Q1 Démontrer qu’il existe un entier naturela>0 et un polynômeP3(X) de degré 3 tel queX2−aetP3(X) sont commutables

A2839. Commutations à la chaîne * à *****

Deux polynômesPetQd’une seule variablexsont dits « commutables » siP(Q(X))=Q(P(X)).

On s’intéresse ci-après aux polynômes commutablesP_k(X) dont le coefficient du monôme de degré le plus élevékest égal à 1, par exempleP1(X)=XetP2(X)=X²−2.

Q1 Démontrer qu’il existe un entier naturela>0 et un polynômeP3(X) de degré 3 tel queX²−aetP3(X) sont commutables.

Q2 Avec la valeur dea ainsi trouvée dansQ1, démontrer que pour tout entierk >4, il existe un seul polynômeP_k(X) de degrékcommutable avecX²−a.

Application numérique : déterminer les coefficients des quatre monômes de degrés les plus élevés de P2021(x).

Q3 Pour les plus courageux : démontrer que dans la suite des polynômesP1,P2,P3,...,P_kainsi obtenus, tous les polynômesP_ietP_jpris deux à deux sont commutables, 26ⁱ6^k, 26^j6^k,i6=j.

Solution de Claude Felloneau

Q1 a=2 etP3(x)=x³−3x.

On cherche un entieraet un polynômeP₃, unitaire et de degré 3, tel que (1) P3(X²−a)=¡

P3(X)¢2

−a. Le premier membre un polynôme pair doncP₃²est pair d’où

¡P3(X)−P3(−X)¢¡

P3(X)−P3(−X)¢

=0.

CommeP₃(X)−P₃(−X) est un polynôme de degré 3, il n’a qu’une nombre fini de zéros donc le le po- lynômeP3(X)+P3(−X) a une infinités de zéros, c’est donc le polynôme nul c’est-à-dire queP3 est un polynôme impair. On cherche doncP3sous la formeP3(X)=X³+bX oùb∈R.

(1) s’écrit

¡X²−a¢3

+b¡ X²−a¢

=¡

X³+bX¢2

−a soit après réduction :

(2b+3a)X⁴+¡

b²−b−3a²¢

X²+a¡

b+a²−1¢

=0 Ce qui équivaut à

2b+3a=0, b²−b−3a²=0 et a¡

b+a²−1¢

=0.

L’unique solution aveca>0 esta=2 etb= −3 d’oùP3(X)=X³−3X.

Q2 Pour tout entierk>2, il existe un seul polynômeP_k(X) unitaire et de degrékcommutable avec X²−2

Application numérique :P2021(X)=X²⁰²¹−2021X²⁰¹⁹+2039189X²⁰¹⁷−1369655952X²⁰¹⁵+...

— • Il existe au plus un polynôme unitaire et de degrékqui commute avecX²−2.

S’il existe deux polynômesP_k etQ_kde degrékqui commutent avecX²−2 alors P_k²(X)−2=P_k¡

X²−2¢

et Q_k²(X)−2=Q_k¡ X²−2¢ Donc

P_k²(X)−Q_k²(X)=P_k¡ X²−2¢

−Q_k¡ X²−2¢

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Soit, en posantD=Pk−QketS=Pk+Qk:

D(X)S(X)=D¡ X²−2¢

En considérant les degrés de chaque membre, on obtient degré(D)+degré(S)=2degré(D) donc degré(D)=degré(S).

OrPk etQk ayant le même monôme du plus haut degréX^k, degré(D)6^k−1 et degré(S)=k.

Ce qui contredit l’égalité degré(D)=degré(S).

• Le polynômePktel que pour réelt, 2 cos(kt)=Pk(2 cost) est un polynôme unitaire, de degré kqui commute avecX²−2.

2 cos(kt)=2Re¡ e^ikt¢

=2Re¡

(cost+i sint)^k¢

=2Re à _k

X

p=0

Ãk p

!

cos^k−pti^psin^pt

!

2 cos(kt)=2 X

06^2p6^k

Ãk 2p

!

(cost)^k−2p(cos²t−1)^p. Ainsi 2 cos(kt)=Pk(2 cost) oùPk est le polynôme défini par

P_k(X)= 1 2^k−1

X

06^2p6^k

Ãk 2p

! X^k−2p¡

X²−4¢p

Ce polynôme est bien de degrék et le coefficient deX^k est 1 2^k−1

X

062p6k

Ãk 2p

!

qui est égal à 1 puisque la somme des coefficients d’ordres pairs du binôme est égale à celle des coefficients d’ordres impairs et donc égale à la demi-somme de tous les coefficients soit 2^k/2=2^k−1. De plus, pour tout réelt,

P_k²(2 cost)−2=(2 coskt)²−2=2(2 cos²kt−1)=2 cos(2kt) et

P_k¡

(2 cost)²−2¢

=P_k(2 cos 2t)=2 cos(2kt).

Le polynômeP_k²(X)−2−P_k¡ X²−2¢

a donc une infinité de zéros dansR(les 2 cost avect∈R) donc c’est le polynôme nul. AinsiP_k²(X)−2=Pk(X²−2), ce qui signifie quePk(X) etX²−2 sont commutables.

— Application numérique : Pk(X)= 1

2^k−1

[k/2]

X

p=0

Ãk 2p

! X^k−2p

p

X

q=0

Ãp q

!

(−4)^qX^2p−2q=

[k/2]

X

q=0

ak−2qX^k−2q

Pourk=2021, c’est un polynôme impair dont le coefficient deX^k−2qesta_k−2q=(−4)^q 2^k−1

[k/2]

X

p=q

Ãk 2p

!Ãp q

! .

• On sait quea2021=1.

•a2019=(−4) 2^k−1

[k/2]

X

p=1

Ãk 2p

!Ãp 1

! . Or

Ãk 2p

!Ãp 1

!

=1 22p

Ãk 2p

!

=1 2k

Ãk−1 2p−1

! donc a2019= −1

2^k−1

[k/2]

X

p=1

k Ã2020

2p−1

!

= −k

2^k−12^k−1= −k= −2021

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•a2017=(−4)² 2^k−1

[k/2]

X

p=1

Ãk 2p

!Ãp 2

! . Or

Ãk 2p

!Ãp 2

!

=1 8

¡2p(2p−1)−2p¢ Ãk

2p

!

=1 8 Ã

k(k−1) Ãk−2

2p−2

!

−k Ãk−1

2p−1

!!

donc

a2017= 1 2^k−2

Ã

k(k−1)

[k/2]

X

p=1

à k−2 2(p−1)

!

−k

[k/2]

X

p=1

Ãk−1 2p−1

!!

= 1 2^k−2

³k(k−1)³

2^k−3−1´

−k³

2^k−2−(k−1)´´

d’où

a2017=1

2k(k−3)=2039189.

• De même, en utilisant le fait que Ãk

2p

!Ãp 3

!

= 1 48

Ã

k(k−1)(k−2) Ãk−3

2p−3

!

−3k(k−1) Ãk−2

2p−2

! +3k

Ãk−1 p−1

!!

on obtient

a2015= −1 6k¡

k²−9k+20¢

= −1369655952.

Q3 Les polynômesPk(k>2) commutent entre eux.

Pour tous entiersa etbsupérieurs ou égaux à 2,Pa¡ Pb(X)¢

etPb¡ Pa(X)¢

sont deux polynômes de degréabqui commutent avecX²−2 donc égaux àPab(X). AinsiPa¡

Pb(X)¢

=Pb¡ Pa(X)¢

.

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