Anneau quotient

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Licence Informatique - Informatique théorique 2 2005/2006

Anneaux

• Anneau : un anneau A est un groupe abélien, noté additivement, sur lequel est défini une deuxième loi interne, notée multiplicativement, telle que :

– . est associative et possède un élément neutre (1)

– . est distributive par rapport à l’addition c’est-à-dire pour tout x,y,z de A, (x+y).z=x.z+y.z (distributivité à droite) et z.(x+y)=z.x+z.y (distributivité à gauche)

• Note : - un anneau est dit commutatif si . est commutative

• Exemples : - (Z,+,.) est un anneau commutatif - (Q,+,.) est un anneau commutatif

Propriétés des anneaux

• Quelques propriétés des anneaux :

– Pour tout x d’un anneau A, 0.x=x.0=0

• Preuve : 0.x=(0+0).x=0.x+0.x d’où 0.x=0. De même x.0=x.(0+0)=x.0+x.0 d’où x.0=0

– Pour tout x,y de A, x.(-y)=(-x).y=-(x.y) et (-x).(-y)=xy

• Preuve : x.y+(-x).y=(x+(-x)).y=0.y=0 d’où (-x).y=-(x.y). De même, x.y+x.(-y)=x.(y+(-y))=x.0=0 d’où x.(-y)=-(x.y)

• Anneau intègre: un anneau A est dit intègre si pour tout x,y de A, x.y=0 ⇒x=0 ou y=0

Sous-anneau et idéal

• Sous-anneau: soit un anneau A. B ⊆A est un sous-anneau de A si B est un sous-groupe additif de A et si pour tout x,y de B, x.y∈B et 1∈B.

• Idéal: soit un anneau commutatif A. I ⊆A est un idéal de A si I est un sous-groupe additif et pour tout x de A et tout i de I, x.i∈I

• Notes : - dans le cas d’un anneau non commutatif, on peut définir un idéal à droite et un idéal à gauche

- si un idéal I est un sous-anneau, 1∈I, mais alors1.x ∈I pour tout x de A et I=A

• Exemple : - dans l’anneau (Z,+,.), les nZ sont des idéaux

Anneau quotient

• Relation d’équivalence induite par un idéal: dans un anneau A, si I est un idéal la relation pour tout x,y de A, xRy⇔x-y∈I est une relation d’équivalence

• Preuve : x-x∈I pour tout x de A car I est un sous-groupe pour + donc contient 0. R est donc réflexive. Si x-y∈I, y-x aussi puisque I est un sous-groupe pour +, donc R est symétrique. Si x-y ∈I et y-z∈I, (x-y)-(y-z)=x-(y-y)-z=x-z∈I par associativité de +, donc R est transitive.

• Anneau quotient: si I est un idéal d’un anneau A, on peut définir l’anneau quotient A/I comme l’ensemble des classes d’équivalence de la relation induite par I sur A

Théorème des restes chinois (1/3)

• Théorème des restes chinois: soit A un anneau commutatif et soient I et J deux idéaux de A tels que I+J=A (avec I+J={x+y, x∈I et y∈J}. Alors pour deux éléments a et b de A, il existe x dans A tel que x ≡a mod I et x ≡b mod J (c’est-à-dire x est en relation avec a modulo I et x est en relation avec b modulo J).

• Preuve : I+J=A donc il existe α∈I et β∈J tels que α+β=1.

Posons x = a.β+ b.α. Alors x - a.β∈I donc x ≡a.βmod I (car α∈I donc par définition d’un idéal, b.α∈I). Or β=1 -α≡1 mod I d’où x ≡a mod I. De même, x ≡b.αmod J. D’où, puisque α=1-β≡1 mod J, x ≡b mod J.

• Note : - par induction, on montre ce théorème pour un nombre quelconque d’idéaux.

Théorème des restes chinois (2/3)

• Proposition 5 (théorème de Bezout): pour tous a et b de Z, avec pgcd(a,b)=n, aZ+bZ=nZ

• Preuve : aZ+bZ est un sous-groupe de Z car ax+by a pour inverse -ax-by et (ax+by)+(az+bt)=a(x+z)+b(y+t). Donc aZ+bZ est de la forme nZ. a∈nZ et b∈nZ, donc n divise a et b. De plus, si m∈Z divise a et b, m divise n car n est de la forme au+bv.

