soitf ∈ L(E). On noteM=Mat_B(f) alors

f est un pr o jec t eur or tho g onal⇐⇒







tM=M et M²=M

2.4 Expression du projeté orthogonal dans une base orthonormée de F.

Théorème

Soitp_F la projection orthogonale surF. Si(u₁, . . . ,u_k)est une base orthonormée deF, alors :

∀x∈E , p_F(x) =P^k

i=1〈x,u_i〉u_i.

2.5 Matrice de p

_F

dans une base orthonormée de E.

Théorème

SoitB est une base orthonormée de E. Si (u₁, . . . ,u_k)est une base orthonormée deF et si U₁, . . . ,U_k sont les vecteurs colonnes associés aux vecteursu₁, . . . ,u_kdans la baseB, alors :

Mat_B(p_F) =

k

X

i=1

U_i^tU_i.

Exercice 5 DansR³muni du produit scalaire canonique, on considère le plan P d’équation x+y−z=0. Déterminer la matrice de la projection orthogonale sur P dans la base canonique deR³et la matrice de la projection orthogonale sur P^⊥dans la base canonique deR³.

Exercice 6 Soit E un espace euclidien. Soit F un hyperplan de E. Soit−→a un vecteur unitaire dirigeant F^⊥. Exprimer p_F(−→x)à l’aide de−→x et−→a .

Exercice 7 Soit~u un vecteurunitairedeR³de coordonnées(a,b,c)dans la base canoniqueB= (~i,~j,~k)deR³. On a donc a²+b²+c²=1.

On note p le projecteur orthogonal sur la droiteDde vecteur directeur~u et q le projecteur orthogonal surD^⊥. id désigne l’application identité deR³et〈., .〉le produit scalaire canonique deR³.

1. Que vaut p+q ?

2. Exprimer, pour~v∈R³, p(~v)à l’aide de〈~v,~u〉et de~u.

Calculer alors p(~i),p(~j)et p(~k).

En déduire les matrices P et Q de p et q dans la baseB.

2.6 Caractérisation par minimisation de la norme.

Théorème

SoitEun espace euclidien etF un sous-espace vectoriel deE.

Soitp_F la projection orthogonale surF.xetvsont deux éléments deE.

v=p_F(x)⇐⇒v∈F et||x−v||=min

u∈F ||x−u||

(5)

En d’autre termes :

la quantitékx−yklorsque ydécritFest minimale si et seulement si y=p_F(x). Ainsi

kx−p_F(x)k=min¦

ky−xk y∈F© On dit que p_F(x)est la meilleure approximation dex parmi les vecteurs deF.

Définition

SoitF un sous-espace vectoriel deEetx∈E.

On appelle distance dexàF et on noted(x,F)la quantité min¦

ky−xk y∈F© d(x,F) =kx−p_F(x)k=min¦

ky−xk y∈F©

=inf¦

ky−xk y∈F©

Remarque On notem=min

y∈Fkx−yk².

m=kx−p_F(x)k²=kp_F⊥(x)k²=〈x−p_F(x),x−p_F(x)〉=〈x−p_F(x),x〉=kxk²− 〈x,p_F(x)〉

Exercice 8 Déterminer inf

(a,b)∈R²

Z1

0

(x²−a x−b)²dx.

Exercice 9 Soit E l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n, muni de sa structure euclidienne canonique (c’est-à-dire telle que la base canonique soit orthonormée).

On pose F={P∈E/P(1) =0}.

1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E.

2. Déterminer une base de F et une base de F^⊥.

3. Déterminer d(X,F)(distance du polynôme X au sous-espace F , c’est-à-dire inf

P∈FkX−Pk).

Exercice 10 Soit E leR-espace vectoriel des fonctions polynômes à coefficients réels. Pour P et Q dans E, on pose :

〈P,Q〉= Z+∞

0

e^−tP(t)Q(t)d t 1. Vérifier que l’on définit ainsi un produit scalaire sur E.

2. Soit f définie surR³par :

f(x,y,z) = Z+∞

0

e⁻^t(t³−x t²−y t−z)²d t

Montrer qu’il existe un unique triplet(x₀,y₀,z₀)tel que f présente en(x₀,y₀,z₀)un minimum absolu et déterminer ce triplet.

2.7 Application au problème des moindres carrés.

Propriété préliminaire

SoitA∈ Mn,p(R)de rangpalors^tAA∈ Sp(R). De plus^tAAest inversible.

Théorème : Minimisation de||AX−B||

Mn,1(R)est muni de son produit scalaire canonique.

Soit les matricesA∈ Mn,p(R)de rangp(doncp¶n) etB∈ Mn,1(R).

