Algèbre de BOOLE

Algèbre de BOOLE

Système binaire:

Un système binaire (signal, circuit, etc…) est un système qui ne peut exister que dans deux états autorisés.

fermé : v₀ = 0v ouvert: v₀ = 5v

R +5V

S

V₀

Notations:

numérique : 1 et 0 (bit : binary digit)

logique : Vrai et Faux (True et False) Oui et Non (Yes et No)

électronique : ON et OFF

Haut et Bas (HI et LO, H et L, H et B)

Algèbre de BOOLE - Opérateurs

™ La porte OU (inclusif) (OR) - Addition logique noté « + »

A B Y = A + B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

™ La porte ET (AND) - Produit logique noté « • »

A B Y = A • B

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Algèbre de BOOLE - Opérateurs

™ Inverseur : porte NON (NOT)opérateur unaire noté « ¯ »

A Y = A

0 1

1 0

A partir des définitions des fonctions NON, OU et ET nous pouvons déduire :

(

)

A A A

A A

A A

+

= +

=

= +

=

•

• 0

1

Algèbre de BOOLE - Opérateurs

™

Porte NON ET (NAND) et Porte NON OU (NOR)

Ce sont les portes de base: tout système binaire peut être obtenu en utilisant uniquement les portes NAND ou NOR

0 0 1

0 1 1

1 0 1

A B Y=A^•B

1 1 0

0 0 1

0 1 0

1 0 0

A B Y=A+B

1 1 0

Algèbre de BOOLE - Opérateurs

™

Porte OU exclusif (XOR)-opérateur binaire notée «⊕»

A B Y = A ⊕ B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Algèbre de BOOLE - Opérateurs

™

Différentes formulations du XOR:

) (

)

(A B A B

B

A⊕ = + ^{• •}

™Y=A ⊕ B est égal à 1 si et seulement si A = 1 ou B = 1 mais pas simultanément:

™Y=A ⊕ B égal à 1 si A = 1 et B = 0 ou si B = 1 et A = 0. Soit :

) (

)

(A B B A

B

A⊕ = ^• + ^•

™Y=A ⊕ B égal à 0 si A et B sont égaux à 1 ou si A et B sont égaux à 0 :

) (

)

(A B A B

B

A⊕ = ^• + ^•

™Y=A ⊕ B correspond à un détecteur d'égalité:

) (

)

(A B A B

B

A⊕ = + ^• +

Algèbre de BOOLE - Opérateurs

Axiomes et théorèmes de l’Algèbre de Boole

OU (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C A + B = B + A

A + A = A A + 0 = A A + 1 = 1

Associativité Commutativité Idempotence Elément neutre Elément absorbant ET (A • B) • C = A • (B • C) = A • B • C

A • B = B • A A • A = A A • 1 = A A • 0 = 0

Associativité Commutativité Idempotence Elément neutre Elément absorbant Distributivité A • (B + C) = (A • B) + (A • C)

A + (B • C) = (A + B) • (A + C)

NON A =A

1 A A+ =

0 A A^• =

Axiomes et théorème de l’algèbre de BOOLE

™ Axiomes et théorèmes de l’Algèbre de Boole (suite)

Simplification A + (A • B) = A A • (A + B) = A

A ) B A ( ) B A

( + • + =

B A ) B A (

A + • = +

Théorème De Morgan

...

C B A ...

C B A

...

C B A ...

C B A

•

•

•

•

•

•

= + + +

+ + +

=

OU exclusif A ⊕ B = (A + B)^• (A ^• B) ) A B ( ) B A ( B

A ⊕ = • + •

) B A ( ) B A ( B

A ⊕ = ^• + ^•

) B A ( ) B A ( B

A ⊕ = + ^• +

Usages de l’algèbre de Boole

1. formalisation du raisonnement sur les propositions logiques (= qui a un résultat vrai ou faux).

2. faire des opérations sur des valeurs quelconques codées.

Exemples:

1. fonction tourne_gauche sur les axes cardinaux (4 valeurs différentes donc un codage sur 2 bits) E: 00 - N: 01 - S:11 - O:10

2. fonctions logiques sur des nombres

Fonctions booléennes

Définition :

Une fonction booléenne est une application de {0, 1}ⁿ vers {0, 1}

(x

, x

, x

,..., x

)→ f(x

, x

, x

,..., x

) ∈ {0, 1}

Elle peut être définie de deux manières différentes :

1. par une table de vérité

2. par une équation logique

Fonctions booléennes

Table de vérité

Exemple:

F est une fonction booléennes à 3 variables (x,y,z)

La table de vérité donne la valeur de F pour les 8 différentes combinaisons possibles

C_i x y z F

0 0 0 0 1

1 0 0 1 1

2 0 1 0 1

3 0 1 1 0

4 1 0 0 1

5 1 0 1 0

6 1 1 0 0

7 1 1 1 0

Exemples:

F(0,0,1)=1 F(0,1,1)=0 F(1,0,1)=0

Fonctions booléennes

Problème:

Taille de la table si le nombre de variables est grand (>4)

nombre de lignes de la table= 2

A n’utiliser que si le nombre de variables est inférieur ou égal à 4

Fonctions booléennes

Equation logique:

Expression faisant intervenir les variables de la fonction.

