Algèbre de Boole
Présenté par:
Mr: KARKOUB Rida Mme: ERRAIH Izza
plan
• Introduction
• Les opérateurs logiques et Tables de vérité
• Les règles de simplification
• Tableau de karnaugh
• Conclusion
Introduction
• L algèbre de Boole développée au 19ème siècle par George Boole concerne la logique des systèmes binaires. C'est une structure algébrique qui ne contient que deux éléments, que l'on appelle t variables booléennes.
• Une variable logique : sert à représenter le niveau d une grandeur électrique;
• Ces variables ne peuvent avoir que deux états, 1 ou 0 (ture ou false), et respectent quelques règles de calcul que nous
détaillerons plus loin.
Introduction
• L'algèbre de Boole : utilise plusieurs opérateurs que l'on nomme opérateurs booléens, opérateurs logiques, ou encore fonctions logiques ou portes logiques (terme plus propre à l'électronique).
• Une table de vérité : permet de connaitre l'état logique S de l'équation, en fonction des états des variables.
La table de vérité la plus simple est la suivante :
Les opérateurs logique et Table de vérité
• L addition logique : la porte logique OU (OR)
Les interrupteurs A et B sont en parallèles. Dans ce cas la lampe s allume si l un ou l autre des interrupteurs est fermé et on peut écrire : A + B = F
Les opérateurs logique et Table de vérité
Les opérateurs logique et Table de vérité
• Table de vérité OU (OR):
• La multiplication logique : la porte logique ET (AND) Dans ce cas les interrupteurs sont en série. La lampe s allume si les deux interrupteurs sont fermés. On écrit alors
A+B = F
Les opérateurs logique et Table de vérité
• Table de vérité Et(AND):
Les opérateurs logique et Table de vérité
• L inversion logique : la porte logique NON (NOT)
En raisonnant sur les interrupteurs comme variables logiques il n y avait que deux opérations logiques fondamentales (+ et.
Toutefois le transistor en commutation utilisé comme variable logique a introduit une 3ème opération logique
Les opérateurs logique et Table de vérité
• Table de vérité NON(NOT):
Les opérateurs logique et Table de vérité
• Table de vérité NON-OU(NOR):
Les opérateurs logique et Table de vérité
• La multiplication logique avec inversion : porte logique NON- ET (NAND)
Les opérateurs logique et Table de vérité
• la porte logique OU exclusif ( ) ou XOR
Les opérateurs logique et Table de vérité
Les règles de simplification
• Axiomes
• Théorèmes
• Fonctions à une variable
Les règles de simplification
• Théorèmes
• Fonctions à deux variables
Les règles de simplification
• Théorèmes
• Fonctions 3 variables
Les règles de simplification
• Théorème de Morgan
Les règles de simplification
• AUTRES OPERATEURS LOGIQUES
Les règles de simplification
• AUTRES OPERATEURS LOGIQUES
Les règles de simplification
Tableau de karnaugh
• La réduction, pour une même expression, du nombre
d'opérateurs et/ou du nombre de variables exprimées, conduit à une écriture simplifiée de cette expression.
Tableau de karnaugh
la simplification par le tableau de Karnaugh se fait par:
• Regrouper les valeurs de S égales à 1 dans des rectangles ayant comme nombre de cases une puissance de 2 (16, 8, 4, 2 ou 1 cases);
• Les groupes formés doivent être les moins nombreux possibles, mais ils doivent englober tous les 1 a intérêt à dessiner des
rectangles les plus grands possibles.
• CONSTRUCTION DU TABLEAU DE KARNAUGH
o Tableau à 3 variables
Tableau de karnaugh
• CONSTRUCTION DU TABLEAU DE KARNAUGH
o Tableau à 4 variables
Tableau de karnaugh
• Exemples
Tableau de karnaugh
• Exemples
