Les nombres complexes

En 1831,Gaussdonnera le nom de « nombres complexes » à ces quantités considérées jusqu’ici comme imaginaires.

Dans l’ensemble des nombres complexes, l’addition et la multiplication doivent prolonger les opérations deRet avoir les mêmes propriétés : commutativité, associativité, distributivité. Il y a seulement la propriété supplémentaire de l’existence deidont le carré vaut−1.

Les nombres complexes

En 1831,Gaussdonnera le nom de « nombres complexes » à ces quantités considérées jusqu’ici comme imaginaires.

Dans l’ensemble des nombres complexes, l’addition et la multiplication doivent prolonger les opérations deRet avoir les mêmes propriétés : commutativité, associativité, distributivité. Il y a seulement la propriété supplémentaire de l’existence deidont le carré vaut−1.

Sommaire

1. Histoire des nombres complexes

1.1 Évolution des notations au fil du temps

1.2 Des formules pour résoudre les équations du troisième degré 1.3 Où l’on ose l’impensable

2. Le corps des nombres complexes 2.1 L’ensembleC.

2.2 Ajouter, soustraire, multiplier des nombres complexes 2.3 Conjuguer pour diviser

2.4 Le conjugué, vu de plus près

3. Résolution dansCdes équations du second degré

Sommaire

1. Histoire des nombres complexes

1.1 Évolution des notations au fil du temps

1.2 Des formules pour résoudre les équations du troisième degré 1.3 Où l’on ose l’impensable

2. Le corps des nombres complexes 2.1 L’ensembleC.

2.2 Ajouter, soustraire, multiplier des nombres complexes 2.3 Conjuguer pour diviser

2.4 Le conjugué, vu de plus près

3. Résolution dansCdes équations du second degré

Définition 1

Les nombres s’écrivant sous la formea+ib, oùaetbsont deux nombres réels, et oùiest unnombre imaginairetel quei²=−1 sont appelésnombres complexes.

Notation

Un nombre complexe est souvent notéz. L’ensemble des nombres complexes est notéC.

Remarques

Tout nombre réel est un nombre complexe¹, autrement dit :R⊂C. L’écriture sous la formea+ibest unique, c’est-à-dire que :

Sia+ib=a⁰+ib⁰, alorsa=a⁰ etb=b⁰.

Définition 1

Les nombres s’écrivant sous la formea+ib, oùaetbsont deux nombres réels, et oùiest unnombre imaginairetel quei²=−1 sont appelésnombres complexes.

Notation

Un nombre complexe est souvent notéz.

L’ensemble des nombres complexes est notéC.

Remarques

Tout nombre réel est un nombre complexe¹, autrement dit :R⊂C. L’écriture sous la formea+ibest unique, c’est-à-dire que :

Sia+ib=a⁰+ib⁰, alorsa=a⁰ etb=b⁰.

Définition 1

Les nombres s’écrivant sous la formea+ib, oùaetbsont deux nombres réels, et oùiest unnombre imaginairetel quei²=−1 sont appelésnombres complexes.

Notation

Un nombre complexe est souvent notéz.

L’ensemble des nombres complexes est notéC.

Remarques

Tout nombre réel est un nombre complexe¹, autrement dit :R⊂C. L’écriture sous la formea+ibest unique, c’est-à-dire que :

Vocabulaire

L’écriture dez sous la formea+ibest appeléeforme algébrique dez.

aest lapartie réelle de z, notéeRe(z). best la partie imaginaire de z, notéeIm(z).

Un nombre complexez dont la partie imaginaire est nulle est unréel. Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle est appeléimaginaire pur.

Exemple

z1= 4−3i, z2=−5etz3= 2i√

3sont des nombres complexes. Re(z1) = 4etIm(z1) =−3;

z2 est réel (sa partie imaginaire est nulle) ; z3 est un imaginaire pur (puisqueRe(z3) = 0).

Vocabulaire

L’écriture dez sous la formea+ibest appelée forme algébrique dez.

aest lapartie réelle de z, notéeRe(z). best la partie imaginaire de z, notéeIm(z).

Un nombre complexez dont la partie imaginaire est nulle est unréel. Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle est appeléimaginaire pur.

