définie par u

Terminale S

Devoir maison n˚9

A rendre le vendredi 16 décembre 2016 EXERCICE 1 On considère la suite (u

)

définie par u

=

1 + 1

n

.

1. On admet que (u

)

converge vers une limite que l’on nomme ℓ. Reconnaître ℓ.

Écrire un algorithme en utilisant AlgoBox ou Python dont l’affichage doit être le premier entier naturel n pour lequel |u

− ℓ| < 10

.

Vous joindrez une copie d’écran de votre algorithme à votre copie.

2. FACULTATIF pour les élèves suivant P

: L’objectif est de démontrer que la suite (u

)

converge.

(a) En utilisant la formule du binôme de Newton, démontrer que u

=

n

X

k=0

v

avec ∀k ∈ [[1; n]], v

= 1

1 − 1

n 1 − 2 n

× . . . ×

1 − k − 1 n

× 1 k! puis v

= 1.

(b) Prouver que, ∀k ∈ [[1; n]], v

6 v

. En déduire, pour tout n > 1, une majoration de u

et que finalement, u

6 u

.

(c) Justifier que, pour tout k > 1, v

6 1

k! et que k! > 2

. En déduire que (u

)

est majorée.

(d) Conclure.

il est rappelé que

=

• • •

EXERCICE 2 Le plan complexe (P) est rapporté au repère orthonormal direct (O; − → i ; − →

j ), unité gra- phique : 3 cm.

On considère l’application f de C \{−2 − i} dans C définie par f (z) = z + 1 − 2i z + 2 + i . 1. Représenter dans (P) le point A d’affixe −3 + i.

Calculer f (−3 + i) et représenter dans (P) le point A

d’affixe f (−3 + i).

2. Résoudre dans C l’équation f (z) = 2i.

3. En posant z = x + iy , x ∈ R , y ∈ R , déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de f (z). On vérifiera que :

Re(f (z)) = x

+ 3x + y

− y (x + 2)

+ (y + 1)

4. Déterminer et représenter dans (P) l’ensemble E

des points M d’affixe z tels que f (z) soit réel.

5. Déterminer et représenter dans (P) l’ensemble E

des points M d’affixe z tels que f(z) soit imaginaire pur.

• • •

EXERCICE 3 On considère la fonction f définie et dérivable sur l’ensemble R des nombres réels par : f (x) = x + 1 + x

e

.

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O; − → i ; − →

j ).

Lycée Bertran de Born - Périgueux 1 sur 1

Terminale S

Devoir maison n˚9

1. Soit g la fonction définie et dérivable sur l’ensemble R par : g(x) = 1 − x + e

.

Dresser, en le justifiant, le tableau donnant les variations de la fonction g sur R (les limites de g aux bornes de son ensemble de définition ne sont pas attendues).

En déduire le signe de g(x).

2. Déterminer la limite de f en −∞ puis la limite de f en +∞.

3. On appelle f

la dérivée de la fonction f sur R . Démontrer que, pour tout réel x,

f

(x) = e

g(x).

4. En déduire le tableau de variation de la fonction f sur R .

5. Démontrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution réelle α sur R . Démontrer que −1 < α < 0.

Lycée Bertran de Born - Périgueux 2 sur 1