Donc m est le plus grand diviseur commun à a et b (pgcd).

• Notes : - pour deux nombres a et b premiers entre eux, aZ+bZ=Z - ce résultat se généralise pour une somme finies de sous-groupes

de Z : a1Z+a2Z+..+anZ = pgcd(a1,a2, .. , an)Z

(2)

Théorème des restes chinois (3/3)

• Corollaire au théorème des restes chinois: tout système de n équations de congruence sur des nombres premiers deux à deux dans (Z,+,.) a une solution dans Z :

x ≡a₁mod b₁Z x ≡a₂mod b₂Z

…..

x ≡a_nmod b_nZ

• Preuve : (Z,+,.) est un anneau commutatif. Dans Z, les idéaux sont les nZ. De plus si les b_isont premiers entre eux, b₁Z+b₂Z+..+b_nZ = Z. On peut donc appliquer le théorème des restes chinois et en déduire qu’il existe une solution au système d’équation.

=> il existe un x solution dans Z

Algorithme sur le problème des restes chinois

Pour résoudre sur Z le système On résout pour chaque i

x ≡a1mod b1Z xi≡0 mod b1Z

x ≡a2mod b2Z …..

xi ≡0 mod bi-1Z

….. (1) xi≡1 mod biZ (2)

xi≡0 mod bi+1Z

…..

x ≡anmod bnZ xi≡0 mod bnZ

On pose k_i=b₁.b₂. .. b_i-1.b_i+1. .. . b_npour tout i. Les k_iet b_isont donc premiers entre eux et k_iZ+b_iZ=Z donc il existe u et v entiers relatifs tels que u.k_i+v.b_i=1. On pose x_i=u.k_iet alors x_i vérifie bien le système (2). Une solution du système (1) est alors x=a₁.x₁+a₂.x₂+..+a_n.x_n

Exemple sur le théorème chinois (1/2)

• Soit le système

• On a k₁= 35, k₂= 21 et k₃= 15

• x₁= 1 mod (3) et 0 mod (5) et 0 mod (7) donc il faut trouver u et v tels que 35.u + 3.v = 1. Par exemple, u = 2 et v = -23. Donc x₁= 70

• x₂= 1 mod (5) et 0 mod (3) et 0 mod (7) donc il faut trouver u et v tels que 21.u + 5.v = 1. Par exemple, u = 1 et v = -4. Donc x₂= 21

x ≡1 mod (3) x ≡2 mod (5) x ≡3 mod (7)

Exemple sur le théorème chinois (2/2)

• x₃= 1 mod (7) et 0 mod (3) et 0 mod (5) donc il faut trouver u et v tels que 15.u + 7.v = 1. Par exemple, u = 1 et v = -2. Donc x₃= 15

• Finalement, x = 1.70 + 2.21 + 3.15 = 157 est solution. En effet, 157/3 = 52 et reste 1, 157/5 = 31 et reste 2, et 157/7 = 22 et reste 3

Algorithme de Bezout (1/2)

• a et b, entiers relatifs, étant donnés, on note c=pgcd(a,b). On veut déterminer x et y tels que ax + by = c

y_n+1 x_n+1 0

n+1

y_n x_n q_n r_n n ...

y_i+1 x_i+1 q_i+1 r_i+1 i+1

yi

xi

qi

ri

i

y_i-1 x_i-1 q_i-1 r_i-1 i-1 ...

1 0 q2 b 2

0 1 a

1

yk

xk

qk

rk

k

r_i-1= q_i*r_i+ r_i+1 x_i+1= x_i-1- q_i*x_i y_i+1= y_i-1- q_i*y_i pgcd(a,b) = rn

x = xn

y = yn

Algorithme de Bezout (2/2)

• On veut trouver x et y tels que 96x + 81y = pgcd(96,81)

32 -27 0

6

-13 11 2 3 5

6 -5 2 6 4

-1 1 5 15 3

1 0 1 81 2

0 1 96

1

y_k x_k q_k r_k

k ri-1= qi*ri + ri+1

xi+1= xi-1- qi*xi

yi+1 = yi-1- qi*yi

pgcd(a,b) = r_n x = x_n y = y_n pgcd(96,81) = 3 et x = 11 et y = -13

(3)

Structures algébriques

Corps

• Corps: (C,+,.) est un corps si (C,+,.) est un anneau commutatif tel que 0≠1 et que tout élément de C différent de 0 a un inverse pour . (0 est l’élément neutre pour +, 1 est l’élément neutre pour .).

