2) Soient (Ω, T , µ) un espace mesur´ e et (f n ) n une suite d´ ecroissante (f n+1 ≤ f n ) d’ap- plications mesurables de (Ω, T ) dans R + . On suppose que R

1 Universit´ e Bordeaux 1, 2014-2015. Th´ eorie d’int´ egration.

Devoir surveill´ e du 22 octobre 2014.

Sans documents (3h).

Exercice 1 : 1) Enoncer le th´ eor` eme de Beppo-Levi.

2) Soient (Ω, T , µ) un espace mesur´ e et (f _n ) _n une suite d´ ecroissante (f _n+1 ≤ f _n ) d’ap- plications mesurables de (Ω, T ) dans R + . On suppose que R

Ω f ₀ dµ < +∞. Montrer que lim n→+∞

R

Ω f n dµ = R

Ω lim n→+∞ f n dµ.

Exercice 2 : (1) Soit f _n (x) = n ² xe ^−nx . Calculer

n→+∞ lim Z

[0,1]

f _n (x)dx et Z

[0,1]

n→+∞ lim f _n (x)dx.

Existe-t-il une fonction g int´ egrable sur [0, 1] telle que pour tout n ∈ N ^∗ et pour tout x ∈ [0, 1], f _n (x) ≤ g(x) ?

(2) Soit f une application mesurable positive sur [0, 1]. D´ eterminer

n→+∞ lim Z

[0,1]

dx 1 + (f (x)) ⁿ .

On pourra introduire les ensembles A = {x ∈ [0, 1], 0 ≤ f (x) < 1}, B = {x ∈ [0, 1], f (x) = 1}, C = {x ∈ [0, 1], f (x) > 1}.

Exercice 3 : Soit (Ω, T , µ) un espace mesur´ e et f : Ω → R une fonction int´ egrable.

L’ensemble R est muni de sa tribu bor´ elienne.

(1) Pour n ≥ 1, on pose

A _n = {x ∈ Ω, 1/n ≤ |f (x)| ≤ n}.

Montrer que A _n est mesurable (A _n ∈ T ).

(2) Soit g _n = |f |χ _A

. Montrer que

g _n → |f| µ−p.p et Z

g _n dµ → Z

|f |dµ.

En d´ eduire que pour tout > 0, il existe A ⊂ T , tel que







µ(A) < ∞ f born´ ee sur A R

Ω\A |f|dµ < .

2

(3) Montrer alors que pour tout > 0, il existe η > 0 tel que

∀ B ∈ T , µ(B) < η ⇒ Z

B

|f |dµ < .

(4) Soit [a, b] un segment de R et f une fonction int´ egrable sur [a, b]. Montrer que la fonction d´ efinie par

F (x) = Z x

a

f (t)dt, est uniform´ ement continue.

Exercice 4 : Soit (Ω, T , µ) un espace mesur´ e. On suppose que µ(Ω) < +∞.

Soit (f _n ) _n une suite d’applications mesurables de (Ω, T ) dans ( R , B( R )).

On dit que (f _n ) _n converge presque uniform´ ement vers 0 sur Ω si pour tout > 0, il existe A ∈ T tel que µ(Ω \ A) ≤ et (f n ) n converge uniform´ ement vers 0 sur A.

1) Soit (A _k ) _k une suite d’´ el´ ements de T telle que pour tout k, µ(Ω \ A _k ) ≤ _k ¹ . (a) Montrer que µ(Ω \ (∪ _k A _k )) = 0.

(b) On suppose que, pour tout k, (f n ) n converge uniform´ ement vers 0 sur A k . Dire pourquoi (f _n ) _n converge simplement vers 0 sur ∪ _k A _k .

2) D´ eduire de 1) que si (f _n ) _n converge presque uniform´ ement vers 0 sur Ω, alors (f _n ) _n converge presque partout vers 0 sur Ω.

3) On veut montrer maintenant que la r´ eciproque de 2) est vraie, c’est-` a-dire que la convergence presque partout entraine la convergence presque uniforme.

On suppose que (f n ) n converge presque partout vers 0 sur Ω. On note A _N,p = \

n≥N

|f _n | ≤ 1 p

, N ∈ N ^∗ , p ∈ N ^∗ .

a) V´ erifier que pour tout N, p, A _N,p ∈ T et que µ (∪ _N ≥1 A _N,p ) = µ(Ω).

On pourra introduire l’ensemble B = {x ∈ Ω, f _n (x) → 0} et montrer que B ⊂

∪ _N≥1 A _N,p .

b) Soit > 0. Montrer que pour tout p ∈ N ^∗ , il existe N _p = N _p () ≥ 1 tel que µ(Ω) − µ(A _N

_,p ) ≤ ₂

.

c) On note A = ∩ _p≥1 A _N

_,p . Montrer que µ(Ω \ A ) ≤ .

d) En d´ eduire que (f _n ) _n converge presque uniform´ ement vers 0 sur Ω (Th´ eor` eme

d’Egorov).