TD1 - Rappel d’alg` ebre lin´ eaire

CPBX MPC Alg`ebre II 2020-2021

TD1 - Rappel d’alg` ebre lin´ eaire

Exercice 1. Les familles suivantes sont-elles libres? Sont-elles g´en´eratrices?

1. Dans R³ :







 1 1 0



,



 0 1

−1







.

2. Dans R³ :







 1 1 0



,



 0 1

−1



,



 1

−1

−2







.

3. Dans R² : 1

1

, 0

1

, 1

0

.

4. Dans l’espace vectoriel, not´eRⁿ[X], des polynˆomes `a coefficients r´eels de degr´e≤n, la famille (P<sub>k</sub>)<sub>k=0,...,n</sub>, o`uP_k(X) = X^k.

Exercice 2. On se place dans E =R². Soit p:R² →R² la fonction d´efinie par p:

x y

7→

0 y

1. D´emontrer que p est un endomorphisme de R². 2. D´eterminer ker(p) et Im (p).

3. Donner la matrice de p dans la base canonique deR². 4. D´emontrer que la famille

1 1

,

1

−1

est une base deR², et donner la matrice dep dans cette base.

5. Montrer que pest un projecteur.

6. D´eterminer le rang de p.

7. On consid`ere l’application lin´eaire u:R² →R² d´efinie par u:

x y

7→

x+y 2y

Donner sa matrice dans la base canonique deR². 1

8. Donner la matrice de la compos´eeu◦p dans la base canonique (on pensera `a faire un produit matriciel). Donner ´egalement la matrice de p◦u.

Exercice 3. Soit E un espace vectoriel

1. Montrer que toute famille contenant une famille g´en´eratrice dansE est encore une famille g´en´eratrice dans E.

2. Montrer que toute famille incluse dans une famille libre est libre.

Exercice 4.

SoitE₁ etE₂ deux espaces vectoriels de dimensions finiespetn, ainsi que (x₁, . . . , x_p) et (y₁, . . . , y_n) des bases respectives.

1. Montrer que (x_i,0)_i=1,...,p∪(0, y_i)_i=1,...,n est une base de E₁×E₂.

2. En d´eduire la dimension deE₁×E₂. G´en´eraliser aux produits deN espaces vectoriels de dimensions finies.

Exercice 5. Soit E un K-ev de dimension finie etp un projecteur de E.

1. Montrer que E = kerpL Imp.

2. Que vaut la restriction de p `a Imp?

3. Ecrire la matrice de p dans une base adapt´ee `a cette d´ecomposition.

4. En d´eduire un lien entre la trace dep et le rang dep.

5. Montrer que det(p)6= 0 si et seulement si p= Id.

Exercice 6. Soit R[X] l’espace des polynˆomes `a coefficients dansR.

1. Soit Q∈R[X] un polynˆome non constant, on note n= deg(Q)−1. Montrer que R[X] =Rn[X]M

QR[X],

o`u R<sup>n</sup>[X] est le sous-espace vectoriel des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `an, etQR[X] est le sous-espace vectoriel des polynˆomes multiples de Q.

2. Soient (a_i)0≤i≤n n+ 1 r´eels distincts. Soit u:R[X]→Rⁿ⁺¹ d´efini par u(P) = (P(a₀), . . . , P(a_n)).

(a) V´erifier que u est une application lin´eaire et montrer que son noyau est de la forme QR[X], o`uQ est un polynˆome que l’on d´eterminera.

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(b) Montrer que u restreint `a Rn[X] est injectif.

(c) En d´eduire que pour tout (b_i)0≤i≤n, il existe un unique polynˆome P de degr´e

≤n tel que

∀i= 0, . . . , n, P(ai) = bi. 3. Soit le polynˆome

L_i(X) = Y

0≤j≤n j6=i

(X−a_j)

Y

0≤j≤n j6=i

(a_i−a_j) .

Montrer que les (L_i)0≤i≤n forment une base de Rn[X].

4. Exprimer le polynˆome interpolant P trouv´e en 2c) en fonction des Li. 5. D´eterminer la base duale des L_i (question optionelle).

Exercice 7. Soit E un espace vectoriel de dimension fini, et soit H un hyperplan de E.

1. Soit x₀ ∈E un vecteur non nul tel quex₀ ∈/H. Montrer que E = Vect(x₀)M

H.

2. En d´eduire que tout x ∈ E s’´ecrit de mani`ere unique x = λx0 +h, o`u λ ∈ K et h∈H.

3. En d´eduire une forme lin´eaire ϕsurE telle que H = kerϕ.

Exercice 8. Soit E =M_n(R). Soit H le sev des matrices de trace nulle.

1. Rappeler quelle est la base canonique de E, et en d´eduire la dimension de E.

2. Donner la dimension deH. Exhiber une base deH (on pourra chercher `a construire des matrices de H `a partir de la base canonique de E).

3. Montrer que la droite lin´eaire vectoriellement engendr´ee par la matrice identit´e I_n est suppl´ementaire de H dans E :

E = Vect(I_n)M H.

Donner une base de E adapt´ee `a cette d´ecomposition.

4. Pour tout M ∈E, trouver M₁ ∈Vect(I_n) et M₂ ∈H tels queM =M₁+M₂.

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Exercice 9. Soit A∈GL_n(R) et

B =

A A A A

D´eterminer kerB. Que se passe-t-il si A n’est pas inversible?

Exercice 10. (Blocs et rangs)

1. Soit A∈M_n(R). Donner le rang de la matrice (A, A).

2. Soient n et pdeux entiers non nuls, B ∈M_n,p etC ∈M_p(R). Donner le rang de I_n B

0 C

Exercice 11. Soit (e_i)1≤i≤4 la base canonique deR⁴ et soient

f1 =







 1

−1 0 0









, f2 =







 1 1 0 0









, f3 =







 0 0 1

−1









, etf4 =







 0 0 1 1







 .

1. Soitul’application lin´eaire de R⁴ dans lui-mˆeme v´erifiantu(f_i) =e_i pour 1≤i≤4.

Justifier que u est bien d´efinie. Montrer que u est un isomorphisme.

2. Soit F = Vect(f₁, f₂) et G= Vect(f₃, f₄). V´erifier que ces sous-espaces sont stables par u.

3. Donner la matrice de u dans la base des (f_i)_i, puis celle dans la base des (e_i)_i. Donner une interpr´etation g´eom´etrique deu.

4. Donner la matrice de passage depuis la base des (fi)i vers la base des (ei)i. Ecrire une relation matricielle qui relie les deux matrices de la question pr´ec´edente et cette matrice de passage.

Exercice 12. Soient (λ_i)1≤i≤n n r´eels distincts, et f_i la fonction d´efinie par f_i(x) = exp(λ_ix). On va montrer que (f_i)_1≤i≤n est une famille libre de l’espace vectoriel des fonctions r´eelles. Soient (α_i)1≤i≤n n r´eels non tous nuls tels que

n

X

i=1

α_if_i = 0.

1. Soit i₀ tel que α_i0 6= 0 et λ_i0 > λ_i, pour tout i6=i₀. Montrer que

n

X

i=1

α_if_i(x) ∼

x→+∞α_i0e^λi0x.

2. En d´eduire que λ_i0 <0, et que tous lesλ_i tels que α_i 6= 0 sont strictement n´egatifs.

3. Par un raisonnement similaire lorsque x→ −∞, aboutir `a une contradiction.

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