Exemple

z1= 4−3i, z2=−5etz3= 2i√

3sont des nombres complexes. Re(z1) = 4etIm(z1) =−3;

z2 est réel (sa partie imaginaire est nulle) ; z3 est un imaginaire pur (puisqueRe(z3) = 0).

Vocabulaire

L’écriture dez sous la formea+ibest appelée forme algébrique dez.

aest lapartie réelle de z, notéeRe(z).

best la partie imaginaire de z, notéeIm(z).

Un nombre complexez dont la partie imaginaire est nulle est unréel. Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle est appeléimaginaire pur.

Exemple

z1= 4−3i, z2=−5etz3= 2i√

3sont des nombres complexes. Re(z1) = 4etIm(z1) =−3;

z2 est réel (sa partie imaginaire est nulle) ; z3 est un imaginaire pur (puisqueRe(z3) = 0).

Vocabulaire

L’écriture dez sous la formea+ibest appelée forme algébrique dez.

aest la partie réelle de z, notéeRe(z).

best la partie imaginaire de z, notéeIm(z).

Un nombre complexez dont la partie imaginaire est nulle est unréel. Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle est appeléimaginaire pur.

Exemple

z1= 4−3i, z2=−5etz3= 2i√

3sont des nombres complexes. Re(z1) = 4etIm(z1) =−3;

z2 est réel (sa partie imaginaire est nulle) ; z3 est un imaginaire pur (puisqueRe(z3) = 0).

Vocabulaire

L’écriture dez sous la formea+ibest appelée forme algébrique dez.

aest la partie réelle de z, notéeRe(z).

best la partie imaginaire de z, notéeIm(z).

Un nombre complexez dont la partie imaginaire est nulle est unréel. Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle est appeléimaginaire pur.

Exemple

z1= 4−3i, z2=−5etz3= 2i√

3sont des nombres complexes. Re(z1) = 4etIm(z1) =−3;

z2 est réel (sa partie imaginaire est nulle) ; z3 est un imaginaire pur (puisqueRe(z3) = 0).

Vocabulaire

L’écriture dez sous la formea+ibest appelée forme algébrique dez.

aest la partie réelle de z, notéeRe(z).

best la partie imaginaire de z, notée Im(z).

Un nombre complexez dont la partie imaginaire est nulle est unréel. Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle est appeléimaginaire pur.

Exemple

z1= 4−3i, z2=−5etz3= 2i√

3sont des nombres complexes. Re(z1) = 4etIm(z1) =−3;

z2 est réel (sa partie imaginaire est nulle) ; z3 est un imaginaire pur (puisqueRe(z3) = 0).

Vocabulaire

L’écriture dez sous la formea+ibest appelée forme algébrique dez.

aest la partie réelle de z, notéeRe(z).

best la partie imaginaire de z, notée Im(z).

Un nombre complexez dont la partie imaginaire est nulle est unréel.

Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle est appeléimaginaire pur.

Exemple

z1= 4−3i, z2=−5etz3= 2i√

3sont des nombres complexes. Re(z1) = 4etIm(z1) =−3;

z2 est réel (sa partie imaginaire est nulle) ; z3 est un imaginaire pur (puisqueRe(z3) = 0).

Vocabulaire

L’écriture dez sous la formea+ibest appelée forme algébrique dez.

aest la partie réelle de z, notéeRe(z).

best la partie imaginaire de z, notée Im(z).

Un nombre complexez dont la partie imaginaire est nulle est un réel.

Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle est appeléimaginaire pur.

Exemple

z1= 4−3i, z2=−5etz3= 2i√

3sont des nombres complexes. Re(z1) = 4etIm(z1) =−3;

z2 est réel (sa partie imaginaire est nulle) ; z3 est un imaginaire pur (puisqueRe(z3) = 0).

Vocabulaire

L’écriture dez sous la formea+ibest appelée forme algébrique dez.

aest la partie réelle de z, notéeRe(z).

best la partie imaginaire de z, notée Im(z).

Un nombre complexez dont la partie imaginaire est nulle est un réel.

Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle est appeléimaginaire pur.

Exemple

z1= 4−3i, z2=−5etz3= 2i√

3sont des nombres complexes. Re(z1) = 4etIm(z1) =−3;

z2 est réel (sa partie imaginaire est nulle) ; z3 est un imaginaire pur (puisqueRe(z3) = 0).

