Optimisation num´erique Strat´egies d’´evolution
Master 1 I2L 2013 / 2014
Pour r´epondre aux questions, vous pouvez mener des recherches dans le cours ainsi que sur le web.
Exercice 1 : Dimensionalit´ e
Ces questions ont pour but d’explorer les distances et les volumes en dimensionn.
Questions :
a - Calculer en fonction denla distance (euclidienne) entre les points de coordonn´eesx= (0.2,0.2, . . . ,0.2) ety= (0.8,0.8, . . . ,0.8) appartenant `a Rn. Que vaut la distance lorsque ntend vers l’infini ?
b - Un cube de Rn a pour cot´e 0.1. Quel est son volume en fonction den? Que vaut le volume lorsque ntend vers l’infini ?
c - Une boule deRna pour rayon l’unit´e. Quel est son volume en fonction den? Comparer les volumes lorsquen= 2,3,10,100.
Exercice 2 : M´ ethode de Newton
Le but est de d´ecouvrir une m´ethode d’optimisation num´erique pour les fonctions r´eelles d’une variable.
Questions :
a - Utiliser la m´ethode de Newton pour r´esoudre num´eriquement `a 10−6 pr`es l’´equation f(x) = 0 o`u f(x) =−x3+x2−2x+ 5
b - Comment peut-on utiliser la m´ethode de Newton pour trouver les minimaux d’une fonction ? c - Rechercher le minimum de la fonctionf(x) = 10x4−20x3−90x2+ 20x+ 80 en utilisant la m´ethode
de Newton.
Exercice 3 : S´ eparabilit´ e
Le but est de d´ecouvrir la notion de s´eparabilit´e.
Questions :
a - Parmi ces fonctions suivantes, quelle fonction semble ˆetre la plus facile `a maximiser ? f1(x) = (3x1+x2−1)2+ (−2x1+x2−1)2+ 1
1
f2(x) = cos ((x1−0.5)2(x1+ 1) + 1 x1+ 1 ) +p
exp((x2−0.25)2) + 1 pour x∈[0,1]2.
b - Trouver une approximation du maximum de f2 par la m´ethode de Newton `a 10−6 pr`es.
Exercice 4 : Loi normale
Le but est de (re)d´ecouvrir la loi normale, en particulier la version multivari´ee.
Questions :
a - Tracer (avec gnuplot par exemple) les densit´es des distributions normales (mono-vari´ee) suivantes : N(0,1),N(3,1),N(−4,1),N(0,0.1),N(0,10).
b - Donner la relation entre les distributions N(m, σ) et la loi normale centr´ee r´eduiteN(0,1).
c - Loi normale bivari´ee. Ecrire un programme qui g´en`ere des ´echantillons dek points de R2 suivant les lois normales bivari´ees suivantes :
— N2(0, I2), I2 est la matrice identit´e de dimension 2. La loi normale se d´ecompose en deux lois normales mono-vari´ees ind´ependantes.
— N2(0, σI2), I2 est la matrice identit´e de dimension 2 et σ un nombre r´eel ´egale `a 10.
— N2(0, D), o`uD est la matrice diagonale de dimension 2,D=
1 0 0 100
.
— N2(0, C), o`uCest la matrice de dimension 2 :C=
cosθ −sinθ sinθ cosθ
.
1 0 0 100
avecθ=π/3.
Exercice 5 : (1 + 1)-ES
a - Coder dans le langage que vous voulez un algorithme (1 + 1)-ES pour trouver le minimum de la fonction sph`ere de dimension 2f(x) =x21+x22.
b - Tracer la dynamique de la valeur de la solution courante en fonction du nombre d’´evaluation (´echelles logarithmiques).
Exercice 6 : (1 + 1)-ES avec r` egle du 1/5
a - Coder dans le langage que vous voulez un algorithme (1 + 1)-ES avec fifth-rule (r`egle du 1/5) pour trouver le minimum de la fonction sph`ere de dimension 2f(x) =x21+x22.
b - Comparer la dynamique avec l’algorithme pr´ec´edent.
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