LorsqueX décritMp,1(R), la quantitékAX−Bkest minimale si et seulement si X est l’unique solution de l’équation^tAAX =^tAB.

Le programme nous dit que " la formule donnant la valeur deXréalisant le minimum n’est pas exigible", il faut donc apprendre à la retrouver....

(6)

Remarque : Expression analytique dekAX−Bk² Mn,1(R)est muni de son produit scalaire canonique.

SoitA= (a_i,j)₍i,j)∈[[1,n]]×[[1,p]]∈ Mn,p(R),B=





 b₁

... b_n





∈ Mn,1(R)etX =





 x₁

... x_p





∈ Mp,1(R)alors kAX−Bk²=

n

X

i=1





p

X

j=1

a_i,jx_j−b_i





2

=





p

X

j=1

a_1,_jx_j−b₁





2

+· · ·+





p

X

j=1

a_n,jx_j−b_n





2

Exercice 11 Soit A=







1 1

2 1

3 1





 et B=





 2 1 3 2





 .

Déterminer X ∈ M2,1(R)rendant minimale la quantitékAX−Bket déterminer cette valeur minimale.

3 Réduction des endomorphismes et des matrices symétriques.

3.1 Théorème fondamental sur la réduction des endomorphismes symétriques.

Théorème

Soit(E,〈., .〉)un espace euclidien. Soit f un endomorphismesymétriquedeE.

Alors f est diagonalisable et ses sous-espaces propres sont orthogonaux.

Il existe donc une baseBdeEorthonormée composée de vecteurs propres de f. Remarque

f étant un endomorphismesymétriquede l’espace euclidienE, on obtient une base orthonormée deEconstituée de vecteurs propres de f en concaténant une base orthonormée de chacun des sous-espaces propres de f.

3.2 Réduction des matrices symétriques de M

n

(R) .

Théorème

Soitn∈N^?. SoitAune matrice symétrique de Mn(R). Alors Aest diagonalisable et il existe une base orthonormée deMn,1(R)(muni de son produit scalaire canonique) constituée de vecteurs propres de A. Ainsi il existe une matrice P ∈ On(R) (c’est-à-dire vérifiant ^tP = P⁻¹) et une matrice ∆∈ Mn(R) diagonale vérifiant^tPAP= ∆.

Exercice 12 Soit A= 2 i

i 0

∈ M2(C). 1. Déterminer le spectre de A.

2. Montrer que la matrice A est symétrique mais qu’elle n’est pas diagonalisable.

Le théorème précédent s’applique à des matrices symétriques à coefficients réels

Théorème

Soitn∈N^?. SoitA∈ Sn(R). Soit(X₁, . . . ,X_n)une base orthonormée deMn,1(R)(muni de son produit scalaire canonique) constituée de vecteurs propres de Arespectivement associés aux valeurs propres (λ1, . . . ,λn), alors :

A=

n

X

i=1

λiX_i^tX_i=λ1X₁^tX₁+· · ·+λnX_n^tX_n

Propriété

SiAest symétrique réelle, il existe une matrice orthogonalePet une matrice diagonale Dtelles que D=P⁻¹AP=^tPAP.

SiX₁, . . . ,X_nsont les colonnes deP, alors(X_i)1¶i¶nest une base orthonormée deMn,1(R), formée de vecteurs propres deAassociés aux valeurs propresλ1, . . . ,λn.

(7)







1 1 1





.

Déterminer une matrice orthogonale P et une matrice diagonale D telles que D=P⁻¹AP=^tPAP.

Exercice 14 Soit A une matrice deMn(R)vérifiant A^tAA=I_n. Montrer que A est symétrique puis déterminer A.







0 1 · · · 0 1 ... ...

... ... 1 0 · · · 1 0







∈ Mn(R)

(c’est-à-dire que l’on a : a_i,j=1si i= j+1ou i= j−1et a_i,j=0sinon) (a) Soitλun scalaire. Que peut-on dire du rang de A−λI_n?

(b) Montrer que A admet exactement n valeurs propres réelles.

Exercice 16 Montrer que la matrice







1−i 1 3

1 2−i 7

3 7 4−i





est inversible.

Exercice 17 Soit(E,〈., .〉)un espace euclidien. f et g sont deux endomorphismes symétriques de E vérifiant f ◦g=g◦f.

1. Montrer que tout espace propre de f est stable par g.

2. Montrer l’existence d’une base orthonormée de E constituée de vecteurs qui sont à la fois des vecteurs propres de f et de g.

Exercice 18 Soit n∈N^?. Soit A∈ Sn(R). 1. Montrer que :

(∃q∈N^? / A^q=0) =⇒A=0.