Vocabulaire

L’écriture dez sous la formea+ibest appelée forme algébrique dez.

aest la partie réelle de z, notéeRe(z).

best la partie imaginaire de z, notée Im(z).

Un nombre complexez dont la partie imaginaire est nulle est un réel.

Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle est appelé imaginaire pur.

Exemple

z1= 4−3i, z2=−5etz3= 2i√

3sont des nombres complexes.

Re(z1) = 4etIm(z1) =−3;

z2 est réel (sa partie imaginaire est nulle) ;

Sommaire

1. Histoire des nombres complexes

1.1 Évolution des notations au fil du temps

1.2 Des formules pour résoudre les équations du troisième degré 1.3 Où l’on ose l’impensable

2. Le corps des nombres complexes 2.1 L’ensembleC.

2.2 Ajouter, soustraire, multiplier des nombres complexes 2.3 Conjuguer pour diviser

2.4 Le conjugué, vu de plus près

3. Résolution dansCdes équations du second degré

On munitCde règles opératoires qui prolongent celles deR, et qui vérifient les propriétés de commutativité, d’associativité, et de distributivité².

Exercice 1

Prenonsz= 5 + 2ietz⁰ = 3−4i.

Calculerz+z⁰,2z−3z⁰,z×z⁰ etz²−z⁰²et donner les résultats sous forme algébrique.

Exercice 2

1.

Calculeri³, i⁴, i⁵, i⁶, i⁷.

2.

Détermineriⁿ suivant les valeurs den∈N.

On munitCde règles opératoires qui prolongent celles deR, et qui vérifient les propriétés de commutativité, d’associativité, et de distributivité².

Exercice 1

Prenonsz= 5 + 2ietz⁰ = 3−4i.

Calculerz+z⁰,2z−3z⁰,z×z⁰ etz²−z⁰²et donner les résultats sous forme algébrique.

Exercice 2

1.

Calculeri³, i⁴, i⁵, i⁶, i⁷.

2.

Détermineriⁿ suivant les valeurs den∈N.

2. Un ensemble de nombres muni de deux opérations et de quelques propriétés très précises

Sommaire

1. Histoire des nombres complexes

1.1 Évolution des notations au fil du temps

1.2 Des formules pour résoudre les équations du troisième degré 1.3 Où l’on ose l’impensable

2. Le corps des nombres complexes 2.1 L’ensembleC.

2.2 Ajouter, soustraire, multiplier des nombres complexes 2.3 Conjuguer pour diviser

2.4 Le conjugué, vu de plus près

3. Résolution dansCdes équations du second degré

Définition 2

On appelleconjugué de z=a+ible nombre complexe notéz et tel que z = a − i b.

Exercice 3

1.

Donner le conjugué de3 + 2i.

2.

Donner le conjugué de2i−1.

Méthode (Division des nombres complexes)

En pratique, pour diviser deux nombres complexes, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Définition 2

On appelle conjugué dez=a+ible nombre complexe notéz et tel que z = a − i b.

Exercice 3

1.

Donner le conjugué de3 + 2i.

2.

Donner le conjugué de2i−1.

Méthode (Division des nombres complexes)

En pratique, pour diviser deux nombres complexes, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Définition 2

On appelle conjugué dez=a+ible nombre complexe notéz et tel que z = a − i b.

Exercice 3

1.

Donner le conjugué de3 + 2i.

2.

Donner le conjugué de2i−1.

Méthode (Division des nombres complexes)

En pratique, pour diviser deux nombres complexes, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Définition 2

On appelle conjugué dez=a+ible nombre complexe notéz et tel que z = a − i b.

Exercice 3

1.

Donner le conjugué de3 + 2i.

2.

Donner le conjugué de2i−1.

Méthode (Division des nombres complexes)

En pratique, pour diviser deux nombres complexes, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Définition 2

On appelle conjugué dez=a+ible nombre complexe notéz et tel que z = a − i b.

Exercice 3

1.

Donner le conjugué de3 + 2i.

2.

Donner le conjugué de2i−1.

Méthode (Division des nombres complexes)

En pratique, pour diviser deux nombres complexes, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Définition 2

On appelle conjugué dez=a+ible nombre complexe notéz et tel que z = a − i b.

