Algèbre - Chapitre 2
Espace vectoriel de dimension finie
Dans ce chapitre,Edésigne unR-espace vectoriel.
I - Dimension d’un espace vectoriel
I.1 - Base et coordonnées d’un vecteur dans une base
Définition 1Soit (−→e1, . . . ,−e→n) une famille de vecteur deE.
On dit que la famille (−→e1, . . . ,−e→n) est unebasedeEssi elle est libre et génératrice deE.
Méthode 1
Pour trouver une base d’un espace vectorielEdonné.
• On détermine une famille génératrice deEen écrivantEsous la formeE=Vect(−→e1,· · ·,−e→n).
⋆ Si la famille (→−e1,· · ·,−e→n) est libre, c’est donc une base deE.
⋆ Si la famille (→−e1,· · ·,−e→n) n’est pas libre, on supprime un vecteur de cette famille génératrice et on réitère le procédé jusqu’à obtenir une famille libre.
• La famille réduite ainsi obtenue est libre et génératrice deE; c’est donc une base deE.
Exercice 1
1. Soite1=(1, 2,−3),e2=(−2, 0, 5) ete3=(0, 4,−1). Trouver une base deF=Vect (e1,e2,e3).
2. Montrer queE=©¡
x,y,z¢
∈R3|x−y+z=0ª
est un espace vectoriel et en déterminer une baseB. Proposition 1 : Coordonnées d’un vecteur dans une base
La familleB=(−→e1, . . . ,−e→n) est une base deEsi et seulement si pour tout→−u ∈Eil existe un unique n-uplet (λ1, . . . ,λn)∈Rntel que :
−
→u=
n
X
i=1
λi−→ei=λ1e1+ · · · +λnen.
Lesλis’appellent lescoordonnéesde→−u dans la baseB=(→−e1, . . . ,−→en) et on noteM atB¡−→u¢
=
λ1
... λn
la matrice colonne des coordonnées de−→u.
Attention
L’ordre est important dans l’écriture des vecteurs d’une base.
Ainsi, deux bases constituées des mêmes vecteurs mais dans un ordre différent ne sont pas les mêmes. En particulier, les coordonnées d’un même vecteur seront différentes dans ces deux bases.
Exercice 2
1. Déterminer les coordonnées du vecteur (7, 4, 1) dans la baseB=((1, 1, 0) ; (1, 0, 1) ; (0, 0, 1)) deR3. 2. Déterminer le polynômePde coordonnées
0 1 1
dans la baseB=¡
1; (X−1); (X−1)2¢
deR2[X].
3. SoitEun espace vectoriel admettant pour base la famille :B=(e1,e2,e3,e4).
Écrire la matrice colonne des coordonnées du vecteuru=e1+e2+e4dans la baseB=(e1,e2,e3,e4).
Algèbre : Chapitre 2 –1/4– Espace vectoriel de dimension finie
I.2 - Bases canoniques
Pour certains espaces vectoriels d’usage fréquent, on choisit par convention une base assez simple que l’on utilisera souvent. Ce type de base est appelébase canonique. Les trois exemples suivants sont à connaitre par cœur et il n’est pas nécessaire de redémontrer que ces familles sont des bases.
I.2.a - Base canonique deRn Proposition 2
On définit, pour tout entieri∈J1;nK, le vecteurei=(0, . . . , 0, 1
| {z }
ièmeplace
, 0, . . . , 0)∈Rn. La famille (e1, . . . ,en) est une base deRnque l’on appellebase canonique deRn. Remarque 1
La famille ((1, 0), (0, 1)) est la base canonique deR2.
La famille ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) est la base canonique deR3. I.2.b - Base canonique deRn[X]
Proposition 3 La famille¡
1,X, . . . ,Xn¢
est une base deRn[X] que l’on appellebase canonique deRn[X].
Remarque 2 La famille¡
1,X,X2¢
est la base canonique deR2[X].
La famille¡
1,X,X2,X3¢
est la base canonique deR3[X].
I.2.c - Base canonique deMn,p(R) Proposition 4
Pour touti∈J1;nK, pour toutj∈J1;pK, on définit la matriceEi,jdont tous les coefficients sont nuls sauf celui de laièmeligne et de lajèmecolonne qui lui vaut 1.
La famille (Ei,j)1⩽i⩽n,1⩽j⩽pest une base deMn,p(R) que l’on appellebase canonique deMn,p(R).
Remarque 3
La famille µµ1 0
0 0
¶ ,
µ0 1 0 0
¶ ,
µ0 0 1 0
¶ ,
µ0 0 0 1
¶¶
est la base canonique deM2(R).
La famille
1 0 0 0 0 0 0 0 0
,
0 1 0 0 0 0 0 0 0
,
0 0 1 0 0 0 0 0 0
,
0 0 0 1 0 0 0 0 0
,
0 0 0 0 1 0 0 0 0
,
0 0 0 0 0 1 0 0 0
,
0 0 0 0 0 0 1 0 0
,
0 0 0 0 0 0 0 1 0
,
0 0 0 0 0 0 0 0 1
,
est la base canonique deM3(R).
I.3 - Dimension d’un espace vectoriel
Définition 2On dit qu’un espace vectorielEest dedimension finies’il admet une famille génératrice finie.
