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111 : ANNEAU PRINCIPAUX – App I. Généralités

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Academic year: 2022

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111 : ANNEAU PRINCIPAUX – App I. Généralités [P][Com]

1. Anneaux principaux et idéaux

def – ex:K[[X]] : idéaux = (X

p

) ([CaA])

idéaux – premier=>maximal (c-ex ds K[X,Y])

2. Anneaux euclidiens et factoriels

def, ex – euclidien => principal, c-ex – principal => factoriel

II. Arithmétique [Com][P]

1. Propriétés

Gauss, pgcd, Bézout, Th chinois

2. Applications

a/ L'anneau Z[i]

b/ Résultant [Gob]

III. Matrices à coeff. dans un anneau principal [Se]

1. Facteurs invariants

Formule de Cauchy Binet - Théorème

2. Application : invariants de similitude

def – th, cor: semblables ssi mêmes inv

Rq : en exemple dans le plan : [Cog]

Polynomes d'endomorphisme : Existence du pol min, prop, ss-esp stables – Lemme des noyaux

Biblio :

Perrin Combes

Calais(théorie des anneaux) Serre

Cognet

Développements :

15 – Entiers de Gauss ( Z[i] factoriel, somme de 2 carrés ) 20 – Facteurs invariants d'une matrice

21 – Caractérisation de la semi-simplicité

Références

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¤ z + µ = ¤ i – µ. z z z × z z – z z + z z = µ – ¤ i z = µ + ¤ i r e (¤ i /t{– µ;+ µ}) = ….......... i m (#5 i #6) = ….......... z = – ¤ i e ( z )=.......... i m ( z )=.............. z = /rc{µ} e ( z )=.......... i m ( z )=.............. z = µ – ¤ i e ( z

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