D´emontrer que Aest un anneau

Universit´e Paris 7-Denis Diderot Alg`ebre

M1 math´ematiques Ann´ee 2006-07

F. Conduch´e - L. Merel EXAMEN PARTIEL du 14 novembre 2006

Dur´ee : 3 h

L’usage des calculatrices, t´el´ephones et de tout document autre que le polycopi´e est interdit.

PosonsA={a+bi√

5∈C/a, b∈Z}et K={a+bi√

5∈C/a, b∈Q}.

I 1. D´emontrer que Aest un anneau.

2. Consid´erons l’application N : A→Aqui `a z associez¯z. D´emontrer queN(zz<sup>0</sup>) =N(z)N(z<sup>0</sup>) et queN est `a valeurs dansZ.

3. D´eterminer le groupeA^∗ des ´el´ements inversibles deA.

4. D´emontrer que les ´el´ements suivants 2, 3, 1 +i√

5, 1−i√

5 sont irr´eductibles dansA.

5. L’anneauAest-il factoriel ?

6. D´emontrer que l’application Z[X] → A qui `a P associeP(i√

5) est un homomorphisme d’anneaux de noyau l’id´eal engendr´e parX²+ 5. En d´eduire queAest isomorphe `a l’anneau quotientZ[X]/(X²+ 5).

II NotonsI₂l’id´eal deA engendr´e par 2 et 1 +i√

5. Notons I₃ l’id´eal deAengendr´e par 3 et 1−i√ 5.

1. D´emontrer que les ´el´ements deI₂(resp. I₃) sont de la formea+bi√

5 aveca≡b (mod 2) (resp. a≡ −b (mod 3)). En d´eduire que ces id´eaux sont distincts de A.

2. Montrer que les id´eauxI₂ etI₃ne sont pas principaux.

3. D´emontrer queI₂I₃ est engendr´e par 6, 2−2i√

5 et 3 + 3i√

5. Montrer que ces ´el´ements sont divisibles par 1−i√

5. En d´eduire queI₂I₃ est engendr´e par 1−i√ 5.

4. Montrer queI2et I3 sont premiers entre eux. En d´eduire queI2∩I3 est principal.

5. SoientI un id´eal de Aet a∈Aun ´el´ement non nul. D´emonter queI est principal si et seulement siaI est principal.

6. SoitJ un id´eal non principal deA. D´emontrer que I2J∩I3J =I2I3J. En d´eduire que I2J∩I3J n’est pas principal.

7. Donner un exemple d’id´eaux principaux dont l’intersection n’est pas principale.

III

1. D´emontrer que K est un corps isomorphe au corps des fractions deAet que c’est unA-module.

2. SoientM1etM2deux sous-A-modules de type fini deK. NotonsM1M2le sous-module deKengendr´e par {m1m2/m1∈M1, m2 ∈M2}. D´emontrer que si (x1, .., xn) et (y1, ..., ym) sont des syst`emes de g´en´erateurs deM1 etM2 respectivement, (xiyj)i∈{1,...,n},j∈{1,...,m}est un syst`eme de g´en´erateurs deM1M2. En d´eduire queM1M2est unA-module de type fini.

3. Soit a ∈ K. D´emontrer que aA = {ab ∈ K/b ∈ A} est un sous-A-module de type fini de K. Un tel A-module est ditprincipal. D´emontrer que siM1 etM2sont des sous-A-modules principaux deK, il en est de mˆeme deM1M2.

4. Notons P l’ensemble des sous-modules principaux non nuls de K. Montrer que la loi interne qui `a (M₁, M₂) associeM₁M₂ fait deP un groupe ab´elien.

5. SoitM un sous-A-module non nul et de type fini de K. PosonsM⁻¹={x∈K/xM ⊂A}. D´emontrer queM⁻¹est un sous-A-module de type fini deK. (On pourra montrer qu’il existea∈Ktel queM⁻¹⊂aA.) Montrer queM M⁻¹=A.

6. NotonsI l’ensemble des sous-A-modules non nuls de type fini de K. D´emontrer que la loi interne qui `a (M1, M2) associeM1M2 fait deI un groupe ab´elien qui admetP comme sous-groupe.