Exercice 3

1.

Donner le conjugué de3 + 2i.

2.

Donner le conjugué de2i−1.

Méthode (Division des nombres complexes)

En pratique, pour diviser deux nombres complexes, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Exemple

5 + 2i

3−4i = (5 + 2i)×(3 + 4i) (3−4i)×(3 + 4i)

= 7 + 26i 3²+ 4²

= 7 25+26

25i

Exemple

5 + 2i

3−4i = (5 + 2i)×(3 + 4i) (3−4i)×(3 + 4i)

= 7 + 26i 3²+ 4²

= 7 25+26

25i

Exemple

5 + 2i

3−4i = (5 + 2i)×(3 + 4i) (3−4i)×(3 + 4i)

= 7 + 26i 3²+ 4²

= 7 25+26

25i

Exemple

5 + 2i

3−4i = (5 + 2i)×(3 + 4i) (3−4i)×(3 + 4i)

= 7 + 26i 3²+ 4²

= 7 25+26

25i

Sommaire

1. Histoire des nombres complexes

1.1 Évolution des notations au fil du temps

1.2 Des formules pour résoudre les équations du troisième degré 1.3 Où l’on ose l’impensable

2. Le corps des nombres complexes 2.1 L’ensembleC.

2.2 Ajouter, soustraire, multiplier des nombres complexes 2.3 Conjuguer pour diviser

2.4 Le conjugué, vu de plus près

3. Résolution dansCdes équations du second degré

Exercice 4

1.

Déterminer l’inverse dei.

2.

ExprimerZ = 1−i

2 + 3i sous forme algébrique.

3.

Résoudre dansCl’équation5z+ 2i= (1 +i)z−3.

Exercice 5

Résoudre dansCles équations suivantes d’inconnuez :

1.

2z+iz= 3

2.

z²+ 2z=−1

Propriété 1

Pour toutz∈C: zzest unnombre réel.

Siz=a+ibalorszz=a²+b².

Démonstration

Facile en écrivantz=a+ib...

Propriété 1

Pour toutz∈C: zzest un nombre réel.

Siz=a+ibalorszz=a²+b².

Démonstration

Facile en écrivantz=a+ib...

Propriété 1

Pour toutz∈C: zzest un nombre réel.

Siz=a+ibalorszz=a²+b².

Démonstration

Facile en écrivantz=a+ib...

Propriété 1

Pour toutz∈C: zzest un nombre réel.

Siz=a+ibalorszz=a²+b².

Démonstration

Facile en écrivantz=a+ib...

Propriété 1

Pour toutz∈C: zzest un nombre réel.

Siz=a+ibalorszz=a²+b².

Démonstration

Facile en écrivantz=a+ib...

Propriété 2

Soitz∈C.

z+z = 2Re(z) z−z = 2iIm(z)

Démonstration

Facile en écrivantz=a+ib.

Propriété 2

Soitz∈C.

z+z = 2Re(z) z−z = 2iIm(z)

Démonstration

Facile en écrivantz=a+ib.

Propriété 2

Soitz∈C.

z+z = 2Re(z) z−z = 2iIm(z)

Démonstration

Facile en écrivantz=a+ib.

Propriété 2

Soitz∈C.

z+z = 2Re(z) z−z = 2iIm(z)

Démonstration

Facile en écrivantz=a+ib.

Corollaire 1

Re(z) = z+z 2 Im(z) = z−z

2i

Propriété 3 (Nombres réels et imaginaires purs)

z est réel⇔z=z zest imaginaire pur⇔z=−z

Démonstration

Utiliser le corollaire

Corollaire 1

Re(z) = z+z 2 Im(z) = z−z

2i

Propriété 3 (Nombres réels et imaginaires purs)

z est réel⇔z=z zest imaginaire pur⇔z=−z

Démonstration

Utiliser le corollaire

Corollaire 1

Re(z) = z+z 2 Im(z) = z−z

2i

Propriété 3 (Nombres réels et imaginaires purs)

z est réel⇔z=z zest imaginaire pur⇔z=−z

Démonstration

Utiliser le corollaire

Corollaire 1

Re(z) = z+z 2 Im(z) = z−z

2i

Propriété 3 (Nombres réels et imaginaires purs)