• Note : - un corps est commutatif si sa multiplication est commutative.

• Exemples : - (Q,+,.) est un corps, (R,+,.) est un corps

• Théorème de Wedderburn: tout corps fini est commutatif

Rappel

• Treillis: Un treillis est un ensemble ordonné dans lequel toute paire d'éléments admet une borne supérieure et une borne inférieure, c’est-à-dire qu’étant donnés deux éléments x et y, l’ensemble des majorants communs à x et y n’est pas vide et admet un minimum noté x∨y et l’ensemble de leurs minorants communs n’est pas vide et admet un maximum noté x ∧y.

Définition algébrique des treillis (1/4)

• Treillis: un ensemble E muni de deux opérations∧et ∨, est un treillis (algébrique) si les propriétés suivantes sont satisfaites :

1. x ∧x = x = x ∨x (idempotence)

2. x ∧y = y ∧x et x ∨y = y ∨x (commutativité) 3. x ∧(y ∧z) = (x ∧y) ∧z et x ∨(y ∨z) = (x ∨y) ∨z

(associativité)

4. x ∨(x ∧y) = x = x ∧(x ∨y) (absorption)

• Proposition 6: Si E muni d’une relation d’ordre ≤est un treillis, alors tout couple (x,y) d’éléments de E vérifie les propriétés 1,2,3 et 4.

Définition algébrique des treillis (2/4)

• Preuve de la proposition 6 : soit (T, ≤) un treillis.

(1) pour {x}, on a bien x ∧x = x = x ∨x

(2) pour {x,y}={y,x}, on a bien x ∧y = y ∧x et x ∨y = y ∨x (3) sup(x,sup(y,z)) = sup(sup(x,y),z) = sup({x,y,z}) donc

x ∨(y ∨z) = (x ∨y) ∨z et inf(x,inf(y,z)) = inf(inf(x,y),z) = inf({x,y,z}) donc x ∧(y ∧z) = (x ∧y) ∧z

(4) inf(x,sup(x,y)) = x et sup(x,inf(x,y)) = x donc x ∨(x ∧y) = x = x ∧(x ∨y)

Définition algébrique des treillis (3/4)

• Proposition 7: si E est un ensemble muni de deux opérations ∨ et∧vérifiant les propriétés 1,2,3 et 4, alors E muni de la relation d’ordre ≤définie par x ≤y ⇔x ∨y = y est un treillis.

• Preuve : Montrons que ≤ainsi définie est une relation d’ordre. ≤ est réflexive par l’idempotence. Si x ≤y et y ≤x, x ∨y = y et y ∨ x = x mais alors x = y par commutativité, donc ≤est anti- symétrique. Si x ≤y et y ≤z, x ∨y = y et y ∨z = z donc x ∨z = x

∨(y ∨z) = (x ∨y) ∨z par associativité = y ∨z = z donc x ≤z et

≤est transitive.

Remarquons que x ∨y = y ⇒x ∧y = x ∧(x ∨y ) = x par absorption et que x ∧y = x ⇒x ∨y = (x ∧y ) ∨y = y ∨(y∧x ) par commutativité et = y par absorption. Donc

x ∨y = y ⇔x ∧y =x et x ≤y ⇔x ∧y = x

(4)

Définition algébrique des treillis (4/4)

• Suite de la preuve : montrons que tout couple d’éléments de E admet une borne inf. Pour tout couple (x,y) de E², x ∧y est borne inférieure de {x,y}. En effet, x ∧(x ∧y) =

(x∧x) ∧y par associativité = x ∧y par idempotence donc x ∧(x ∧y) = x ∧y soit x ∧y ≤x. Et y ∧(x ∧y) = y ∧(y ∧x) par commutativité = (y∧y)∧x par associativité = y ∧x par idempotence = x ∧y par commutativité donc y ∧(x ∧y) = x ∧y soit x ∧y ≤y. Donc x ∧y est minorant de {x,y}. Montrons que x ∧y est le plus grand des minorants. S’il existe z minorant de {x,y}, x ∧z = z et y ∧z = z. Donc (x ∧y) ∧z = x ∧(y ∧z) = x ∧z = z et donc z ≤x ∧y.

