définie par u

CONTROLE N°1 TS3.

Mercredi 24 septembre 2014.

I. A l aide des méthodes vues en classe, déterminer la limite de chacune des suites définies ci-dessous : 1. ( ) ^u

ⁿ

définie par u

n

2n

³

3 n² 5 n 2 pour tout n de .

2. ( ) ^v

ⁿ

définie par v

n

n ² 2n 1

n

³

n pour tout n de *.

3. ( ) ^t

ⁿ

définie par t

n

= sin( n 2)

n 3 pour tout n de .

II. La suite u est définie pour tout entier n  0 par : u

n

n 1 n 1. Déterminer la limite de la suite ( ) ^u

ⁿ

^.

2. Déterminer la limite de la suite ( ) ^w

n

définie pour n  1 par : w

n

= u

₀

u

₁

u

₂

... u

_{n 1}

n .

III. Soit ( ) ^u

ⁿ

la suite définie par u

0

3 et, pour tout n de , u

n 1

8u

n

14.

1. Soit la suite ( ) ^v

ⁿ

définie par v

_n

u

_n

− 2 pour tout n ≥ 0.

a. Montrer que la suite ( ) ^v

n

est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

b. Exprimer v

n

puis u

n

en fonction de n.

c. Déterminer la limite de la suite ( ) ^u

n

.

2. Compléter l algorithme ci-dessous de façon à afficher en sortie la valeur du plus petit entier n tel que u

n

> 10 000.

Variables : u et n des nombres entiers Initialisation : n prend la valeur 0

u prend la valeur ...

Traitement : Tant que ...

u prend la valeur ...

n prend la valeur ...

Fin tant que

Sortie : Afficher ...

3. On pose S

n

u

1

u

2

u

3

... u

n

. Exprimer S

n

en fonction de n.

IV. Soit ( ) ^u

n

la suite définie par u

0

= 5 et u

n 1

= u

n

12 pour tout n de .

Vous pouvez utiliser les résultats d une ou plusieurs questions même si vous n avez pas réussi à les prouver.

1. Montrer par récurrence que pour tout n de , u

n

4.

2.

a. Montrer que pour tout n de , u

n 1

 u

n

= u

n

2

u

n

12

u

n

12 u

n

b. Construire le tableau de signes de l expression x ² x 12 x 12 x

pour x 0.

c. En utilisant les questions précédentes, justifier que la suite ( ) ^u

n

est décroissante.

3.

a. Montrer que pour tout n de , u

n 1

4 1

8 ( ^u

ⁿ

^{4 .} )

b. Montrer par récurrence que, pour tout entier n de , 4 u

n

 

 

1 8

n

4

c. En déduire la limite de la suite ( ) ^u

ⁿ

. Justifier.

CORRECTION DU CONTROLE N°1 TS3.

I.

1. ( ) ^u

n

définie par u

_n

2n

³

3 n² 5 n 2 pour tout n de . lim

n

2n

³

et lim

n

3 n²=+ donc on a une FI.

Pour tout n de , u

n

n

³

 

 

2

³

n 5 n²

2 n³

lim

n

n

³

= + et lim

n

2

³

n 5 n²

2

n³

−2 donc lim

n

u

n

= .

2. ( ) ^v

n

définie par v

_n

n ² 2n 1

n

³

n pour tout n de *.

Comme ci-dessus, on a une FI.

Pour tout n de , v

n

n²  

 

1−2

n 1 n²

n

³

 

 

1

¹

n²

=

1−

² n

1 n²

n  

 

1

¹

n²

lim

n

1−2 n

1 n²

1 lim

n

1

¹

n²

1 donc lim

n

n  

 

1

¹

n²

3. ( ) ^t

n

définie par t

n

= sin( n 2)

n 3 pour tout n de . Pour tout n de , 1 sin(n 2) 1 donc 1

n 3 u

n

1 n 3 Or lim

n

1

n 3

lim

n

1

n 3

0. Alors, d après le th des gendarmes, lim

n

t

n

0 II.

1. On a une FI car lim

n

n 1 et lim

n

n .

Pour tout n de , u

n

( n 1 n ) ( n 1 n )

n 1 n

= n 1 n

n 1 n

1

n 1 n

lim

n

n 1 n donc lim

n

u

n

0.

2. Pour tout n de : w

n

1 0 2 1 3 2 ... n n 1

n = n

n = n Alors lim

n

w

n

.

