Problème E542 – Solution de Jean Drabbe
PROBLEME GENERAL - Soient n un naturel non nul et p une partition de n . Désignons par p(n) l'aire maximum des rectangles apparaissant dans le diagramme de Ferrer de p .
Quelle est la valeur
m(n) = minimum de {p(n) | p est une partition de n} ? Le problème E542 demande de trouver la valeur m(2010) .
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Notation - Si a et b sont des naturels et b ≠ 0 , [a/b] désigne la partie entière du quotient a/b.
Il n'est pas difficile d'établir la proposition suivante.
Proposition - m(n) est la plus petite valeur de v telle que la somme des composantes de la suite
v = [v/1] , [v/2] , [v/3] , ... , [v/v] = 1 soit supérieure ou égale à n .
La page A061017 de [3] indique un lien avec une table des valeurs de m(n) pour n < 6070 .
On y trouve
m(2010) = 336 ,
valeur que l'on peut facilement vérifier par programmation.
Le recours à l'informatique ne fournit évidemment pas une solution élégante du point de vue mathématique. Il se pourrait qu'il soit incontournable étant donné une parenté entre la détermination des
valeurs m(n) et le problème des diviseurs de Dirichlet qui est toujours non résolu.
[1] CHANDRASEKHARAN,K. Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag (1968).
[2] VAN LINT,J. & WILSON,R. A Course in Combinatorics, Cambridge University Press (1998).
[3] http://www.research.att.com/~njas/sequences
