MPSI B DS 3 1 er septembre 2019
Exercice 1. Nombre de n -combinaisons
Une serrure de sécurité 1 possède n boutons numérotés de 1 à n ( n ≥ 1 ). Une n- combinaison consiste à pousser dans un certain ordre tous les boutons. Chaque bouton n'est poussé qu'une fois mais il est possible de pousser simultanément plusieurs boutons.
La modélisation est eectuée de la manière suivante : pour une valeur donnée de l'entier n , A n = {1, 2, . . . , n}
Par dénition, une n -combinaison est une suite ordonnée (P 1 , P 2 , . . . , P j ) de j parties P 1 , P 2 , . . . , P j de A n ( 1 ≤ j ≤ n ). Ces parties P i , 1 ≤ i ≤ j , de A n sont deux à deux disjointes et diérentes de la partie vide, leur réunion est égale à A n
On note a n le nombre de n -combinaisons.
Exemples
n = 1 : une seule combinaison ({1}) , a 1 = 1 n = 2 : il y a trois 2-combinaisons a 2 = 3 :
({1}, {2}), ({2}, {1}), ({1, 2})
La première consiste à appuyer d'abord sur le bouton 1 puis sur le bouton 2, la troisième consiste à appuyer simultanément sur les boutons 1 et 2.
Par convention, on pose a 0 = 1 . Dans tout le problème, n désigne un entier supérieur ou égal à 1.
1. Exemples
a. Pour une valeur de l'entier n donné, quel est le nombre de n -combinaisons telles que les boutons soient poussés l'un après l'autre ?
b. Déterminer, lorsque n = 3 le nombre a 3 en explicitant chacune des listes possibles.
2. Soit S une n -combinaison quelconque.
a. Combien y a-t-il de choix possible pour la partie P 1 lorsqu'elle est de cardinal k ? b. Combien y a-t-il de n -combinaisons S dont le premier terme P 1 contient k élé-
ments ?
c. Exprimer a n en fonction de a 0 , a 1 , . . . , a n−1 3. Soit b n = a n!n.
On admet ici que pour tout x strictement positif et tout entier n non nul,
n
X
k=0
x k k! ≤ e x
1
d'après CCMP 99 PC 1
a. Exprimer b n en fonction de b 0 , b 1 , . . . , b n−1 . b. Montrer que
b n ≤ 1 (ln 2) n
Exercice 2. Addition parallèle
On dénit la somme parallèle 2 de deux réels strictement positifs par :
∀(a, b) ∈ ]0, +∞[ 2 , a//b = ab a + b .
1. Cette opération est-elle commutative, associative, admet-elle un élément neutre ? 2. Soit x un réel quelconque. Montrer que
(a//b)x 2 = inf{ay 2 + bz 2 , (y, z) ∈ R 2 tq y + z = x}
Cette borne inférieure est-elle un plus petit élément ?
Si oui, pour quels couples (y 0 , z 0 ) la relation (a//b)x 2 = ay 0 2 + bz 0 2 est-elle satisfaite ? 3. Interpréter physiquement les résultats de la question précédente en prenant pour y et
z les intensités des courants électriques qui traversent des résistances a et b montées en parallèle.
4. Soit a , b , c , d des réels strictement positifs et x un réel quelconque. Montrer que (a//c)x 2 + (b//d)x 2 ≤ ((a + b)//(c + d))x 2 .
Interpréter physiquement cette inégalité.
5. Soient α 1 , α 2 , . . . , α k et β 1 , β 2 , . . . , β k des réels strictement positifs. Montrer que
k
X
i=1
(α i //β i ) ≤
k
X
i=1
α i
! //
k
X
i=1
β i
! .
Exercice 3. Théorème de Erdös-Szekeres
Dans toute ce problème, m désigne un nombre entier, E une partie de N à m éléments et f une fonction injective dénie dans E et à valeurs réelles.
2
d'après X 99 PC 1
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1
Rémy Nicolai S0303EMPSI B DS 3 1 er septembre 2019
Si A est une partie de E , on désigne par f A la restriction de f à A c'est à dire la fonction dénie de A vers R et telle que
∀a ∈ A, f A (a) = f (a)
Cet exercice porte sur les restrictions monotones de f . Par convention, on décide qu'une fonction dont le domaine de dénition se réduit à un point est à la fois croissante et décroissante.
1. Exemple. Soit m = 6 et f dénie par E = {1, · · · , m}
f(1) = 3, f (2) = 2, f (3) = 4, f (4) = 6, f (5) = 5, f (6) = 1
a. Trouver toutes les parties A de E contenant au moins deux éléments et telles que f A soit croissante.
b. Trouver toutes les parties A de E contenant au moins deux éléments et telles que f A soit décroissante.
2. a. Montrer que pour tout p dans E , il existe au moins une partie A de E telle que A ⊂ {1, · · · , p}
p ∈ A f A croissante
On désigne par i p le plus grand élément de l'ensemble des cardinaux des parties vériant ces conditions.
b. Calculer les i p pour l'exemple de la question 1.
3. a. Montrer que pour tout p dans E , il existe au moins une partie A de E telle que A ⊂ {1, · · · , p}
p ∈ A
f A décroissante
On désigne par j p le plus grand élément de l'ensemble des cardinaux des parties vériant ces conditions.
b. Calculer les j p pour l'exemple de la question 1.
c. Présenter les résultats des questions 2.b et 3.b. sous la forme d'un tableau dont la dernière ligne est formée par les couples (i p , j p )
4. Soit p et q dans E tels que p < q a. Montrer que f (p) < f (q) ⇒ i p < i q
b. Montrer que f (q) < f(p) ⇒ j p < j q
5. Montrer que l'application dénie dans E qui à p associe (i p , j p ) est injective.
6. Théorème de Erdös-Szekeres.
Soit a et b entiers naturels non nuls et m = ab + 1 . Montrer que, pour toute fonction injective f dénie dans E (ensemble à m éléments) et à valeurs réelles, il existe une partie A de E contenant strictement plus de a éléments telle que f A soit croissante ou bien il existe une partie B de E contenant strictement plus de b éléments telle que f B soit décroissante.
7. Soit a ≥ 2 et b deux entiers naturels xés, m = ab et E = {0, · · · , m − 1} . Pour tout x ∈ N, notons q(x) , r(x) le quotient et le reste de la division euclidienne de x par a . On dénit la fonction f dans E par
f (x) = (q(x) + 1)a − r(x)
a. Préciser les parties A de E telles que f A soit décroissante. Quel est le plus grand cardinal possible ?
b. Préciser les parties B de E telles que f B soit croissante. Quel est le plus grand cardinal possible ?
c. Que peut-on en conclure relativement au théorème de la question 6. ?
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