2. Montrer que :

(∃q∈N^? / A^q=I_n) =⇒A²=I_n.

Exercice 19 Soit n∈N^?. Soit A∈ Sn(R). On suppose que toutes les valeurs propres de A sont positives. Montrer qu’il existe une matrice B∈ Sn(R)telle que B²=A.

4 Étude du signe d’une forme quadratique .

Définition de la forme quadratique associée à un endomorphisme symétrique Soit(E,〈., .〉)un espace euclidien.

On appelleforme quadratique associée à l’ endomorphisme symétriqueudeEl’application :

q : E −→ R

x 7−→ q(x) =〈u(x),x〉

(8)

Remarque : Expression de la forme quadratique associée à u dans une B.O.N. de vecteurs propres de u Soitqla forme quadratique surEassociée un endomorphisme symétriqueu.

SoitB= (e₁, . . . ,e_n)une base orthonormale constituée de vecteurs propres deuet plus précisément :

∀i∈¹1,nº, u(e_i) =λie_i Alors :

∀x∈E,q(x) =

n

X

i=1

λix²_i où(x₁, . . . ,x_n)sont les coordonnées dexdans la baseB.

Théorème : Signe de la forme quadratique q associée à l’endomorphisme symétrique u

∀x∈E , q(x)¾0⇐⇒Spu⊂[0,+∞[

∀x∈E\ {0} , q(x)>0⇐⇒Spu⊂]0,+∞[

∀x∈E , q(x)¶0⇐⇒Spu⊂]− ∞, 0]

∀x∈E\ {0} , q(x)<0⇐⇒Spu⊂]− ∞, 0[

∃(x,x⁰)∈E×E/q(x)>0 etq(x⁰)<0⇐⇒ ∃(λ,β)∈Spu×Spu / λ >0 etβ <0

Remarque

qgarde un signe constant⇐⇒les valeurs propres deusont de même signe.

Définition de la forme quadratique associée à une matrice symétrique Soitn∈N^?. SoitA∈ Sn(R).

On appelleforme quadratique associée àAl’application : q : Mn,1(R) −→ R

X 7−→ q(X) =^tX AX

Théorème : Signe de la forme quadratiqueq associée à la matriceA∈ Sn(R)

∀X∈ Mn,1(R) , q(X)¾0⇐⇒SpA⊂[0,+∞[

∀X∈ Mn,1(R)\ {0} , q(X)>0⇐⇒SpA⊂]0,+∞[

∀X ∈ Mn,1(R) , q(X)¶0⇐⇒SpA⊂]− ∞, 0]

∀X ∈ Mn,1(R)\ {0} , q(X)<0⇐⇒SpA⊂]− ∞, 0[

∃(X,X⁰)∈ Mn,1(R)× Mn,1(R)/q(X)>0 etq(X⁰)<0⇐⇒ ∃(λ,β)∈SpA×SpA / λ >0 etβ <0

Remarque

qgarde un signe constant⇐⇒les valeurs propres deAsont de même signe.

(9)

Remarque : Expression analytique de la forme quadratiqueq associée à la matriceA∈ Sn(R) SoitA= (a_i,j)1¶i,j¶n∈ Sn(R). SoitX =





 x₁

... x_n





∈ Mn,1(R). On a :

tX AX =

n

X

i=1 n

X

j=1

a_i,jx_ix_j=

n

X

i=1

a_i,ix²_i +2 X

1¶i<j¶n

a_i,jx_ix_j

Exercice 20 Unicité de la matrice symétrique associée à une forme quadratique Soit A∈ Sn(R)et B∈ Sn(R)vérifiant :

∀X ∈ Mn,1(R), ^tX AX=^tX BX alors

A=B.

Exercice 21 On considère la forme quadratique q définie surM3,1(R)par :

∀X=





 x y z





∈ M3,1(R), q(X) =x y+xz+yz 1. Déterminer A∈ S3(R)de sorte que q soit la forme quadratique associée à A.

2. Déterminer le spectre de A.

3. Que peut-on dire du signe de q ?

Exercice 22 Soit(E,〈., .〉)un espace euclidien. Soit u un endomorphisme symétrique de E.

On noteαla plus petite valeur propre de u etβla plus grande valeur propre de u. Montrer que :

∀x∈E , αkxk²¶〈u(x),x〉¶βkxk²

Exercice 23 Soit n∈N^?. Soit A∈ Sn(R).Mn,1(R)est muni de son produit scalaire canonique.

On noteαla plus petite valeur propre de A etβla plus grande valeur propre de A. Montrer que :

∀X ∈ Mn,1(R) , αkXk²¶〈AX,X〉=^tX AX¶βkXk²