L1 Analyse Exos5 : 6/10/2009
Continuit´ e
1.
Contrˆ oler une fonction
On consid`ere la fonction f :=x7→3x2−x3. a) Trouver un majorant M de|f0| sur [0,2].
b) Donner un intervalle ouvert I contenant 1 et o`uf reste entre 1,9 et 2,1. Faire un dessin.
c) Etant donn´e >0, donner η >0 v´erifiant (pour tout x r´eel) |x−1|< η =⇒ |f(x)−2|< . 2.
Justifier une discontinuit´ e
Trouver un point o`u la fonction x7→[x](x2−x) est discontinue. Justifier.
3.
D´ etailler une d´ emonstration
Pour trois r´eels x, a etr avecr positif, montrer l’´equivalence :
|x−a| ≤r ⇐⇒a−r≤x≤a+r.
4.
D´ etailler une d´ emonstration
Pour f d´efinie sur tout R et a quelconque, on consid`ere les quatre ´enonc´es A, B, C, D suivants :
∀η >0, ∃ >0, |x−a|< =⇒ |f(x)−f(a)|< η;
∀η >0, ∃ >0, |x−a|< =⇒ |f(x)−f(a)| ≤η;
∀η >0, ∃ >0, |x−a| ≤=⇒ |f(x)−f(a)| ≤η;
∀η >0, ∃ >0, |x−a| ≤=⇒ |f(x)−f(a)|< η .
a) Parmi les douze implications entre ces ´enonc´es, cinq sont faciles, lesquelles ? Prouvez-les.
b) Pour prouver l’´equivalence entre ces quatre ´enonc´es, il suffit de prouver une implication suppl´ementaire.
Laquelle ?
c) Prouvez cette sixi`eme implication.
5.
Rectifier une d´ emonstration
D´enoncer et rectifier la d´emonstration (d´elirante) suivante :
Th´eor`eme : si deux fonctions (partout d´efinies) sont continues en un point, leur somme l’est aussi.
Preuve : soient f etg les deux fonctions donn´ees, eta le point o`u elles sont suppos´ees continues. On doit montrer quef+g est continue en a. Soit donc un nombre strictement positif. On doit trouver ηstrictement positif v´erifiant l’implication qu’on sait. Pour cela, utilisons nos deux hypoth`eses : elles nous fournissent deux nombres η1 et η2 v´erifiant
|x−a|< η1 =⇒ |f(x)−f(a)|< et |x−a|< η2 =⇒ |g(x)−g(a)|< . En ajoutant membre-`a-membre, on obtient
|x−a|< η1+η2 =⇒ |f(x) +g(x)−f(a)−g(a)|<2.
Quitte `a remplacer par 2, on voit que η :=η1+η2 convient.
