PanaMaths
[1 - 2]Janvier 2010
Montrer que l’on a :
2 2
0
n k n
k
e
+∞e
∑
=∼
Analyse
On a affaire à des expressions non nulles pour toute valeur de l’entier n. On obtient alors l’équivalence en utilisant la définition de deux suites équivalentes.
Résolution
Pour tout entier naturel n, posons : 2
0 n
k n
k
u e
=
=
∑
et vn =en2. Les deux suites ainsi définies sont des suites à termes strictement positifs (et donc non nuls). On a donc :2
2 2
2 0 0
lim lim 1
n k n
k n n k
n n n n n
k n
u e
e e u v
v e
=
+∞ +∞ →+∞ →+∞
=
⇔ ⇔ ⇔
∑
=∑
∼ ∼On a : 2 2 2
1
0 0
n n
k k n
k k
e e e
−
= =
= +
∑ ∑
.Il vient donc :
2 2 2 2
2 2 2
1 1
0 0 1 0
n n n
k k n k
k k k
n n n
e e e e
e e e
− −
= = =
+
= = +
∑ ∑ ∑
.
Pour tout entier naturel k dans 0;n−1 , on a : ( )
2 12
1≤ek ≤en− (croissance des fonctions carrée et exponentielle sur +). Il vient donc :
( )
2
2 2
2 2 2
1
1 2 1
2 1 0
0 2 n
k
n n n
k n
n n n n
e n e e en
n ne
e e e e
−
− − +
= × − +
≤
∑
≤ = = =Par croissance comparée, il vient :
2 2
1 2 1
lim lim lim 0
2 2
n n N
n n N
n n N
e e e
→+∞ = →+∞ = →+∞ =
PanaMaths
[2 - 2]Janvier 2010
Soit :
2
2 1
lim 0 0
n k k n n
e e
−
=
→+∞
∑
=. D’où : lim 1 2n 1
n
en
→+∞ e
⎛ + ⎞=
⎜ ⎟
⎝ ⎠ et, finalement :
2
2
lim 0 1
n k k n n
e e
=
→+∞
∑
=Le résultat est ainsi établi.
Résultat final
2 2
0 n
k n
k
e e
= +∞
