F142. Nombres croisés - Grille n°42
GRILLE N° 42
Grille conçue par Philippe Laugerat Aucun nombre ne commence par un zéro.
Tous les nombres sont distincts.
Cette grille contient exclusivement des carrés à l'exception de H et de h
Avec pdc = produit des chiffres. pdc = 0 pour toutes lignes et colonnes sauf A et a.
Par ailleurs sdc = somme des chiffres et RC(x) = racine carrée de x
a b c d e f g h i Horizontalement
A A le plus petit carré possible > B B B le plus petit carré possible
C C anagramme de b et RC(scd[C]) = sdc(RC[C]) sdc(RC[C])
D D < b
E E
F F sdc = carré
G G
H H sdc = puissance de 2
I I
Verticalement
a le plus petit carré possible > A b RC(sdc[b])=sdc(RC[b]) c < d
d sdc[d] = sdc[c]
e f g
h nombre pair i
1) Etape 1 (B), (A) puis (a) Facile : (B) = 100 000 000
(A) = 111 112 681, le plus petit carré ne comprenant pas de zéro (a) = 111 133 764, le carré suivant sans zéro.
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 1 1 1 1 2 6 8 1 (B) 1 0 0 0 0 0 0 0 0 (C) 1
(D) 1 (E) 3 (F) 3 (G) 7 (H) 6 (I) 4
(D) étant inférieur à (b) son deuxième chiffre est un 0
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 1 1 1 1 2 6 8 1 (B) 1 0 0 0 0 0 0 0 0 (C) 1
(D) 1 0 (E) 3 (F) 3 (G) 7 (H) 6 (I) 4
2) Etape 2 (b) et (C)
On recherche maintenant les couples de carrés
• Dont un commence par 10, avec 0 pour 4ème chiffre
• Dont l’autre commence par 1
• Dont les deux contiennent au moins deux zéros
• Dont, pour les deux, la racine de la Sdc est égale à la Sdc de la racine
• Dont le 3ème chiffre de celui qui commence par 10 est égal au 2ème de l’autre
• Et qui sont anagrammes l’un de l’autre On trouve 17 couples
(b) et (C)
100 020 001 100 200 100 100 060 009 106 090 000 102 010 000 121 000 000 104 040 000 144 000 000 100 020 001 102 010 000 100 200 100 102 010 000 102 030 201 123 210 000 104 060 401 146 410 000 100 040 004 100 400 400 100 400 400 104 040 000 102 050 404 125 440 000 104 080 804 148 840 000 100 040 004 104 040 000 100 600 900 106 090 000 102 070 609 127 690 000 106 090 000 169 000 000 100 060 009 100 600 900
Et on constate, pour ces 34 nombres, que les 6ième et 8ième sont toujours 0.
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 1 1 1 1 2 6 8 1 (B) 1 0 0 0 0 0 0 0 0
(C) 1 0 0
(D) 1 0 (E) 3 (F) 3 0 (G) 7 (H) 6 0
(I) 4
3) Etape 3 (F)
On cherche les carrés qui commencent par 30 et dont la Sdc est un carré. Il en existe 56 :
(F)
300 017 041 300 640 921 301 612 689 303 142 921 305 165 961 306 250 000 307 476 225 308 634 624 300 259 584 300 883 716 301 925 376 303 177 744 305 270 784 306 285 001 307 581 444 309 372 921 300 294 241 300 953 104 302 203 456 303 386 724 305 375 625 306 600 100 307 756 849 309 408 100 300 328 900 300 987 801 302 446 881 303 421 561 305 480 484 306 740 196 308 107 809 309 584 025 300 467 556 301 230 736 302 655 609 303 456 400 305 585 361 307 055 529 308 318 481 309 760 000 300 571 569 301 508 496 302 864 409 303 770 041 305 620 324 307 160 676 308 423 844 309 795 201 300 606 244 301 543 225 303 108 100 305 026 225 305 690 256 307 265 841 308 529 225 309 900 816
4) Etape 4 (f)
On cherche les carrés qui commencent par 200 : il en existe 35
(f)
200 024 449 200 222 500 200 420 649 200 618 896 200 817 241 200 052 736 200 250 801 200 448 964 200 647 225 200 845 584 200 081 025 200 279 104 200 477 281 200 675 556 200 873 929 200 109 316 200 307 409 200 505 600 200 703 889 200 902 276 200 137 609 200 335 716 200 533 921 200 732 224 200 930 625 200 165 904 200 364 025 200 562 244 200 760 561 200 958 976 200 194 201 200 392 336 200 590 569 200 788 900 200 987 329