z est réel⇔z=z zest imaginaire pur⇔z=−z

Démonstration

Utiliser le corollaire

Corollaire 1

Re(z) = z+z 2 Im(z) = z−z

2i

Propriété 3 (Nombres réels et imaginaires purs)

z est réel⇔z=z zest imaginaire pur⇔z=−z

Démonstration

Utiliser le corollaire

Corollaire 1

Re(z) = z+z 2 Im(z) = z−z

2i

Propriété 3 (Nombres réels et imaginaires purs)

z est réel⇔z=z zest imaginaire pur⇔z=−z

Démonstration

Utiliser le corollaire

Corollaire 1

Re(z) = z+z 2 Im(z) = z−z

2i

Propriété 3 (Nombres réels et imaginaires purs)

z est réel⇔z=z zest imaginaire pur⇔z=−z

Démonstration

Utiliser le corollaire

Propriété 4

Soitzetz⁰ deux nombres complexes.

1.

z+z⁰ =z+z⁰

2.

z×z⁰ =z×z⁰

3.

zⁿ =(z)ⁿ (n∈N^∗)

4.

(z) =z

5.

^z

z⁰

= z

z⁰ (pourz⁰6= 0)

Propriété 4

Soitzetz⁰ deux nombres complexes.

1.

z+z⁰ =z+z⁰

2.

z×z⁰ =z×z⁰

3.

zⁿ =(z)ⁿ (n∈N^∗)

4.

(z) =z

5.

^z

z⁰

= z

z⁰ (pourz⁰6= 0)

Propriété 4

Soitzetz⁰ deux nombres complexes.

1.

z+z⁰ =z+z⁰

2.

z×z⁰ =z×z⁰

3.

zⁿ =(z)ⁿ (n∈N^∗)

4.

(z) =z

5.

^z

z⁰

= z

z⁰ (pourz⁰6= 0)

Propriété 4

Soitzetz⁰ deux nombres complexes.

1.

z+z⁰ =z+z⁰

2.

z×z⁰ =z×z⁰

3.

zⁿ = (z)ⁿ (n∈N^∗)

4.

(z) =z

5.

^z

z⁰

= z

z⁰ (pourz⁰6= 0)

Propriété 4

Soitzetz⁰ deux nombres complexes.

1.

z+z⁰ =z+z⁰

2.

z×z⁰ =z×z⁰

3.

zⁿ = (z)ⁿ (n∈N^∗)

4.

(z) =z

5.

^z

z⁰

= z

z⁰ (pourz⁰6= 0)

Propriété 4

Soitzetz⁰ deux nombres complexes.

1.

z+z⁰ =z+z⁰

2.

z×z⁰ =z×z⁰

3.

zⁿ = (z)ⁿ (n∈N^∗)

4.

(z) =z

5.

^z

z⁰

= z

z⁰ (pourz⁰6= 0)

Démonstration

1.

Facile en posantz=a+ib.

2.

Même chose.

3.

Se prouve par une récurrence facile...

4.

Évident. . .

5.

¹ Démontrer d’abord que le conjugué de l’inverse est l’inverse du conjugué. Pour cela, calculer

₁ z

×z.

2 Démontrer ensuite que_z z⁰

Exercice 6

Soitzun nombre complexe non nul quelconque.

1.

Montrer quez1=z⁴+ (z)⁴est un nombre réel.

2.

Montrer quez₂= z−z

z+z est un imaginaire pur.

Exercice 7

SoitP(z) =z³−3z²+ 4z−12avec z∈C.

1.

Montrer que pour tout nombre complexez, on a :P(z) =P(z).

2.

¹ Vérifier que−2iest solution de l’équationP(z) = 0.

2 En déduire sans calcul que2iest aussi solution de cette équation.

Exercice 6

Soitzun nombre complexe non nul quelconque.

1.

Montrer quez1=z⁴+ (z)⁴est un nombre réel.

2.

Montrer quez₂= z−z

z+z est un imaginaire pur.

Exercice 7

SoitP(z) =z³−3z²+ 4z−12avec z∈C.

1.

Montrer que pour tout nombre complexez, on a :P(z) =P(z).

