MPSI B 15 décembre 2019
Énoncé
Une serrure de sécurité
1possède n boutons numérotés de 1 à n ( n ≥ 1 ). Une n- combinaison consiste à pousser dans un certain ordre tous les boutons. Chaque bouton n'est poussé qu'une fois mais il est possible de pousser simultanément plusieurs boutons.
La modélisation est eectuée de la manière suivante : pour une valeur donnée de l'entier n , A n = {1, 2, . . . , n}
Par dénition, une n -combinaison est une suite ordonnée (P 1 , P 2 , . . . , P j ) de j parties P 1 , P 2 , . . . , P j de A n ( 1 ≤ j ≤ n ). Ces parties P i , 1 ≤ i ≤ j , de A n sont deux à deux disjointes et diérentes de la partie vide, leur réunion est égale à A n
On note a n le nombre de n -combinaisons.
Exemples
n = 1 : une seule combinaison ({1}) , a 1 = 1 n = 2 : il y a trois 2-combinaisons a 2 = 3 :
({1}, {2}), ({2}, {1}), ({1, 2})
La première consiste à appuyer d'abord sur le bouton 1 puis sur le bouton 2, la troisième consiste à appuyer simultanément sur les boutons 1 et 2.
Par convention, on pose a 0 = 1 . Dans tout le problème, n désigne un entier supérieur ou égal à 1.
1. Exemples
a. Pour une valeur de l'entier n donné, quel est le nombre de n -combinaisons telles que les boutons soient poussés l'un après l'autre ?
b. Déterminer, lorsque n = 3 le nombre a 3 en explicitant chacune des listes possibles.
2. Soit S une n -combinaison quelconque.
a. Combien y a-t-il de choix possible pour la partie P 1 lorsqu'elle est de cardinal k ? b. Combien y a-t-il de n -combinaisons S dont le premier terme P 1 contient k élé-
ments ?
c. Exprimer a n en fonction de a 0 , a 1 , . . . , a n−1 3. Soit b n = a n!
n.
On admet ici que pour tout x strictement positif et tout entier n non nul,
n
X
k=0
x k k! ≤ e x
1
d'après CCMP 99 PC 1
a. Exprimer b n en fonction de b 0 , b 1 , . . . , b n−1 . b. Montrer que
b n ≤ 1 (ln 2) n
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai AnbcombMPSI B 15 décembre 2019
Corrigé
1. a. Pousser les boutons les uns après les autres revient à se donner une application injective de {1, . . . , n} dans A n . Le nombre de ces applications est n!
b. Formons d'abord la liste de toutes les partitions :
{{1}, {2}, {3}}, {{1}, {2, 3}}, {{2}, {1, 3}}, {{3}, {1, 2}}, {{1, 2, 3}}, Comme l'ordre dans lequel on pousse les boutons est important,chaque partition fournit plusieurs combinaisons. Respectivement :
6, 2, 2, 2, 1
Le nombre de 3-combinaisons est donc nalement a 3 = 6 + 2 + 2 + 2 + 1 = 13 2. a. Il y a n k
manières de choisir une première partie P 1 à k éléments.
b. Le nombre de n -combinaisons commençant par P 1 de cardinal k est a n−k . Il y en a autant que de n − k -combinaisons formées dans A n − P 1 .
c. D'après les deux questions précédentes, le nombre de n -combinaisons dont la première partie contient k éléments est
n k
a n−k .
Cette formule est valable pour k = n avec a 0 = 1 car {A n } est la seule n - combinaison dont la première partie contient n éléments.
En triant toutes les combinaisons suivant le nombre d'éléments de la première partie, on obtient :
a n =
n
X
k=1
n k
a n−k .
3. a. En exprimant a n à l'aide de b n dans la formule précédente et en simpliant par n! , on obtient
b n =
n
X
k=1
b n−k k! .
b. Raisonnons par récurrence et supposons b k ≤ ln 1
k2 pour k ∈ {1, . . . , n − 1} , alors
b n ≤
n
X
k=1
1
k! ln n−k 2 = 1 ln n 2
n
X
k=1
ln k 2
k! = 1
ln n 2
n
X
k=0
ln k 2 k! − 1
!
≤ 1
ln n 2 e ln 2 − 1
= 1
ln n 2 .
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