MPSI B 2010-2011 DM 2 21 septembre 2019
Exercice 1.
Exercice 1
Après avoir précisé les domaines de dénition, donner des expressions plus simples pour chacune des fonctions suivantes.
2 arctan
r 1 − x
1 + x + arcsin x arctan 1
2x
2− arctan x
x + 1 + arctan x − 1 x
Exercice 2
1. Soit p entier et f(p) = p
2+ p + 1 , que vaut f (p − 1) ? 2. Trouver une suite (u
n)
n∈N∗telle que
∀p ≥ 2, p
3− 1
p
3+ 1 = u
p−1u
p3. En déduire
nY
p=2
p
3− 1 p
3+ 1
Exercice 2
1. Soit w ∈ C. On note x = Re(w) et y = Im(w) . Exprimer le module et un argument de e
iwen fonction de x et y .
2. Soit z ∈ C. On note a = Re(z) et b = Im(z) . a. Exprimer e
iz+ e
−iz− 2 comme un carré.
b. On note
D =
e
iz+ e
−iz2 − 1
, S =
e
iz+ e
−iz2 + 1
.
Exprimer D , S et D + S et la somme de ces deux expressions à l'aide de a et b . On pourra faire apparaitre des carrés sous les modules.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
![1. a. Soit f : [0, π] → R une fonction continue. Montrer qu'il existe une unique fonction dérivable F : [0, π] → R telle que F 0 = f et Z π](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)