A370 –Les entiers d’ordre 3
Problème proposé par Michel Lafond
On dit qu’un entier est d’ordre 3 s’il existe 3 rationnels positifs x, y, z tels que
Exemple 13 est d’ordre 3 puisque . Q1. Démontrer qu’il n’existe pas d’entier d’ordre 3 inférieur à 6.
Q2. Démontrer que 6, 7, 9, 13, 14, 15, 22, 27, 37, 46, 63, 69, 73, 78, 86, 94, 99 sont d’ordre 3.
Q3. Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers d’ordre 3.
Q4. 8 est-il d’ordre 3 ?
Solution proposée par l’auteur.
Q1. Si n est d’ordre 3, on a quatre entiers positifs a, b, c, d tels que
Or la moyenne géométrique étant inférieure ou égale à la moyenne arithmétique, on a
On en déduit
Q2. Avec une aide informatique, on trouve
Q3. Notons (Fk) la suite de Fibonnaci définie par On va montrer que pour tout entier k > 0 l’entier n = est d’ordre 3.
sont les solutions de
En particulier Donc (1)
Posons
On a donc :
)
)
On déduit de (3) et (4)
Enfin, posons
On a :
(6) et (7) montrent que c’est-à-dire que n = est d’ordre 3. CQFD Pour k = 1 ou 2, on retrouve n = 15 ou 78 vus dans la question Q2.
Remarque : Il y a d’autres familles infinies d’entiers d’ordre 3.
Q4. Je n’ai pas la réponse (je suppose que non).
