Montrer que l’on a :

PanaMaths Avril 2014

Soit A une matrice de ^M

ⁿ

( ) ^{\ .}

Montrer que l’on a :

( )

antisymétrique

_n,1

,

^t

. . 0

A ⇔ ∀ ∈ X M \ X A X =

Analyse

On établit séparément chacune des deux implications.

La condition nécessaire (sens direct) consiste en la manipulation de transposées de produits.

La condition suffisante (réciproque) requiert de choisir judicieusement la matrice X.

Résolution

⇒

On suppose ici que la matrice A est antisymétrique.

On a donc : ^tA= −A.

Pour tout X dans

M

n,1

( )

\ , on a alors : ^{tX A X.t . =tX.}

( )

^{−A X. .}

Soit : ^t

(

^{tX A X. .}

) (

^{= − tX A X. .}

)

^.

Or, ,1

( )

1,

( )

t

n n

X ∈

M

\ ⇔ X∈

M

\ et on a : A∈

M

n

( )

\ ^{. Alors : t}X A X. . ∈

M

1

( )

\ ^. Il en découle : ^t

(

^{tX A X. .}

)

^{=tX A X. .} et enfin :

(

^{. .}

) (

^{. .}

)

^{. .}

(

^{. .}

)

t tX A X = − tX A X ⇔tX A X = − tX A X

La matrice ^tX A X. . ne comportant qu’un seul coefficient, l’égalité ^{tX A X. . = −}

(

^{tX A X. .}

)

entraîne ^tX A X. . =0₁, matrice nulle de

M

1

( )

\ que l’on peut identifier à 0.

Le résultat est ainsi établi.

⇐

Supposons maintenant : que l’on ait : ∀ ∈X

M

1

( )

\ , ^tX A X. . = −

(

^tX A X. .

)

^.

PanaMaths Avril 2014

En posant

1 2

n

x X x

x

⎛ ⎞⎜ ⎟

=⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

# , on a immédiatement :

(

1 2

)

t

X = x x " xn puis, classiquement (le

cas échéant, à savoir retrouver rapidement) :

2 ,

t . .

ij i j i ij i j

i j i i j

X A X a x x x a x x

≠

=

∑

=

∑

+

∑

Soit alors i0∈

a b

1 ;n .

Choisissons X de telle sorte que

0 1

xi = et pour tout i de

a b

^1;n différent de i₀ : x_i =0. Dans ce cas :

0 0 0 0 0

2 2

. . 0

t

ii i ij i j i i i i i

i i j

X A X a x a x x a x a

≠

=

∑

+

∑

= + = ^.

L’égalité ^{tX A X. . = −}

(

^{tX A X. .}

)

se récrit donc

0 0 0 0

i i i i

a = −a et on en déduit :

0 0 0

ai i = . Le raisonnement étant valable pour tout entier i₀ de

a b

^{1 ;n} , on en déduit que tous les coefficients diagonaux de A sont nuls.

On a donc désormais, pour tout X de

M

1

( )

\ ^{: t . .} ij i j i j

X A X a x x

≠

=

∑

^.

Soit alors i0∈

a b

1 ;n et j0∈

a b

1 ;n tels que i₀≠ j₀. Choisissons alors X de telle sorte que

0 0 1

i j

x =x = et, pour tout entier k de

a b

^{1 ;n} différent de i0 et j₀ : x_k =0.

Dans ce cas :

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

t . .

ij i j i j i j j i j i i j j i

i j

X A X a x x a x x a x x a a

≠

=

∑

= + = + ^.

L’égalité ^{tX A X. . = −}

(

^{tX A X. .}

)

se récrit cette fois ai j0 0+aj i0 0 = −

(

ai j0 0 +aj i0 0

)

et on en déduit :

0 0 0 0 0

i j j i

a +a = , c'est-à-dire :

0 0 0 0

j i i j

a = −a .

On a donc, en tenant compte du premier résultat : ∀

( )

i j^, ∈

a b

^{1 ;}n ^2,aji= −aij. La matrice A est bien antisymétrique.

Résultat final

Pour toute matrice A de

M

n

( )

\ ^:

A antisymétrique ^{⇔ ∀ ∈X}

^M

¹

( )

^{\ , tX A X. . = −}

(

^{tX A X. .}

)