 Exercices sur les suites

(1)

Exercices sur les suites

1 On considère la suite

 

un définie sur  par u_n n cos n. Étudier le sens de variation de la suite

 

un par étude de fonction.

On commencera par définir une fonction f définie sur  telle que  n unf n

 

puis on étudiera le sens de variation de f sur  sans faire le tableau de variation.

 

un définie sur  par son premier terme u₀ et la relation de récurrence

 

² 1

1  

 n n

n u u

u .

Étudier le sens de variation de la suite

 

un par différence.

3 Soit

 

un une suite définie sur  à termes positifs ou nuls.

Pour tout entier naturel n, on pose

n n

n u

v u

 

1 .

Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a

 

₁



1

1 1 1 _



  

 



n n

n n n

n u u

u v u

v .

Démontrer que si

 

^u_n est croissante si et seulement si

 

^v_n est croissante.

4 Pour tout entier naturel n, on pose

2 2 2 2

1 ...

7 7 7

n

Sn        

   

.

Donner une expression simplifiée de S_n sous forme factorisée ; en déduire que la suite

 

S_n est majorée.

5 Soit

 

u_n une suite arithmétique définie sur  telle que u₃2 et u₇14. 1°) Calculer son premier terme u₀ et sa raison r.

2°) Exprimer u_n en fonction de n.

3°) Calculer la somme Su₄u₅...u₂₅.

6 Soit

 

u_n une suite géométrique monotone définie sur  telle que u₄1 et u₆9. 1°) Calculer son premier u₀ et sa raison q.

2°) Exprimer u_n en fonction de n.

3°) Calculer la somme Su₄u₅... u ₁₄.

 

u_n définie sur par son premier terme u₀6 et la relation de récurrence 3

1 3 2

1 

 n

n u

u .

1°) Dans le plan muni d’un repère orthonormé



^{O, ,}^{ }^{i j}



, tracer les droites d’équations respectives yx et

2 1

3 3

y x .

Placer alors les points d’abscisses respectives u₀, u₁, u₂, u₃ et u₄. On laissera apparentes les constructions.

2°) Pour tout entier naturel n, on pose v_nu_n1.

Démontrer que la suite

 

vn est géométrique ; exprimer alors v_n puis u_nen fonction de n.

 

u_n définie sur  par son premier terme 3 1

0

u et la relation de récurrence

1

1 3

 

 n

n

n u

u u .

1°) Démontrer que pour tout entier naturel n on a u_n0. 2°) Étudier le sens de variation de la suite

 

un par différence.

3°) Pour tout entier naturel n, on pose

n

n u

v 1

 . a) Démontrer que la suite

 

vn est suite arithmétique.

b) Exprimer v_n puis u_n en fonction de n.

11 Pour tout entier naturel n, on considère l’équation

3

2 1

x n

x 



 

En d’inconnue x.

1°) Démontrer que pour tout entier naturel n, l’équation

 

En admet une unique solution, notée x_n, dans .

2°) Étudier la monotonie de la suite

 

xn .

3°) Démontrer que pour tout entier naturel n on a : n x_n n1. En déduire la limite de la suite

 

xn et de la suite xⁿ

n

 

 

 . 12

A Démontrer que la suite

 

vn définie par son terme général ₁

0

1 2

n

n k

k

v _





est majorée.

B On donne une suite croissante

 

qn d’entiers naturels telle que q₀2. On construit la suite

 

un par ₀

0

u 1

q , ₁

0 0 1

1 1

u q q q , … ,

0 0 1 0 1

1 1 1

n

u ...

q q q q q ...q

    .

1°) Démontrer que la suite

 

un est strictement croissante.

2°) Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a u_nv_n.

3°) Déduire des questions précédentes que la suite

 

un converge et que sa limite appartient à l’intervalle ]0 ; 1].

 

u_n définie sur ^* par son premier terme u₁0 et la relation de récurrence

1

 

2

1

n n

n

u u

  n u

 .

1°) Quel est le signe des termes de la suite ?

2°) Démontrer que

 

un converge et déterminer sa limite.

3°) Étudier le cas particulier où u₁1.

4°) Dans le cas général, démontrer que pour tout entier naturel k non nul on a : ₂ ₂

1

1 1

2

k k

u_ u  k ; en déduire que pour tout entier naturel n non nul on a : ₂

 

₂

1

1 1

1

n

u n n u . Démontrer que la suite



nun



est bornée.

5°) a) Soit M un majorant de



^nu_n



^.

(2)

Démontrer que, pour tout entier naturel k, on a : ₂ ₂ ²

1

1 1

2 2 M

k k

u_ u 

  .

b) En déduire un équivalent simple de u_n.

14 On considère la suite réelle

 

u_n définie sur  par ses premiers termes 0u₀u₁ et la relation de récurrence

2 2

1 1

1

n n

n

n n

u u

u u u







 

 pour tout entier naturel n non nul.

1°) Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a : u_n0. 2°) Pour tout entier naturel n, on pose d_nu_n_₁u_n.

Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, on a : ¹ ₁

1 n

n n

d u d

u u



   et déterminer le signe de d_n suivant les valeurs de n.

3°) a) Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, on a : ₁ ₁ ₁

1 n

n n n

n n

u u u d

u u

  



 

 .

b) Démontrer que la suite



u2n



est croissante et



u2n_1



est décroissante.

 

u converge (on ne demande pas de déterminer la limite). _n

 

u_n définie sur  par son premier terme u₀0 et la relation de récurrence

1 e^uⁿ

n n

u_ u ^ pour tout entier naturel n.

1°) Démontrer que

 

u_n converge et déterminer sa limite.

2°) Déterminer

1

1 1

lim

n^{  } un_ un

 

  

 

. En déduire un équivalent simple de u_n lorsque n tend vers + .

On rappelle le résultat suivant sur les moyennes de Césaro.

Soit

 

an une suite réelle définie sur .

Si a_n_n_ l (



^l^^



^{, alors} ⁰ ¹ ⁿ n

a a ... a

n ^ l

  

 .

 

u_n définie par son premier terme u₀0 et la relation de récurrence

2 1

E 1

n n

n

u u

 u

 

   

  .

1°) Que peut-on dire de la suite

 

u_n si u₀1 ?

2°) Déterminer pour quelles valeurs de u₀ la suite

 

u_n est constante.

3°) On se place dans le cas où u0



0 ;1



.

On définit la fonction ² 1

: E

f x x x

   

 

 .

a) Démontrer que, si ^x^



^{0 ; 1}



^{, alors}⁰^{f x}

 

^x¹.

b) En déduire que

 

un est définie sur et démontrer qu’elle converge vers un réel ^l



^{0 ; 1}



^.

17 Soit

 

un la suite définie sur  par son premier terme u₀3 et la relation de récurrence ₁ 1

n n

u^ u . 1°) Exprimer u_n en fonction de n.

2°) Exprimer la somme u₀u₁u₂...u₂_n en fonction de n.

 

u_n définie par son premier terme u₀0 et la relation de récurrence

1 2

1

n n

u u

 

  .

1°) Étudier la suite

 

u_n (sens de variation et convergence).

2°) Déterminer

1

1 1

lim

n^{  } un_ un

 

  

 

. En déduire un équivalent simple de u_n lorsque n tend vers + ∞.

On rappelle le résultat suivant sur les moyennes de Césaro.

Soit

 

Si a_n_n_ l (



^l^^



^{, alors}^a⁰ ^a¹ ^{... a}ⁿ _n ^l

n ^

  

 .

19 Soit a un réel strictement positif. On considère la suite

 

un définie sur  par son premier terme u₀a et la relation de récurrence

 

1 1 1 2

n n

n

u u

n u

 

  .

1°) a) Démontrer que la relation précédente définit bien une suite numérique.

b) Expliciter la suite

 

^u_n ^lorsquea1.

2°) Démontrer que, dans le cas général, la suite

 

un est décroissante et minorée.

Déterminer la limite de la suite

 

un (on raisonnera par l’absurde).

3°) a) Dresser le tableau de variations de la fonction f_n définie sur _ par

 

²

1 1

n

f x x

n x

   . b) Démontrer que, pour tout entier naturel n1, on a : 1

0 uⁿ 1

 n

  . c) Démontrer que, pour tout entier naturel k, on a :

 

1

1 1

1 _k

k k

k u

u_ u   . En déduire que, pour n1, on a :

1

1 1

1 un

n n u

  

  .

Donner un équivalent simple de u_n lorsque n tend vers + .

20 Soit a un réel strictement positif fixé.

Pour tout entier naturel n non nul, on considère la fonction polynôme P_n définie par

 

1 n

k n

k

P x x a





 ^. 1°) Démontrer que le polynôme P_n admet une unique racine positive ou nulle que l’on notera x_n. Démontrer que l’on a : x_na.

2°) Calculer x₁ et x₂ en fonction de a.

3°) Étudier le signe de Pn_1

 

x .

En déduire le sens de variation de la suite

 

xn .

(3)

 

xn converge. On note l sa limite.

Démontrer que l’on a : 0l1.

5°) Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, x_n est solution de l’équation ^xⁿ^¹



^a¹



^x^a⁰. Chercher ^lim

 

n ⁿ¹

n x ^

   ; en déduire la valeur de l.

21 Soit

 

^u_n une suite réelle bornée telle que pour tout entier naturel n1, 2u_nu_n_₁u_n_₁. Le but de cet exercice est de démontrer que cette suite est convergente.

On considère la suite

 

v_n définie par v_nu_n_₁u_n. 1°) Démontrer que la suite

 

^v_n est croissante et majorée.

En déduire qu’elle converge.

2°) Le but de cette question est de démontrer que sa limite l est négative ou nulle.

On raisonne par l’absurde en supposant que l0.

a) Démontrer qu’il existe un entier naturel N tel que si nN, alors

n 2 v l. b) Démontrer que si nN, alors

 

n N 2

u u  nN l. c) Conclure.

