Montrer que A =A ′.

PREPARER L’ENTREE EN PREPA.

Exercice 1

Soient A, B, C, A′, B ′ et C ′ six parties d’un ensemble E telles que :

A∩B∩C = , A  B=A ′ B ′, B C= B′ C′, CA =C ′ A ′, A ′ A, B ′B et C′ C.

Montrer que A =A ′.

Exercice 2

Définition : Deux suites ( ) ^{un et} ( ) ^vn sont dites adjacentes si : l’une est croissante, l’autre est décroissante et

.

1. Soient deux suites adjacentes ( ) ^u

et ( ) ^v

telles que ( ) ^u

croissante et ( ) ^v

décroissante.

a. Montrer que la suite ( ) ^t

définie pour tout n de IN par t

=v

−u

est décroissante.

b. En déduire que, pour tout entier naturel n, u

≤v

.

c. Montrer que les suites ( ) ^u

et ( ) ^v

sont convergentes et qu’elles ont la même limite.

2. Application.

Soient les suites ( ) ^u

et ( ) ^v

définies pour tout n de IN* par u

=1+ 1 2² + 1

3² +…+ 1

n ² et v

=u

+ 1 n . a. Montrer que les suites ( ) ^u

et ( ) ^v

sont adjacentes.

b. A l’aide d’un tableur, donner une valeur approchée de la limite commune à ces deux suites à près.

Exercice 3

Dans tout le sujet, n et k sont des entiers naturels.

On note 

k=0 n

u

la somme u

+u

+…+u

et 

k=0 n

u

le produit u

×u

×…× u

.

On pensera à utiliser si nécessaire la somme des termes d’une suite arithmétique ou géométrique. On donne



k=0 n

k²= n (n +1)(2n +1)

6 .

1. Exprimer en fonction de n: S = 

k=0 n

3k +2 et S ′= 

k=1 n

(k ²+ 2k+ 1) . 2. Montrer que 1

k( k+1) = 1 k − 1

k+1 puis exprimer en fonction de n la somme 

k=1 n

1 k²+ k

3. On pose H

= 

k=1 n

1

k . Vérifier que, pour n=5, 

k=1 n−1

H

=nH

− n.

4. On appelle factorielle de n le nombre n!= 

k=1 n

k.

a. Calculer 4!

b. Montrer que k ×k!=(k +1)!−k !

c. En déduire une expression simple de 

k=1 n

k× k!

5. Exprimer simplement P= 

k=3 n

k +5

k +4 et Q= 

k=0 n

4

.

6. Pour tout réel x différent de 1, on pose f ( x)= 

k=0 n

x

. Montrer que pour tout réel x différent de 1,



k=1 n

kx

= nx

−( n+1) x

+ x

( x−1)² . Aide : on peut dériver f .

Exercice 4

Un jeu consiste à lancer 4 dés à 4 faces. Pour gagner, il faut obtenir 4 chiffres distincts. On gagne alors 10 fois sa mise. Le jeu est-t-il favorable au joueur ?

Exercice 5

Pour tout entier naturel n 1, on pose u

=

 

  1+ ¹

1²  

  1+ ¹

2²  

  1+ ¹

3² ...

 

  1+ ¹

n ² et v

=

 

  1+ ¹

n u

. 1. En utilisant le fait que u

>0 pour tout entier n non nul et en calculant u

u

, étudier le sens de variation de la suite ( ) ^u

.

2. Etudier le sens de variation de la suite ( ) ^v

.

3. En observant que pour tout entier n non nul, on a u

≤ v

, montrer que la suite ( ) ^u

est majorée.

4. Montrer que la suite ( ) ^u

converge. On note L sa limite.

5. Montrer que ( ) ^v

converge vers L.

6. Montrer que pour tout n de IN*, on a u

≤L ≤v

. 7. Etudier le sens de variation de la suite ( ^v

− u

) .

8. En utilisant un tableur, donner un encadrement de L d’amplitude

Remarques : Il n’est pas possible de calculer L avec exactitude. Cela signifie que l’on ne peut que déterminer des valeurs approchées de L.

Il est vraisemblable que L soit un nombre irrationnel.

Plus, il est très vraisemblable que l’on ne puisse pas exprimer L à l’aide des symboles usuels et que L soit un nombre transcendant (chercher la définition). La démonstration dépasse le programme de Terminale et n’est peut-être pas possible en l’état actuel des connaissances mathématiques.

Exercice 6

On considère les fonctions f et g définies sur l’intervalle [0;16] par g (x )=ln( x +1) et g (x )=ln( x+1)+1+cos( x).

Dans un repère du plan, on note C

et C

les courbes respectives des fonctions f et g. Ces courbes sont données ci-contre. Compare les aires des deux surfaces hachurées sur le graphique.

Exercice 7

( ) ^u

est la suite définie sur É

par u

= 1

n +1 + 1

n+2 + … + 1 2 n 1. Déterminer le sens de variation de la suite ( ) ^u

. 2.

a. Montrer que pour tout réel x strictement positif, 1  1

x ≤ ln( x) ≤ x  1.

b. En déduire que pour tout entier naturel p non nul, 1

p +1 ≤ ln  

  p +1

p ≤ 1 p . 3.

a. n est un entier naturel non nul. Ecrire l’encadrement précédent pour les valeurs n, n+ 1, … , 2n  1 de p.

b. En déduire que u

≤ln(2) ≤ u

+ 1 2 n

4. Montrer que la suite ( ) ^u

converge puis déterminer sa limite.

Exercice 8 -D’après un DM de BCPST

Soit n un entier naturel non nul. On considère la fonction gn définie sur [0 ;+∞[ par gn ( x)=( nx −1) e

−1 x , si x>0 et gn (0)=0. On admet que la fonction gn est continue en 0, c'est-à-dire que lim

x↔0+ gn (x )= gn (0).

1. Montrer que la fonction g

est dérivable en 0.

2. Déterminer lim

x↔+õ

g

(x ).

3.

a. Montrer que l’équation nx ²+n x−1=0 admet deux solutions non nulles de signes contraires.

b. On note α

= −n + n ²+4 n

2 n . Établir que gn ( ^α n ) =−n ( ) ^α

e

−1 α_n

. c. Montrer qu’il existe un unique réel a> α

tel que g

(a )=0.

d. Résoudre l’équation g

( x)=0 et en déduire un encadrement de α

puis la limite de la suite ( ) ^α

.

Exercice 9 -D’après concours d’entrée à l’ENAC.

En utilisant le fait que x= x +y 2 + x −y

2 et y=………, résoudre le système ( S) :

 

 ^{x +y= π} ₃

sin(x )+sin(y)= ¹

2

.