III. Soit ( ) ^u

ⁿ

la suite définie par u

0

3 et, pour tout n de , u

n 1

8u

n

14.

1. Soit la suite ( ) ^v

ⁿ

définie par v

_n

u

_n

− 2 pour tout n ≥ 0.

a. Soit n un entier naturel.

v

n 1

v

n

u

n 1

2 u

n

2

8u

n

14 2 u

n

2

8u

n

16 u

n

2

8 ( ^u

ⁿ

² )

u

n

2 8 donc la suite ( ) ^v

ⁿ

est une suite géométrique de raison 8 et de premier terme v

0

u

0

2 3 2 1.

b. On alors : pour tout n de , v

n

1 8

ⁿ

8

ⁿ

et u

n

v

n

2 8

ⁿ

2 c. 8 > 1 donc lim

n

8

ⁿ

donc lim

n

u

n

.

lim

n vn 0

Variables : u et n des nombres entiers Initialisation : n prend la valeur 0

u prend la valeur 3 Traitement : Tant que u 10 000 u prend la valeur 8u-14 n prend la valeur n+1

Fin tant que

Sortie : Afficher n

2. S

n

u

1

u

2

u

3

... u

n

= v

0

2 v

1

2 v

2

2 ... v

n

2 ( ^v

⁰

^v

¹

^v

²

^{... v}

ⁿ

) ^{2(n 1)}

v

0

( 1 8

^{n 1}

)

1 8 2( n 1) 8

^{n 1}

1

7 2(n 1) car v

0

1.

IV. Soit ( ) ^u

n

la suite définie par u

0

= 5 et u

n 1

= u

n

12 pour tout n de .

1. Initialisation : pour n

0

0 : u

0

5 4 donc la propriété est vraie pour n

0

0.

Hérédité : soit p un entier naturel tel que u

p

4. Montrons que u

p 1

4.

u

p

4 donc u

p

12 16

donc u

p

12 4, c'est-à-dire u

p 1

4.

Conclusion : pour tout n de , u

n

4.

2.

a. Soit n un entier naturel.

u

n 1

u

n

u

n

12 u

n

( ^u

ⁿ

^{12 u}

ⁿ

) ( ^u

ⁿ

^{12 u}

ⁿ

)

u

n

12 u

n

= u

n

12−u

n²

u

n

12 u

n

.

b. Signe de x² x 12 : = 49 donc le trinôme a deux racines qui sont 4 et 3 et il est négatif, sauf entre ces racines. On a donc le tableau de signes :

x 0 4 +

x ² x 12 +

x 12 x + +

x ² x 12 x 12 x

+

c. Pour tout n de , u

n 1

u

n

= u

n

12−u

n²

u

n

12 u

n

avec u

n

4 (d après 1 et 2a) Alors, d après le tableau ci-dessus, u

n 1

u

n

0.

La suite ( ) ^u

ⁿ

est donc décroissante.

3.

a. Soit n un entier naturel.

u

n 1

4 u

n

12 4 = ( ^u

ⁿ

^{12 4} ) ( ^u

ⁿ

^{12 4} )

u

n

12 4

= u

n

4 u

n

12 4

= 1

u

n

12 4 ( ^u

ⁿ

⁴ )

On a de plus u

_n

4 donc u

_n

12 4 8 Ainsi, u

_{n 1}

4 1

8 ( ^u

n

4 . )

b. Initialisation : pour n

0

0 : u

0

5 ;

 

 

1 8

0

4 5 donc 4 u

0

 

 

1 8

0

4. La propriété est vraie pour n 0.

Hérédité : soit p un entier naturel tel que 4 u

p

 

 

1 8

p

4. Montrons que 4 u

p 1

 

 

1 8

p 1

4.

 up 1

4 d après la question 1.

 D après la question 3a, up 1

4 1

8 ( ^u

p

4 donc u )

p 1

1

8 ( ^u

p

4 ) 4 1 8  

 

 

 

1 8

p

4 4 4

u

p 1

 

 

1 8

p 1

4.

Ainsi 4 u

p 1

 

 

1 8

p 1

4.

Conclusion : pour tout entier n de , 4 u

n

 

 

1 8

n

4

c. 1 1

8 1 donc lim

n

 

 

1 8

n

0. Alors lim

n

4 lim

n

 

 

1 8

n

4 4 donc, d après le th des gendarmes, lim

n

u

n

4.