En utilisant l’équivalence x ∨y = y ⇔x ∧y =x on montre que x ∨y est la borne supérieure de {x,y}.

Treillis distributifs (1/3)

a ∧(b ∨c) = a ∧e = a et (a ∧b) ∨(a ∧c) = a ∨d = a donc a ∧(b ∨c) = (a ∧b) ∨(a ∧c) (distributivité de ∧à droite).

Mais a ∨(b ∧c) = a ∨d = a et (a ∨b) ∧ (a ∨c) = b ∧e = b donc a ∨(b ∧c) ≠(a ∨b)

∧(a ∨c)

• Dans un treillis, ∧et ∨ne sont pas forcément distributives l’une par rapport à l’autre

d c

a b e

Treillis distributifs (2/3)

• Treillis distributif: un treillis T est distributif si ∧est distributive par rapport à∨et inversement :

–(1) a ∧(b ∨c) = (a ∧b) ∨(a ∧c) pour tout a,b,c de T –(2) a ∨(b ∧c) = (a ∨b) ∧(a ∨c) pour tout a,b,c de T

• Note : - dans un treillis, on a toujours (a ∧b) ∨(a ∧c) ≤a ∧(b ∨c) car b ∨c est un majorant de b et de c. De même, on a toujours a ∨(b ∧c) ≤ (a ∨b) ∧(a ∨c).

• Exemples : - N doté des opérations x ∧y = pgcd(x,y) et x ∨y = ppcm(x,y) est un treillis distributif

- L’ensemble de tous les sous-ensembles d’un ensemble E est un treillis distributifs pour l’intersection et l’union

Treillis distributifs (3/3)

• Proposition 8: dans un treillis, la distributivité de ∧par rapport à

∨est équivalente à la distributivité de ∨par rapport à∧

• Preuve : supposons a ∧(b ∨c) = (a ∧b) ∨(a ∧c) pour tout a,b,c de T. Alors (a ∨b) ∧(a ∨c) = ((a ∨b) ∧a) ∨((a ∨b) ∧c).

Or, (a ∨b) ∧a = a ∧(a ∨b) = a par absorption. Et (a ∨b) ∧c = c ∧(a ∨b) = (c ∧a) ∨(c ∧b).

D’où(a ∨b) ∧(a ∨c) = a ∨((c ∧a) ∨(c ∧b)) = (a ∨(c ∧a)) ∨(c

∧b) par associativité= a ∨(c ∧b) par absorption. On a donc bien a ∨(c ∧b) = (a ∨b) ∧(a ∨c).

On montre de même par dualité que la distributivité de ∨par rapport à∧entraîne celle de ∧par rapport à∨.

Treillis complémentés (1/2)

• Complément d’un élément: dans un treillis, doté d’un plus grand élément noté T et d’un plus petit élément noté⊥, le complément d’un élément x est tout élément x’ tel que x ∨x’= T et x ∧x’ = ⊥. On dit que x et x’ sont complémentaires. En particulier, ⊥et T sont complémentaires.

• Exemple : dans ce treillis, b et c sont sont complémentaires, tandis que a et d n’ont pas de complément

⊥

b d

T

a c

Treillis complémentés (2/2)

• Treillis complémenté: un treillis est complémenté s’il admet un

⊥et un T et si tout élément admet au moins un complément

• Théorème 5: dans un treillis distributif admettant un ⊥et un T, tout élément admet au plus un complément.

• Preuve : il suffit de montrer que x ∧z = y ∧z et x∨z = y∨z implique que x = y. On a x = x ∨(x ∧z) = x ∨(y ∧z) = (x ∨y) ∧ (x ∨z). On a aussi y = y ∨(y ∧z) = y ∨(x ∧z) = (y ∨x) ∧(y ∨ z) = (x ∨y) ∧(x ∨z) = x.

(5)

Treillis de Boole

• Treillis de Boole: un treillis de Boole est un treillis distributif et complémenté.