Deux types de termes peuvent être utilisés:

1. minterme (ou monôme) : produit de variables, chaque variable

intervenant au plus une fois sous sa forme normale ou complémentée.

Exemples: Fonctions à 3 variables x, y et z

y

x

xy z ( monome complet )

z

x +

2. maxterme : somme de variables, chaque variable intervenant au plus une fois sous sa forme normale ou complémentée.

Exemples:

Fonctions booléennes

Equation logique

1^ère forme canonique : somme des monômes (mintermes) complets pour lesquels la fonction vaut 1

P₀ P₁ P₂ P₃ P₄ P₅ P₆ P₇ Ci x y z x yz x yz x y z x yz x yz x yz x yz x yz

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0

2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0

3 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0

4 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

5 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0

6 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0

7 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1

F

P₀+P₁+P₂+P₄

1 1 1 01 0 00

z y x z

y x z

y x z

y x

F = + + +

Fonctions booléennes

Equation logique

2^ème forme canonique : produit des maxtermes complets pour lesquels la fonction vaut 0.

S₀ S₁ S₂ S₃ S₄ S₅ S₆ S₇ C_i x y z ^{x+y+z x}+^y+^z x+y+z x+y+z x+y+z x+y+z x+y+z x+y+z

0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1

2 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1

3 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1

4 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1

5 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1

6 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1

7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0

Simplification des équations logiques

But :

Obtenir une forme simplifiée de l’équation logique (expression équivalente et plus facile à utiliser)

Exemple:

) (

)

( y z t x y z t

x + + +

) (

)

( y z t x y z t

x + + +

t x z y x t z x

xy + + +

Simplification des équations logiques

Deux méthodes:

1. utilisation des règles de simplification 2. utilisation des tableaux de Karnaugh

Utilisation des règles de simplification

Exemple:

x z z

y y

x

z z

y x y

y z

x x

x z y

z y x z

y x z

y x z

y x z

y x z

y x

z y x z

y x z

y x z

y x F

+ +

=

+ +

+ +

+

=

+ +

+ +

+

=

+ +

+

=

) (

) (

) (

) (

) (

) (

Problèmes:

•Trouver la bonne règle de simplification

•on n ’est pas sûr d ’avoir la « meilleure » solution

Tableaux de Karnaugh

La méthode repose sur l'identité suivante:

A B

B A

B A B

A ^• ) + ( ^• ) = ^•( + ) = (

Utilisation d’un code de GRAY

♦Tableau à 3 variables_:

C AB

0 1

0 0 0 1 1 1 1 0

Tableaux de Karnaugh

♦Tableau à 4 variables : CD

AB

0 0 0 1 1 1 1 0

0 0 0 1 1 1 1 0

♦Tableau à 5 variables :

CDE AB

0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0

0 0 0 1 1 1

Tableaux de Karnaugh

Règles :

1. Constituer des pavés de « 1 » avec des cases ‘’voisines ’ (attention, le nombre de « 1 » dans un pavé est une puissance de deux).

2. Recouvrir tous les « 1 » du tableau.

3. A chaque pavé correspond un monôme.

4. Les monômes sont constitués de variables qui ne changent pas dans le pavé.

5. Les valeurs interdites sont notées ∅ et sont considérées égales à « 1 » dans le cas où elles sont intéressantes.

Remarques :

1. on peut recouvrir plusieurs fois un « 1 »

2. les paves constitués doivent être les plus grands possibles.

Tableaux de Karnaugh

Cases voisines

A l’intérieur A un coin

00 01 11 10

00 01 11 10

zt xy

00 01 11 10

00 01 11 10 ztxy

Sur un bord

00 01 11 10

00 01 11 10 ztxy

Tableaux de Karnaugh

Exemples:

Fonction à 3 variables Fonction à 4 variables

00 01 11 10

00 01 11 10 zt xy

1

1 1 1

1

1 1

1

xt yt

t xy

0 1

00 01 11 10

1 1

1

1 xy

x z z

y y

x

F = + +

Tableaux de Karnaugh

x y z t F

0 0 0 0 1

0 0 0 1 0

0 0 1 0 1

0 0 1 1 0

0 1 0 0 0

0 1 0 1 1

0 1 1 0 0

0 1 1 1 0

1 0 0 0 1

1 0 0 1 1

1 0 1 0 1

1 0 1 1 1

1 1 0 0 0

1 1 0 1 1

1 1 1 0 0

Table de vérité correspondante

t z y t

y y

x

F = + +

Tableaux de Karnaugh

™

Exemples

Fonctions à 5 variables

xyz tu

0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0

0 0 0 1 1 1

1 0 ^{1 1}

1

1 1

1

1 1

1

1 1