L1-M2 - 2007/2008 - Examen du 14 mai 2008
Examen de Mathématiques (M2) Durée: 3heures
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Exercice 1 : SoitM2(R) l’ensemble des matrices 2×2à coefficients dansR. Soit A=
½
A∈ M2(R)|A= µ0 a
0 b
¶
, où (a, b)∈R2
¾ .
1. Montrer, pour toute paire de matrices quelconques(A, B)∈ A2, qu’on aAB∈ A.
2. Montrer qu’il n’y a pas de matriceU ∈ Atelle que :∀A∈ A,U A=A.
3. Montrer qu’il y a une infinité de matricesV ∈ Atelles que :∀A∈ A,AV =A.
Exercice 2 : Sur ]0,+∞[on définit une opération “∗” par :
∀x >0,∀y >0, x∗y=xlny =elnylnx. 1. Montrer que :
(a) L’opération “∗” est une loi de composition interne sur]0,+∞[.
(b) L’opération “∗” est commutative.
(c) L’opération “∗” est associative.
(d) Montrer que e (base des logarithmes népériens) est un élément neutre par rapport à “∗”.
2. Soit l’ensembleA= ]0,+∞[\{1}. Montrer que :
(a) Toutx∈A admet un inversexe∈Apar rapport à la loi “∗”. Préciser l’expression deex.
(b) Le couple(A,∗)forme-t-il une structure algébrique ? Préciser laquelle.
Exercice 3 : On se propose de trouver par deux méthodes differentes (questions 1) et 2) ci-dessous) les polynômesP ∈R[X], de degrédegP ≤3, qui vérifient l’hypothèse :
(?) (X+ 1)P(X)−XP(X+ 2) =X3+X2+ 1.
1. En posant d’abordP(X) =a+bX+cX2+dX3, montrer qu’il n’y a qu’un seul polynôme qui vérifie (?). Le trouver explicitement.
2. (a) En utilisant (?) seulement, montrer queP vérifieP(0) = 1etP(1) = 1.
(b) En déduire que le polynômeA=P−1est divisible parX(X−1).
(c) Retrouver ainsi l’expression deP obtenue à la question (1).
3. Ecrire le théorème de division euclidienne pour la division deP parD=X(X−1). En déduire le reste R de la division deP parD. (Indication : utiliser 2.a))
Exercice 4 : SoitR2[X]l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à 2. SoitB={1, X, X2} la base canonique deR2[X]. SoitΦ :R2[X]→R2[X]définie par
∀P ∈R2[X], Φ(P) =P0. 1. (a) Montrer queΦest une application linéaire.
(b) Ecrire la matrice MatBΦ deΦ dans la base canoniqueB. Notons-la parA.
(c) Trouver le noyau deΦet sa dimension.
(d) En déduire le rang deΦ.
(e) Trouver le sous-espace image deΦ(donner une base de celui-ci).
2. Soit, pour un a∈R, le système de vecteursS ={1, X−a,(X−a)2/2}.
(a) Montrer queS est une base deR2[X].
(b) TrouverPBS, la matrice de passage deB à S .
(c) Trouver la matriceMatSΦde Φdans la base S. Notons-la par B.
(d) Soit PSB la matrice de passage de S à B. Ecrire une identité qui relie les matrices A, B,PBS et PSB.
