Montrer que l’on a :

PanaMaths Septembre 2011

Soit a et b deux réels strictement positifs tels que : 0 < < a b .

Montrer que l’on a :

*

,

x

ae

be

a b

∀ ∈ \ − > −

Analyse

Une manipulation simple de l’inégalité proposée permet de ramener le problème à celui de la monotonie stricte d’une certaine fonction …

Résolution

Soit donc a et b deux réels strictement positifs tels que 0< <a b. Leur produit est également strictement positif et pour tout réel x strictement positif, on a :

( ) ^{( )}

1 1

1 1

1 1

bx ax

bx ax

bx ax

bx ax

ae be a b

ae be a b

ab ab

e e

b a b a

e e

b b a a

− −

− −

− −

− −

− > −

⇔ − > −

⇔ − > −

⇔ − > −

Soit alors x un réels strictement positif quelconque fixé.

On considère la fonction ϕ, définie sur \^*₊, par :

( )

( )

: 1

xt

e xt

t t e

t t t

ϕ 6ϕ = ⁻ − = ⁻ −

La fonction ϕ est dérivable sur l’intervalle \^*₊ comme produit de deux fonctions qui y sont elles-mêmes dérivables. Pour tout réel t strictement positif, on a :

( )

( ) ^{( )}

( )

^{( )}

1 1 1 1

' t e ^xt 1 x e ^xt e ^xt 1 x t e ^xt t

t t t t

ϕ = − ⁻ − + × − ⁻ = − ⁻ − + ⁻ = − Φ

La fonction Φ est définie et continue sur \ et on a facilement :

( ) ( )

0 0

0 lim 0

t t

→ t

>

Φ = Φ = .

PanaMaths Septembre 2011

Par ailleurs, elle est dérivable sur \ (et donc, à fortiori, sur \^*₊) en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle. Pour tout réel t, on a :

( )

' t xe^−xt 0 xe^−xt x t e^−xt x t e^−xt

Φ = − − + − = −

Ainsi, pour tout réel t strictement positif, on a : ^Φ'

( )

( ) ( )

0 0

0 lim 0

t t

→ t

>

Φ = Φ = , on en déduit alors que la fonction Φ prend des valeurs strictement négatives sur \^*₊. On en conclut finalement que l’on a :

( )

' t 0

ϕ > sur \^*₊. Ainsi, la fonction ϕ est strictement croissante sur \^*₊. On a alors pour tous réels a et b strictement positifs :

( ) ( )

a b a b a b ae be

a a b b

ϕ ϕ ^{− − − −}

< ⇔ < ⇔ − < − ⇔ − < −

Le résultat étant établi pour un réel x strictement positif quelconque fixé, il est valable pour tout x réel strictement positif.

Résultat final

Pour tous réels a et b strictement positifs tels que 0< <a b, on a :

*, ^{bx ax}

x ₊ ae⁻ be⁻ a b

∀ ∈\ − > −