• Notes : - dans un treillis de Boole, tout élément admet exactement un complément

- on peut donc ajouter aux opérations ∨et ∧du treillis l’opération de complémentation qui a un élément x fait correspondre son complément x (ou x’)

- dans un treillis de Boole, on appelle « vrai » ou 1 l’élément T,

« faux » ou 0 l’élément ⊥, « et » l’opération ∧et « ou » l’opération ∨.

On a x ∨0 = x, x ∨1 = 1, x ∧0 = 0, x ∧1 = x, 0’=1 et 1’=0

• Exemple : - l’ensemble des parties d’un ensemble muni de l’inclusion est un treillis de Boole

Lois de Morgan

• Lois de Morgan: dans un treillis de Boole, pour tous x,y on a (x ∧y)’ = x’∨y’ et (x ∨y)’ = x’∧y’

• Preuve : (x ∧y) ∨(x’∨y’) = (x ∨(x’∨y’)) ∧(y ∨(x’∨y’)) = ((x ∨x’) ∨y’) ∧((y ∨y’) ∨x’) = (1 ∨ y’) ∧(1 ∨x’) = 1. De plus, (x ∧y) ∧(x’∨y’) = ((x ∧y) ∧x’) ∨((x ∧y) ∧y’) = (0 ∧y) ∨(x ∧ 0) = 0. Par unicité du complément, x’∨y’ est bien le complément de x ∧y. Par dualité, on déduit l’autre loi de Morgan.

Anneau booléen

• Anneau booléen: un anneau booléen est un anneau dans lequel la multiplication est idempotente, c’est-à-dire que ∀x, x²=x

• Exemples : - (Z/2Z,+,.) est un anneau booléen - (P(E),∆,∩) est un anneau booléen

• Proposition 9: tout anneau de Boole est commutatif

• Preuve : si x et y sont deux éléments d’un anneau de Boole, supposons x.y≠y.x. Alors y.x.y.x≠y.y.x.x donc y.x≠y.x ce qui est faux.

Complément dans un anneau booléen

• Proposition 10: dans un anneau booléen, tout élément différent de 0 est son propre opposé pour l’addition

• Preuve : pour tout a ≠0, a+(-a) = 0, donc a.(a+(-a)) = a.0 = 0 et a.(a+(-a)) = a.a+a.(-a) = a + a.(-a) = 0 et donc (-a) = a.(-a). De même, (-a).(a+(-a)) = (-a).0 = 0 et (-a).(a+(-a)) = (-a).a+(-a).(-a)

= (-a).a+(-a) = 0 donc (-(-a))=(-a).a=(-a) donc -a=a.

• Complément dans un anneau booléen: pour tout a d’un anneau booléen A, on pose a’=a+1, a’ est le complément de a

• Proposition 11: dans un anneau booléen a’’=a pour tout a, 0’=1 et 1’=0

• Preuve : (voir TD)

Anneau booléen et treillis booléen (1/7)

• Treillis booléen : – une relation d’ordre≤

– deux opérations ∧et ∨associatives, commutatives et distributives –∧est idempotente et absorption d’une opération par l’autre – une opération de complémentation ‘

• Anneau booléen :

– deux opérations + et . associatives, commutatives – . distributive par rapport à + et . idempotente – une opération de complémentation ‘

Théorème 6: tout anneau booléen (A,+,.) est un treillis booléen pour les opérations définies par x ∧y = x.y et x ∨y = x+y+x.y, la relation d’ordre définie par x ≤y ⇔x.y=x et le complément a’=a+1

Anneau booléen et treillis booléen (2/7)

• Preuve du théorème 6 : Montrons d’abord que la relation définie est bien une relation d’ordre. L’idempotence de . donne la réflexivité (∀x, x.x=x donc x ≤x). La commutativité de . donne l’antisymétrie (si x.y=x et y.x=y, alors x=y). La transitivité découle de la définition (x.y=x et y.z=y ⇒x.y.yz=x.y.z=x.z.y et donc x.z.y=x.y donc x.z=x).

Montrons ensuite que les opérations ∧et ∨correspondent bien aux bornes inférieures et supérieures (ce qui donne un treillis), et qu’elles sont distributives l’une par rapport à l’autre.

x ∧y existe pour tout couple (x,y). De plus x.y.x = x.y.y = x.y donc x.y≤x et x.y≤y. Donc x.y = x ∧y est un minorant de {x,y}. Montrons que c’est le plus grand. Si z≤x et z ≤y, alors x.z = z et y.z = z donc x.z.y.z=z soit x.y.z=z donc z ≤x.y.

