MPSI B DM 6 1 er septembre 2019
Problème 1.
Une serrure de sécurité 1 possède n boutons numérotés de 1 à n ( n ≥ 1 ). Une n- combinaison consiste à pousser dans un certain ordre tous les boutons. Chaque bouton n'est poussé qu'une fois mais il est possible de pousser simultanément plusieurs boutons.
La modélisation est eectuée de la manière suivante : pour une valeur donnée de l'entier n , A n = {1, 2, . . . , n}
Par dénition, une n -combinaison est une suite ordonnée (P 1 , P 2 , . . . , P j ) de j parties P 1 , P 2 , . . . , P j de A n ( 1 ≤ j ≤ n ). Ces parties P i , 1 ≤ i ≤ j , de A n sont deux à deux disjointes et diérentes de la partie vide, leur réunion est égale à A n
On note a n le nombre de n -combinaisons.
Exemples
n = 1 : une seule combinaison ({1}) , a 1 = 1 n = 2 : il y a trois 2-combinaisons a 2 = 3 :
({1}, {2}), ({2}, {1}), ({1, 2})
La première consiste à appuyer d'abord sur le bouton 1 puis sur le bouton 2, la troisième consiste à appuyer simultanément sur les boutons 1 et 2.
Par convention, on pose a 0 = 1 . Dans tout le problème, n désigne un entier supérieur ou égal à 1.
1. Exemples
a. Pour une valeur de l'entier n donné, quel est le nombre de n -combinaisons telles que les boutons soient poussés l'un après l'autre ?
b. Déterminer, lorsque n = 3 le nombre a 3 en explicitant chacune des listes possibles.
2. Soit S une n -combinaison quelconque.
a. Combien y a-t-il de choix possible pour la partie P 1 lorsqu'elle est de cardinal k ? b. Combien y a-t-il de n -combinaisons S dont le premier terme P 1 contient k élé-
ments ?
c. Exprimer a n en fonction de a 0 , a 1 , . . . , a n−1 3. Soit b n = a n!
n.
On admet ici que pour tout x strictement positif et tout entier n non nul,
n
X
k=0
x k k! ≤ e x
1
d'après CCMP 99 PC 1
a. Exprimer b n en fonction de b 0 , b 1 , . . . , b n−1 . b. Montrer que
b n ≤ 1 (ln 2) n
Problème 2.
On dénit la somme parallèle 2 de deux réels strictement positifs par :
∀(a, b) ∈ ]0, +∞[ 2 , a//b = ab a + b .
1. Cette opération est-elle commutative, associative, admet-elle un élément neutre ? 2. Soit x un réel quelconque. Montrer que
(a//b)x 2 = inf{ay 2 + bz 2 , (y, z) ∈ R 2 tq y + z = x}
Cette borne inférieure est-elle un plus petit élément ?
Si oui, pour quels couples (y 0 , z 0 ) la relation (a//b)x 2 = ay 0 2 + bz 0 2 est-elle satisfaite ? 3. Interpréter physiquement les résultats de la question précédente en prenant pour y et
z les intensités des courants électriques qui traversent des résistances a et b montées en parallèle.
4. Soit a , b , c , d des réels strictement positifs et x un réel quelconque. Montrer que (a//c)x 2 + (b//d)x 2 ≤ ((a + b)//(c + d))x 2 .
Interpréter physiquement cette inégalité.
5. Soient α 1 , α 2 , . . . , α k et β 1 , β 2 , . . . , β k des réels strictement positifs. Montrer que
k
X
i=1
(α i //β i ) ≤
k
X
i=1
α i
! //
k
X
i=1
β i
! .
2
d'après X 99 PC 1
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