2.

¹ Vérifier que−2iest solution de l’équationP(z) = 0.

2 En déduire sans calcul que2iest aussi solution de cette équation.

Sommaire

1. Histoire des nombres complexes

1.1 Évolution des notations au fil du temps

1.2 Des formules pour résoudre les équations du troisième degré 1.3 Où l’on ose l’impensable

2. Le corps des nombres complexes 2.1 L’ensembleC.

2.2 Ajouter, soustraire, multiplier des nombres complexes 2.3 Conjuguer pour diviser

2.4 Le conjugué, vu de plus près

3. Résolution dansCdes équations du second degré

Théorème 1

Soit le trinômeax²+bx+c, aveca, betc trois nombresréelseta6= 0.

Si∆>0 alors le trinôme admet deux racines réelles :

x₁= −b−√ Si∆<0 alors le trinôme possède deux racines complexes conjuguées :

z₁= −b−ip

|∆|

2a et z₂= −b+ip

|∆| 2a .

Théorème 1

Soit le trinômeax²+bx+c, aveca, betc trois nombresréelseta6= 0.

Si∆>0 alors le trinôme admet deux racines réelles :

x₁= −b−√ Si∆<0 alors le trinôme possède deux racines complexes conjuguées :

z₁= −b−ip

|∆|

2a et z₂= −b+ip

|∆| 2a .

Théorème 1

Soit le trinômeax²+bx+c, aveca, betc trois nombresréelseta6= 0.

Si∆>0 alors le trinôme admet deux racines réelles :

x₁= −b−√

Si∆<0 alors le trinôme possède deux racines complexes conjuguées :

z₁= −b−ip

|∆|

2a et z₂= −b+ip

|∆| 2a .

Théorème 1

Soit le trinômeax²+bx+c, aveca, betc trois nombresréelseta6= 0.

Si∆>0 alors le trinôme admet deux racines réelles :

x₁= −b−√

Si∆<0 alors le trinôme possède deux racines complexes conjuguées :

z₁= −b−ip

|∆|

2a et z₂= −b+ip

|∆| 2a .

Théorème 1

Soit le trinômeax²+bx+c, aveca, betc trois nombresréelseta6= 0.

Si∆>0 alors le trinôme admet deux racines réelles :

x₁= −b−√ Si∆<0 alors le trinôme possède deux racines complexes conjuguées :

z₁= −b−ip

|∆|

2a et z₂= −b+ip

|∆|

2a .

Théorème 1

Soit le trinômeax²+bx+c, aveca, betc trois nombresréelseta6= 0.

Si∆>0 alors le trinôme admet deux racines réelles :

x₁= −b−√ Si∆<0 alors le trinôme possède deux racines complexes conjuguées :

z₁= −b−ip

|∆|

2a et z₂= −b+ip

|∆|

2a .

Démonstration

La mise sous forme canonique du trinôme donne :

az²+bz+c=a

Démonstration

La mise sous forme canonique du trinôme donne :

az²+bz+c=a

Démonstration

La mise sous forme canonique du trinôme donne :

az²+bz+c=a

Démonstration

La mise sous forme canonique du trinôme donne :

az²+bz+c=a

Démonstration

La mise sous forme canonique du trinôme donne :

az²+bz+c=a

Exercice 8

Résoudre dansCles équations suivantes :

1.

z²−2z+ 26 = 0

1.

Démontrer que l’équationP(z) = 0a deux solutions imaginaires purs que l’on déterminera.

2.

Déterminer les réelsaetbtels que, pour toutz∈C, on ait : P(z) = z²+ 4

z²+az+b .

3.

Résoudre dansCl’équationP(z) = 0.

Exercice 8

Résoudre dansCles équations suivantes :

1.

z²−2z+ 26 = 0

2.

z²+z+ 1 = 0

3.

2−z= 2 z

Exercice 9

Pour tout nombre complexez, on pose : P(z) =z⁴−√

2z³−4√

2z−16.

1.

Démontrer que l’équationP(z) = 0a deux solutions imaginaires purs que l’on déterminera.

2.

Déterminer les réelsaetbtels que, pour toutz∈C, on ait :

FIN

Dans le document les nombres complexes au delà des réels DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Page 85-158)