(6)

Anneau booléen et treillis booléen (3/7)

• Suite de la preuve :

x ∨y existe pour tout couple (x,y). De plus (x+y+x.y).x = x+y.x+y.x=x donc x ≤x+y+x.y = x ∨y. De même pour y donc x ∨y est bien majorant de x et y. Montrons que c’est le plus petit. Si x≤z et y ≤z, alors x.z = x et y.z = y donc (x ∨y).z = (x+y+x.y).z = x.z+y.z+(x.y).z = x+y+x.y = x ∨y donc x ∨y ≤z.

Montrons maintenant que le treillis obtenu est distributif.

x ∧(y ∨z) = x.(y+z+y.z) = x.y+x.z+x.y.z = x.y+x.z+(x.y).(x.z) = (x ∧y) ∨(x ∧z). Et (x ∨y) ∧(x ∨z) = (x+y+x.y).(x+z+x.z) = x²+x.z+x.x.z+y.x+y.z+y.x.z+x.y.x+x.y.z+x.y.x.z = x + y.z + x.y.z

= x ∨(y ∧z)

Anneau booléen et treillis booléen (4/7)

• Fin de la preuve :

Montrons que le treillis est complémenté. Le 0 et le 1 de l’anneau sont les plus petit et plus grand éléments du treillis. En effet, x ∧0 = x+0+x.0 = x et x ∨1 = x.1= x pour tout x. De plus, pour tout x, x+1= x’ est tel que x ∨x’ = x+x+1+x.(x+1) = 1 + x + x = 1 et x ∧x’ = x.(x+1) = x²+x = 0

• Théorème 7: tout treillis booléen est un anneau booléen pour les opérations + et . définies par x.y = x ∧y et x+y = (x ∧y’) ∨ (y ∧x’)

• Preuve : Soit (T,≤,∧,∨,’) un treillis distributif et complémenté. On pose x+y = (x ∧y’) ∨(y ∧x’) et x.y = x ∧y. Il faut montrer que (T,+,.) est un anneau booléen, et donc d’abord que (T,+) est un groupe abélien.

Anneau booléen et treillis booléen (5/7)

• Suite de la preuve : montrons que la loi d’addition a un élément neutre. Si on note 0 le plus petit élément du treillis, x+0 = (x ∧0’) ∨(0 ∧x’) = (x ∧1) ∨(0 ∧x’) = x ∨0 = x et 0+x = x par symétrie de l’expression. Tout élément est son propre symétrique pour + car x+x = (x ∧x’) ∨(x ∧x’) = x ∧x’ = 0.

Montrons que + est associative. x+(y+z) = (x ∧(y+z)’) ∨(x’

∧(y+z)).

Or x ∧(y+z)’ = x ∧((y’∧z) ∨(y ∧z’))’ = x ∧(y’∧z)’∧(y ∧z’)’ = x ∧(y ∨z’) ∧(y’∨z) (par Morgan) = x ∧(((y ∨z’) ∧y’) ∨((y ∨z’)

∧z)) (par distributivité) = x ∧(((y ∧y’) ∨(z’∧y’)) ∨((y ∧z) ∨ (z’∧z))) (par distributivité) = x ∧((0 ∨(z’∧y’)) ∨((y ∧z) ∨0)) = x ∧((z’∧y’) ∨(y ∧z)) = (x ∧y’∧z’) ∨(x ∧y ∧z)

Anneau booléen et treillis booléen (6/7)

• De plus x’∧(y+z) = x’∧((y ∧z’) ∨(z ∧y’)) = (x’∧y ∧z’) ∨(x’∧ z ∧y’)

Donc x+(y+z) = (x ∧y’∧z’) ∨(x ∧y ∧z) ∨(x’∧y ∧z’) ∨(x’∧z ∧ y’)

Par symétrie de l’expression trouvée, x+(y+z) = z+(x+y) et par la commutativité de l’addition (due à sa définition), on a z+(x+y)

= (x+y)+z

(T,+) est donc un groupe abélien.

La multiplication x.y = x ∧y est associative et commutative comme ∧.

