ECS 1Dupuy de Lome Semaine du 11 janvier 2005
Feuille d’Exercices : strat´ egies de d´ emonstration
D´emonstration par contrapos´ee, par l’absurde
Exercice 1 : Quantifier la d´efinition d’injectivit´e, en faisant apparaˆıtre une implication. Donner une autre interpr´etation de l’injectivit´e en prenant la contrapos´ee.
Exercice 2 : Que pensez-vous de l’implication “5impair ⇒3 impair” ? Enoncez sa n´egation, sa contrapos´ee.
Exercice 3 : Que pensez-vous de l’implication “pour tout nombre r´eel x∈R,x <0⇒x < x2? Enoncez sa n´egation, sa contrapos´ee.
Exercice 4: D´emontrer par contrapos´ee que pour tout entierm∈N m2 impair ⇒ mimpair
m2pair ⇒ mpair
Exercice 5: Soienta, b∈Rdeux nombres r´eels. D´emontrer par contrapos´ee que : Si pour toutε >0,a < b+ε alors a≤b.
Exercice 6: D´emontrer par l’absurde que√
2 est irrationnel.
Raisonnement par analyse-synth`ese
Exercice 7: Soitf :R→Rune application. D´emontrer qu’il existe deux fonctionsg, h:R→R telles que :
g est paire,hest impaire, etf =g+h.
BAnalyse : Supposons que de telles fonctionsg ethexistent.
1. D´emontrer que n´ecessairement pour tout nombre r´eel x
f(x) = g(x) +h(x) f(−x) = g(x)−h(x) . 2. En d´eduire l’expression deg(x) et de h(x) en fonction def(x).
BSynth`ese : Conclure...
Exercice 8: D´eterminer l’ensemble des applicationsf :R→Rtelles que (1) ∀(x, y)∈R2, f(x)×f(y)−f(x.y) =x+y.
BAnalyse : Supposons qu’une telle fonctionf existe.
1. D´emontrer que n´ecessairementf(0) = 1.
2. En d´eduire l’expression def(x).
BSynth`ese : Conclure...
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