L1-M2 2010/2011 10 mai 2011 - Session 1
Examen de Mathématiques (M2) Durée: 3 heures
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Exercice 1 : On considère les sous-ensembles deRsuivants : E ={a+bπ|a, b∈Z} etF ={a+b√
3|a, b∈Z}
1. Montrer que(E,+)et(F,+) sont sous-groupes de(R,+).
2. On suppose connu le fait qu'il n'existent pas de p, q∈Qtels qu'on aitπ2 =pπ+q.
(a) Montrer que si α, β∈F alors le produitαβ∈F (on dit que F est stable par multiplication) (b) Montrer queE n'est pas stable par multiplication.
(c) Montrer que l'inverse dea+b√
3 existe dans F si et seulement si on a a
a2−3b2 ∈Z et b
a2−3b2 ∈Z
(d) Montrer que les seuls éléments deEqui possèdent un inverse dansEpar rapport à la multiplication sont 1 et−1.
Exercice 2 : SoitZ[X]l'ensemble des polynômesP =a0+a1X+. . .+anXn,n∈N, à coecients entiers.
1. Montrer que pour de tels polynômesP, siα∈Z est racine deP alorsα divise a0.
2. Donner une décomposition en facteurs irréductibles surRet surCdu polynômeQ= 1 +X+X2+X3. (Indication : on pourrait utiliser la question précedente ou bien le fait queX4−1 = (X−1)Q) 3. En déduire que pour toutn∈N, le polynômePn= 1+X+X4n+2+X4n+3est divisible par le polynôme
Q.
4. Montrer que le carré du polynômeQ, notéQ2, ne divise pas le polynôme Pn.
Exercice 3 : Soitϕl'application linéaire de R3 dans lui-même dénie par
ϕ
x1 x2 x3
=
−3x1−4x2−2x3 x1+ 2x2+x3 2x1+ 2x2+x3
1. Donner la matriceA de ϕrelativement à la base canonique Bde R3. Soient maintenant
v1 =
1
−1 0
; v2=
−1 0 1
; v3 =
0
−1 2
.
2. Calculer le déterminant de la matrice dont les trois colonnes sont, dans l'ordre,v1,v2, etv3. En déduire que ces trois vecteurs forment une baseB0 de R3.
3. Calculer ϕ(v1), ϕ(v2), ϕ(v3) et les exprimer en fonction de v1, v2, v3. En déduire la matrice A0 de ϕ relativement à la baseB0 ={v1, v2, v3}.
4. Écrire la matrice de passagePBB0, depuis la base canoniqueB vers la base B0. On la notera P. 5. Calculer son inverseP−1.
6. Quelle est la relation entre A,P,P−1 etA0? (justier brièvement) 7. Retrouver la valeur deA déduite à la question 1.
8. Quel est le rang deϕ? Calculer la dimension de l'espace noyau Kerϕ. 9. Donner une base de l'espace imageImϕ.
10. Donner une base de l'espaceKerϕ.
11. Montrer queKerϕetImϕsont supplémentaires dansR3.