Montrons qu’elle est distributive par rapport à l’addition. x.y+x.z

= ((x.y) ∧(x.z)’) ∨((x.z) ∧(x.y)’) = ((x ∧y) ∧(x ∧z)’) ∨((x ∧z) ∧ (x ∧y)’) = ((x ∧y) ∧(x’∨z’)) ∨((x ∧z) ∧(x’∨y’)) = ((x ∧y ∧x’)

Anneau booléen et treillis booléen (7/7)

((x ∧y ∧x’) ∨(x ∧y ∧z’)) ∨((x ∧z ∧x’) ∨(x ∧z ∧y’)) = (0 ∨(x ∧y ∧z’)) ∨(0 ∨(x ∧z ∧y’)) = (x ∧y ∧z’) ∨(x ∧z ∧y’) = x ∧((y ∧z’) ∨(z ∧y’)) = x.(y+z)

La commutativité de . entraîne la distributivité à droite. De plus, 1 est bien élément neutre pour . de par la définition de . Pour finir, x.x = x ∧x = x, donc l’anneau ainsi défini est bien

idempotente et c’est donc un anneau de Boole Conclusion: tout anneau de Boole peut être muni d’une structure de treillis de Boole (théorème 6) et tout treillis de Boole peut être muni d’une structure d’anneau de Boole (théorème 7).

Algèbre de Boole

• Algèbre de Boole: on appelle algèbre de Boole une structure algébrique dotée de deux éléments remarquables, notés 0 et 1, et munie de deux opérations . et + vérifiant les propriétés suivantes :

– 0.x = 0, 1.x = x, 0+x = x, 1+x = 1 – commutativité de + et . – associativité de + et .

– distributivité de . par rapport à + et de + par rapport à . – idempotence pour + et .

– absorption (x.(x+y) = x et x+x.y = x) – complémentation (x.x’ = 0 et x+x’ = 1)

(7)

Théorème de Stone

• Théorème de Stone: toute algèbre de Boole est isomorphe à l’algèbre des sous-ensembles d’un ensemble munie de l’inclusion (cet ensemble est en fait l’ensemble des atomes de l’algèbre, c’est-à-dire les éléments a tels que ∀x, x ∧a = a ou 0).

• Note : - étudier une algèbre de Boole revient à étudier un treillis de sous-ensemble

• Corollaire : le nombre d’éléments d’un algèbre de Boole finie est une puissance de 2

• Les algèbres de Boole sont un outil puissant en logique, pour algébriser le calcul des propositions

Treillis booléen à 2 éléments

• Treillis booléen à 2 éléments: l’ensemble B={0,1} est un treillis de Boole pour l’ordre 0 ≤1

• Proposition 12: le produit de deux treillis distributifs est un treillis distributif et le produit de deux treillis complémentés est un treillis complémenté pour les opérations (x,y) ∧(z,t) = ((x ∧ z), (y ∧t)) et (x,y) ∨(z,t) = ((x ∨z),(y ∨t))

• Produit de treillis booléens: pour tout n∈N, l’ensemble Bⁿest un treillis de Boole à 2ⁿéléments. Bⁿest isomorphe à l’ensemble des parties d’un ensemble à n éléments

Hypercube

• Hypercube: l’hypercube de dimension n est le diagramme de Hasse du treillis Bⁿ

0 1

0

(0,0) (1,0) (0,1)

(1,1)

(0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)

(1,1,0) (1,0,1) (0,1,1)

(1,1,1)

Fonctions booléennes (1/2)

• Fonction booléenne: une fonction f à n variables f:Bⁿ→ B est appelée fonction booléenne

• Fonction complète: une fonction booléenne f de n variables est complète si elle dépend effectivement de ses n variables, c’est- à-dire si il n’existe pas de fonction g de m variables,

m <n, telle que f(x₁, .., x_n) = g(y₁, .. ,y_m) avec y_i∈{x₁, .., x_n} ∀i

• Exemples : - les fonctions complètes à une variable sont l’identité et la complétion

- les fonctions complètes à 2 variables sont +,×,⇒,⇐,⇒,⇐,⇔,⇔

Fonctions booléennes (2/2)

• Représentation d’une fonction booléenne: en noir sont les sommets de Bⁿayant pour image 1, en blanc les autres

• Proposition 13: l’ensemble des fonctions booléennes à n variables forme un treillis de Boole