F130. Nombres croisés - Grille n° 30
1. Etape 1 : recherche de (f) et (D)
On cherche tous les carrés composé de 9 chiffres tous différents On obtient 83 possibilités pour (f)
Puis, à partir de cette liste, on cherche (D) multiple de (f), supérieur à (f) (donc (D) = k.(f) avec k>=2).
On obtient une solution unique :
(f) = 430 728 513 (D)= 861 457 032
2. Etape 2 : recherche de (F) et (G)
On cherche les cubes (F) et (G)
• De 9 chiffres
• Le 6ème chiffre de (F) est 8 parce ce que (f) est connu
• Le 6ème chiffre de (G) est 5 parce ce que (f) est connu
• Qui ne commencent pas par 8 parce que les chiffres de (a) sont différents et que (D) est connu
• Dont le 2ème chiffre n’est pas 9 parce que (b) est un anagramme de (D) qui ne contient pas 9
• Dont le 2ème chiffre n’est pas 6 parce que 6 est déjà présent dans cette colonne On obtient 39 possibilités pour (F) et 36 pour (G)
3. Etape 3 : recherche des triplets (E) (A) (I)
• recherche (E)
ocarré de 9 chiffres ochiffre 1 <> 8 ochiffre 2 <> 9 et de 6 ochiffre 6 = 2
• recherche (A)
o(A) = [(E).(f)]^.5 avec (f)= 430 728 516 o9 chiffres
ochiffre 1 <> 8 et du 1er chiffre de (E)
ochiffre 2 <> 9, de 6, et du 2ème chiffre de (E) ochiffre 6 = 4
osi un tel (A) n'existe pas (E) non plus osi (A) existe, il est unique
• recherche (I)
omultiple de (E) (I) = k.(E) avec k>=2 car les 6èmes chiffres de (E) et (I) sont différents o9 chiffres
ochiffre 1 <> 8, du 1er chiffre de (E) et du 1er chiffre de (A) ochiffre 2 <> 9, de 6, 2ème chiffre de (E) et du 2ème chiffre de (A) ochiffre 6 = 6
ochiffre 7 impair puisque (g) est impair osi un tel (I) n'existe pas (E) non plus
oil peut exister plusieurs (I)
On obtient 6 possibilités
4. Etape 4 : Recherche du reste
A ce stade, il ne reste plus qu’à faire un programme correct qui balaye :
• Les 21 622 carrés possibles pour (e)
• Les carrés acceptables pour (B) et (H) moins de 2157
• (A), (B), (D), (F), (G), (H), (I) sont alors connus et il reste à ajuster les chiffres de (C) pour que : oLe 1er soit différent de ceux de la colonne 1 (une seule possibilité)
oLe 2ème fasse de (b) un anagramme de D (une seule possibilité)
oLe 3ème tel que la somme des chiffres de la colonne 3 soit inférieure à 10 ou multiple de 11 (au plus une possibilité)
oLe 4ème tel que la somme des chiffres de la colonne 4 soit une puissance de 2 (a priori plusieurs possibilités)
oLes 5ème et 6ème sont déterminés par les chiffres de (e) et (f) connus oLe 7ème résiste
oLe 8ème tel que la somme des chiffres de la colonne 8 soit un nombre premier (a priori plusieurs possibilités)
oLe 9ème tel que la somme des chiffres de la colonne 9 soit un carré
• On ajuste enfin le 7ème chiffre de (C) de 0 à 9 de telle façon que (C) soit la moyenne arithmétique de 2 nombres de la grille
Et en dix minutes d’ordinateur, (C) étant la moyenne arithmétique de (A) et (D), on trouve l’unique solution suivante:
(a) (b) (c) (d) (e ) (f) (g) (h) (i)
(A) 2 1 5 3 6 4 2 5 8
(B) 6 4 7 1 9 3 6 0 0
(C) 5 3 8 4 1 0 6 4 5
(D) 8 6 1 4 5 7 0 3 2
(E) 1 0 7 6 8 2 1 2 9
(F) 4 8 0 0 4 8 6 8 7
(G) 9 5 8 5 8 5 2 5 6
(H) 7 7 5 9 0 1 0 2 5
(I) 3 2 3 0 4 6 3 8 7
(A) 215 364 258 moyenne géométrique de (E) et (f) √107 682 129 ∗ 430 728 516
(B) 647 193 600 carré 25440
(C) 538 410 645 moyenne arithmétique (A) et (D) (215 364 258 + 861 457 032) / 2
(D) 861 457 032 multiple (f) et anagramme 430 728 516 x 2
(E) 107 682 129 carré et divise (I) 10 377² et 323 046 387 / (E) = 3
(F) 480 048 687 cube 783
(G) 958 585 256 cube 986
(H) 775 901 025 carré 27855
(I) 323 046 387 multiple (E) et moy arith de (A) (f) et (C) (E)
107 682 129 x 3 (215 364 258 + 430 728 516) / 2 (538 410 645 + 107 682 129) / 2
(a) 265 814 973 chiffres tous différents vrai
(b) 143 608 572 anagramme de (D) vrai
(c) 578 170 853 somme des chiffres = palindrome 44
(d) 314 460 590 somme des chiffres = 2 32 =2
(e) 691 584 804 carré 26298
(f) 430 728 516 carre et chiffres différents 20754
(g) 266 016 203 impair vrai
(h) 504 328 528 somme des chiffres = nombre premier 37 = nombre premier
(i) 805 297 657 somme des chiffres = carré 49 = 7
5. Etape 5
La donnée, liée à (I), « (I) est moyenne arithmétique de deux nombres distincts de la grille », est superfétatoire pour la solution trouvée. Il faut donc vérifier qu’elle est vraie et on recherche tous les nombres de la grille qui peuvent être la moyenne arithmétique de deux autres.
On trouve 5 nombres de la grille qui sont une moyenne arithmétique de 2 autres -dont (I)- :
(A) Moyenne de (E) et (I) 215 364 258 (107 682 129 + 323 046 387) / 2 (C) Moyenne de (A) et (D) 538 410 645 (215 364 258 + 861 457 032) / 2 (I) Moyenne de (A) et (f) 323 046 387 (215 364 258 + 430 728 516) / 2 (I) Moyenne de (C) et (E) 323 046 387 (538 410 645 + 107 682 129) / 2 (f) Moyenne de (C) et (I) 430 7285 16 (538 410 645 + 323 046 387) / 2