Remarque 4
Lorsqu’un espace vectoriel ne possède pas de famille génératrice finie on dit que cet espace est de dimension infinie. Par exemple, les espacesRNetR[X] sont de dimension infinie.
Théorème 1
SoitEun espace de dimension finie non réduit à {0}.
AlorsEadmet une base et toutes les bases deEont le même nombre d’éléments.
Le nombre d’éléments d’une base est appelédimension de l’espace vectorielEet est noté : dimE.
Par convention on dira que l’espace vectorielE={0} est de dimension 0.
Algèbre : Chapitre 2 –2/4– Espace vectoriel de dimension finie
Méthode 2
Pour déterminer la dimension d’un espace vectoriel, on détermine une base de cet espace vectoriel puis on en déduit la dimension en comptant le nombre de vecteurs de cette base.
Les dimensions des espaces vectoriels usuels suivants sont à connaitre par cœur : Théorème 2
• dim¡ Rn¢
=n.
• dim (Rn[X])=n+1.
• dim¡ Mn,p(R)¢
=np. En particulier : dim¡ Mn,1(R)¢
=n et dim (Mn(R))=n2.
Exercice 3
Montrer que l’ensemble S =©
M∈M2(R)|tM=Mª
des matrices symétriques deM2(R) est un es- pace vectoriel puis en déterminer une base et sa dimension.
II - Propriété des espaces vectoriels de dimension finie
II.1 - Familles et bases dans un espace vectoriel de dimension finie
Proposition 5SoitEun espace vectorielde dimension finie égale àn.
1. Toute famille libre possède au plusnvecteurs.
2. Toute famille génératrice possède au moinsnvecteurs.
Remarque 5
Dans un espace de dimensionn, toute famille comportant plus denvecteurs est donc forcément liée et toute famille comportant moins denvecteurs n’est jamais génératrice.
Exercice 4
1. La familleF1=((1, 2); (2, 1); (1, 1)) est-elle libre dansR2? 2. La familleF2=((1, 1, 1); (1, 2, 1)) est-elle génératrice dansR3?
Théorème 3
SoitEun espace vectorielde dimension finie égale àn.
1. Toute famille libre deEcomposée denvecteurs est une base deE.
2. Toute famille génératrice deEcomposée denvecteurs est une base deE.
Méthode 3
Lorsqu’on connait la dimensionnd’un espace et que l’on se donne une famille denvecteurs, il suffit de montrer que cette famille estsoit libre, soit génératricepour montrer que c’est une base.
Comme on a le choix, on préfèrera montrer que la famille est libre (plus simple).
On écrira par exemple : "La famille (−→e1, . . . ,−e→n) est une famille libre composée denvecteurs deEqui est de dimensionn, donc c’est une base deE."
Exercice 5
1. Montrer que la familleF1=((4;−1; 0); (0; 2; 2); (1;−1;−1)) est une base deR3. 2. Montrer que la familleF2=¡
1;X−1; (X−1)2¢
est une base deR2[X].
Algèbre : Chapitre 2 –3/4– Espace vectoriel de dimension finie
II.2 - Dimension des sous-espaces
Théorème 4SoitEun espace vectoriel de dimension finie etFest un sous-espace vectoriel deE
• AlorsFest de dimension finie et on a : dimF⩽dimE.
• Cas d’égalité.
dimF=dimE ⇐⇒F=E. Remarque 6
On utilise souvent le théorème précédent sous la forme suivante.
Si
½F⊂E
dimF=dimE alorsF=E.
Exercice 6
SoitF=Vect ((1, 2), (2, 1)). Montrer queF=R2.
II.3 - Rang d’une famille de vecteurs
Définition 3
SoitEun espace vectoriel et¡−→e1, . . . ,−e→n¢
une famille de vecteurs deE.
On appellerangde la famille¡−→e1, . . . ,−e→n¢
, noté rg¡−→e1, . . . ,−e→n¢
la dimension de Vect¡−→e1, . . . ,−→en¢ . Ainsi : rg¡−→e1, . . . ,−e→n¢
=dim¡
Vect¡→−e1, . . . ,−→en¢¢
. Exercice 7
On considère la familleF=¡−→u,→−v,−→w¢
deR3avec−→u=(1, 3,−3),−→v =(4, 2,−3) et−→w=(−1, 7,−6)).
1. Calculer : −3−→u+ −→v+ −→w.
2. Déterminer le rang de la familleF.
Définition 4 : Rang d’une matrice
SoitA=
| | . . . | C1 C2 . . . Cp
| | . . . |
∈Mn,p(R) une matrice .
On appellerangde la matriceA, noté rg (A) la dimension de l’espace vectoriel engendré par ses vec- teurs colonnes¡
C1,C2, . . . ,Cp¢ . Ainsi :
rg (A)=rg¡
C1,C2, . . . ,Cp¢ . Exercice 8
Déterminer le rang des matrices suivantes.
A=
−1 1 0
0 −1 1
0 0 2
B=
−1 1 −2
1 −1 2
2 0 2
Remarque 7
On verra dans un prochain chapitre que le rang d’une matrice caractérise l’inversibilité de cette ma- trice, à savoir :
A∈Mn(R) est inversible⇐⇒rg(A)=n.
Algèbre : Chapitre 2 –4/4– Espace vectoriel de dimension finie