5) Etape 5 (g)
On cherche les carrés qui commencent par 60, et dont le 3ème chiffre est 0, 1, 4 ou 9 (d'après les valeurs possibles trouvées pour le couple (b) et (C) – 7ème chiffre --). Il en existe 82:
(g)
600 005 025 600 544 036 601 083 289 601 622 784 604 176 400 604 717 281 609 250 489 609 793 636 600 054 016 600 593 049 601 132 324 601 671 841 604 225 561 604 766 464 609 299 856 609 843 025 600 103 009 600 642 064 601 181 361 601 720 900 604 274 724 604 815 649 609 349 225 609 892 416 600 152 004 600 691 081 601 230 400 601 769 961 604 323 889 604 864 836 609 398 596 609 941 809 600 201 001 600 740 100 601 279 441 601 819 024 604 373 056 604 914 025 609 447 969 609 991 204 600 250 000 600 789 121 601 328 484 601 868 089 604 422 225 604 963 216 609 497 344
600 299 001 600 838 144 601 377 529 601 917 156 604 471 396 609 003 684 609 546 721 600 348 004 600 887 169 601 426 576 601 966 225 604 520 569 609 053 041 609 596 100 600 397 009 600 936 196 601 475 625 604 028 929 604 569 744 609 102 400 609 645 481 600 446 016 600 985 225 601 524 676 604 078 084 604 618 921 609 151 761 609 694 864 600 495 025 601 034 256 601 573 729 604 127 241 604 668 100 609 201 124 609 744 249
6) Etape 6 (I) et (i)
On cherche les carrés ne comprenant pas les chiffres 2, 3, 7 et 8 (qui ne peuvent être le dernier chiffre d'un carrés), sauf le 8ème chiffre qui doit être pair (puisque (H) et (h) sont des doubles), et qui comportent au moins un zéro
De plus, (I) commence par 4 et (i) par 10 On trouve 45 possibilités pour (i) :
(i)
100 000 000 100 400 400 100 661 089 101 606 400 104 060 401 105 001 009 106 440 489 109 014 481 100 040 004 100 440 484 101 404 900 101 909 025 104 550 625 105 165 025 106 461 124 109 411 600 100 060 009 100 460 529 101 445 184 101 949 409 104 591 529 105 904 681 106 605 625 109 599 961 100 100 025 100 500 625 101 505 625 101 969 604 104 611 984 106 069 401 106 646 929
100 140 049 100 600 900 101 545 929 104 019 601 104 919 049 106 090 000 106 915 600 100 160 064 100 641 024 101 566 084 104 040 000 104 960 025 106 110 601 106 956 964 Et 80 pour (I)
(I)
400 000 000 405 015 625 409 941 009 416 690 569 446 054 400 451 690 009 461 906 064 490 091 044 400 040 001 405 096 129 410 994 529 440 160 400 446 096 641 451 945 081 461 949 049 490 401 025 400 400 100 405 619 600 411 400 089 440 454 169 449 016 100 454 116 100 464 014 681 491 065 600 400 440 121 405 901 609 414 000 409 440 496 144 449 440 000 455 011 561 464 445 601 491 109 921 401 000 625 405 941 904 414 041 104 440 664 064 449 906 521 455 609 025 465 610 084 495 151 504 401 561 521 406 465 921 414 611 044 440 916 004 450 161 089 455 694 409 465 696 400 495 196 009 401 601 600 406 546 569 415 059 129 441 000 000 450 500 625 455 950 609 466 560 000 496 041 984 401 641 681 406 909 584 415 140 625 441 504 144 451 010 169 460 059 601 466 646 404 499 611 904 404 010 000 406 949 929 415 956 025 444 999 025 451 095 121 460 145 401 466 905 664 499 656 609 404 090 404 409 050 625 416 160 000 445 505 449 451 605 001 460 960 900 469 155 600 499 969 600
En prenant en compte les contraintes supplémentaires (D) < (b) , (c) < (d), et (h) et (H) nombres pairs, et tous carrés possibles (sauf (h) et (H)), on soumet les résultats précédents à la calculatrice.
