 définie par : { u

Correction exercice 40 (revue cyméo) : DM 2 TS

Année scolaire 2010/2011

u

 définie par : { ^u

^{= u 1 3}

^{=1 u}

^{ n – 2} pour tout n ∈ ℕ.

1 u

= – 5

3 ^; u

= – 14

9 ^et u

= – 14 27 2.a u

= 67

81 ^et 67

81 0 . On suppose qu'il existe n ( supérieur à 4) pour lequel u

0 _. A-t-on u

0 _?

u

= 1

3 u

 n – 2 ; u

0 donc 1

3 u

0 . De plus n 4 donc n – 2 2 ainsi 1

3 u

 n – 22 d'où u

0 _.

D'après le principe du raisonnement par récurrence, ∀ n4 , u

0

2.b D'après ce qui précède, u

0 pour tout n5 . (puisque u

0 _pour n4 ) ce qui est équivalent à 1

3 u

0 ⇔ 1

3 u

n – 3n –3 ⇔ u

n – 3 _{( ∀} n5 ) Attention : u

= 1

3 u

n – 2 et u

= 1

3 u

n – 1 – 2

2.c En utilisant le théorème de comparaison : ∀ n5 ^{, u}

^{n – 3 et}

^{lim n – 3 =∞ donc} lim

n∞

u

=∞

3 On définit v

 _{par :} ∀ n ∈ ℕ , v

=– 2 u

3n – 21 2 3.a

∀ n ∈ ℕ , v

= – 2 u

3 n1 – 21

2 ^⇔ v

= – 2  ¹ 3 u

n – 2  ^{3 n – 15} 2 ^⇔ v

=– 2

3 u

n – 7 2 ^⇔ v

= 1

3  ^{– 2u}

^{3n – 21} 2  ^{⇔ v}

^{= 1} 3 v

. Ainsi v

 est une suite géométrique de raison 1

3 ^{et de} premier terme v

=– 2 u

3×0 – 21

2 =– 25 2

3.b D'après ce qui précède, comme  v

 est géométrique, v

=v

×q

⇔ v

=– 25

2  ¹ 3 

^{, ∀ n ∈ ℕ}

Or v

=– 2 u

3n – 21

2 ^⇔ u

= – 1 2 v

 3

2 n – 21

4 ^et u

= 25

4  ¹ 3 

^{ 3} 2 n – 21 2

3.c S

= ∑

k=0

n

u

donc S

= 25 4 ∑

k=0

n

 ^{1 3} 

^{ 3 2 ∑}

k− 21 4 ∑

k=0 n

1 ⇔ S

= 25 4

1 –  ¹ 3 

1 – 1 3

 3 2

n n1

2 – 21 4  n1

⇔ S

= 75

8  ^{1 –  1 3 }

 ^{ 3 4 n}

^{– 18 4 n – 21 4 , ∀ n ∈ ℕ}

2010©My Maths Space Page 1/1