Qui met 23 minutes à trouver 4 possibilités
Cas 1 Cas 2 Cas 3 Cas 4
(A) lig 1 111 112 681 111 112 681 111 112 681 111 112 681 (B) lig 2 100 000 000 100 000 000 100 000 000 100 000 000 (C) lig 3 148 840 000 148 840 000 148 840 000 148 840 000 (D) lig 4 10***76*6 10***42*5 10***42*5 10***42*4 (E) lig 5 34***89*0 38***25*0 38***25*0 38***40*6 (F) lig 6 303 108 100 306 250 000 309 760 000 303 108 100 (G) lig 7 70***90*9 78***60*6 78***60*6 78***90*5 (H) lig 8 60***08*0 60***40*2 60***40*2 60***60*2 (I) lig 9 400 400 100 444 999 025 444 999 025 440 454 169 (a) col 1 111 133 764 111 133 764 111 133 764 111 133 764 (b) col 2 104 040 000 104 080 804 104 080 804 104 080 804 (c) col 3 108 **3 **0 108 **6 **4 108 **9 **4 108 **3 **0 (d) col 4 108 **1 **4 108 **2 **9 108 **7 **9 108 **1 **4 (e) col 5 104 **0 **0 104 **5 **9 104 **6 **9 104 **0 **5 (f) col 6 200 788 900 200 420 649 200 420 649 200 448 964 (g) col 7 600 691 081 600 250 000 600 250 000 600 201 001 (h) col 8 800 **0 **0 800 **0 **2 800 **0 **2 800 **0 **6
(i) col 9 100 600 900 100 500 625 100 500 625 100 460 529
Cas 1
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 1 1 1 1 2 6 8 1 (B) 1 0 0 0 0 0 0 0 0 (C) 1 4 8 8 4 0 0 0 0
(D) 1 0 7 6 6
(E) 3 4 8 9 0
(F) 3 0 3 1 0 8 1 0 0
(G) 7 0 9 0 9
(H) 6 0 0 8 0
(I) 4 0 0 4 0 0 1 0 0
Cas 2
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 1 1 1 1 2 6 8 1 (B) 1 0 0 0 0 0 0 0 0 (C) 1 4 8 8 4 0 0 0 0
(D) 1 0 4 2 5
(E) 3 8 2 5 0
(F) 3 0 6 2 5 0 0 0 0
(G) 7 8 6 0 6
(H) 6 0 4 0 2
(I) 4 4 4 9 9 9 0 2 5 Cas 3
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 1 1 1 1 2 6 8 1 (B) 1 0 0 0 0 0 0 0 0 (C) 1 4 8 8 4 0 0 0 0
(D) 1 0 4 2 5
(E) 3 8 2 5 0
(F) 3 0 9 7 6 0 0 0 0
(G) 7 8 6 0 6
(H) 6 0 4 0 2
(I) 4 4 4 9 9 9 0 2 5
Cas 4
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 1 1 1 1 2 6 8 1 (B) 1 0 0 0 0 0 0 0 0 (C) 1 4 8 8 4 0 0 0 0
(D) 1 0 4 2 4
(E) 3 8 4 0 6
(F) 3 0 3 1 0 8 1 0 0
(G) 7 8 9 0 5
(H) 6 0 6 0 2
(I) 4 4 0 4 5 4 1 6 9
Cas 1
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 1 1 1 1 2 6 8 1 (B) 1 0 0 0 0 0 0 0 0 (C) 1 4 8 8 4 0 0 0 0
(D) 1 0 9 7 6 6
(E) 3 4 9 8 9 0
(F) 3 0 3 1 0 8 1 0 0
(G) 7 0 6 9 0 9
(H) 6 0 0 0 8 0
(I) 4 0 0 4 0 0 1 0 0
(c) se termine par 0, donc par 00, et seul 108 993 600 peut convenir.
Mais c'est aussi le plus grand commençant par 108, par conséquent, on ne peut trouver de carré, pour convenir en (d) qui est supérieur à (c)
On élimine donc ce cas.
Cas 4
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 1 1 1 1 2 6 8 1 (B) 1 0 0 0 0 0 0 0 0 (C) 1 4 8 8 4 0 0 0 0
(D) 1 0 9 4 2 4
(E) 3 8 9 4 0 6
(F) 3 0 3 1 0 8 1 0 0
(G) 7 8 6 9 0 5
(H) 6 0 0 6 0 2
(I) 4 4 0 4 5 4 1 6 9
Idem cas précédent
Cas 3
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 1 1 1 1 2 6 8 1 (B) 1 0 0 0 0 0 0 0 0 (C) 1 4 8 8 4 0 0 0 0
(D) 1 0 4 8 4 2 5
(E) 3 8 0 4 2 5 0
(F) 3 0 9 7 6 0 0 0 0
(G) 7 8 7 4 6 0 6
(H) 6 0 4 8 4 0 2
(I) 4 4 4 9 9 9 0 2 5
Seul 108 409 744 peut convenir en (c),
et (d) ne peut être que 108 847 489 – (d) > (c) –
et il n'existe pas pour (D) de carré commençant par 1048 et finissant par 5.
On élimine donc ce cas.
Cas 2
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 1 1 1 1 2 6 8 1 (B) 1 0 0 0 0 0 0 0 0 (C) 1 4 8 8 4 0 0 0 0
(D) 1 0 7 4 2 5
(E) 3 8 2 2 2 5 0
(F) 3 0 6 2 5 0 0 0 0
(G) 7 8 3 6 0 6
(H) 6 0 2 4 0 2
(I) 4 4 4 9 9 9 0 2 5
pour (c), seuls, 108 326 464 et 108 826 624 peuvent convenir pour (d), seuls, 108 222 409 et 108 722 329 peuvent convenir
comme (d) > (c), on trouve (d) = 108 722 329 et le 5ème chiffre de (c) est 2
Cas 2
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 1 1 1 1 2 6 8 1 (B) 1 0 0 0 0 0 0 0 0 (C) 1 4 8 8 4 0 0 0 0 (D) 1 0 3 7 3 4 2 2 5 (E) 3 8 2 2 0 2 5 0 0 (F) 3 0 6 2 5 0 0 0 0 (G) 7 8 4 3 3 6 0 3 6 (H) 6 0 6 2 6 4 0 2 (I) 4 4 4 9 9 9 0 2 5
Puis, vient (E) = 382 202 500,
Comme le 4ème chiffre de (c) est 3 ou 8, on a : (D) = 103 734 225 Puis (c) = 108 326 464, (G) = 784 336 036 et (e) = 104 305 369
(H) sdc 606 264 002 26 606 264 012 27 606 264 022 28 606 264 032 19 606 264 042 30 606 264 052 31 606 264 062 32 606 264 072 33 606 264 082 34 606 264 092 35 D'où l'unique solution :
Cas 2
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 1 1 1 1 2 6 8 1 (B) 1 0 0 0 0 0 0 0 0 (C) 1 4 8 8 4 0 0 0 0 (D) 1 0 3 7 3 4 2 2 5 (E) 3 8 2 2 0 2 5 0 0 (F) 3 0 6 2 5 0 0 0 0 (G) 7 8 4 3 3 6 0 3 6 (H) 6 0 6 2 6 4 0 6 2 (I) 4 4 4 9 9 9 0 2 5