3°) Démontrer que

 

^u_n converge.

 

un définie par u_nⁿ3 sin n. Justifier que cette suite est définie sur  et déterminer sa limite.

23 Partie A

1°) Démontrer que, pour tout réel ^{x }



^{1 ;}^{ }



^{, on a :}^{ln 1}



^x



^x.

2°) En donnant à x des valeurs particulières, démontrer que, pour tout entier naturel k non nul, on a :

 

¹

ln k 1 ln k

  k et ln



1



ln ¹

k k 1

  k

  . Partie B

On considère les suites

 

Sn et

 

^S^'ⁿ définies sur ^* par

1

k n n

k

S n k





 ^et

0 k n 1

' n

k

S k n





 ^. 1°) Calculer S₁S₂S₃,S₁^', S₂^', S₃^' (faire attention à ce qui « bouge » et à ce qui est fixe).

2°) Calculer S_n_₁S_n pour n entier naturel quelconque non nul. En déduire le sens de variation de

 

Sn . 3°) Étudier le sens de variation de

 

Sn^' .

4°) Démontrer que

 

Sn et

 

^S^'ⁿ sont adjacentes. Que peut-on en déduire ? Partie C

1°) En écrivant l’inégalité ^ln



¹



^ln ¹

k k 1

  k

  pour ^k



^{n n}^, ^{1, ..., 2}ⁿ¹



, trouver une inégalité sur S_n. 2°) En écrivant l’inégalité ^ln



^k ¹



^ln^k ¹

  k pour ^k^



ⁿ^^{1, ..., 2}ⁿ



, trouver une inégalité sur S_n. 3°) Écrire un encadrement de S_n. En déduire lim _n

n S

 .

24 Soit

 

un la suite définie par son premier terme u₀ et la relation de récurrence ^uⁿ^¹^^{ln e}



ûⁿ^ê^ûⁿ



^.

1°) Étudier le sens de variation de

 

un et déterminer sa limite.

2°) Déterminer _n^{lim e}_



²ûⁿ^¹^ê²ûⁿ



; en déduire un équivalent de u_n lorsque n tend vers . On rappelle le résultat suivant sur les moyennes de Césaro.

Soit

 

u une suite réelle définie sur . _n

Si a_n_n_ l (



^l^



, alors a⁰ a¹ ... aⁿ _n

n ^ l

  

 .

25 On considère l’équation xln xn



^En



où n est un entier naturel.

1°) Démontrer que pour tout entier naturel n l’équation



^En



possède une unique solution notée u_n dans .

2°) Déterminer le sens de variation de la suite

 

un . 3°) Déterminer la limite de la suite

 

^u_n ^.

4°) Déterminer un équivalent de u_n lorsque n tend vers + .

26 On considère la fonction : 1 f x x

x

 et on considère la suite

 

un définie par sur ^* par

2 1 p n n

p

u f p

n



 

  

 



pour tout entier naturel n non nul.

1°) Résoudre dans  les inéquations 1

1 2 1

x x

   et 1 1 1x . On rappelle l’équivalence :

A B si et seulement si A 0

B 0







 ou A₂ 0

A B







 . 2°) Déterminer un encadrement de u_n.

3°) Étudier la convergence de

 

un .

 

un définie par u_ntann. 1°) Démontrer que la suite

 

^u_n est définie sur .

2°) Exprimer u_n_₁ en fonction de u_n.

3°) Démontrer que

 

^u_n est divergente (indication : raisonner par l’absurde).

28 Soit

 

u_n une suite réelle à termes positifs et  une bijection de  dans lui-même.

Pour tout entier naturel, on pose

0 n

n k

k

S u





^et ^{ }

0

'

n

n k

k

S u_





^.

1°) Étudier la monotonie de

 

^S_n ^et



^S^'_n



^.

2°) Démontrer que si

 

Sn converge, alors



S^'n



converge aussi vers la même limite.

(4)

29 Soit

 

un et

 

vn deux suites réelles telles _n² _n² _{n n} 0 u v u v n

   . Démontrer que

 

^u_n ^et

 

^v_n convergent et déterminer leurs limites.

30 Soit f la fonction définie sur l’intervalle ^I^



^{0 ; 2}^



^par^{f x}

 

^^x^^sin^x^.

1°) Étudier le sens de variation de f sur I et étudier le signe de ^{f x}

 

^x.

2°) Étudier les propriétés de la suite

 

u_n définie par son premier terme u₀I et la relation de récurrence

1

 

n n

u_ f u pour tout entier naturel n suivant les valeurs de u₀. 31 1°) On considère la fonction f : x  sin 2x.

Tracer la représentation graphique de f.

a) Démontrer que pour tout 0 ; x  4

   on a : ^{f x}

 

⁴^x

 .

b) Démontrer que l’équation ^{f x}

 

^x admet une unique solution dans l’intervalle ]0 ; 1].

c) Déterminer le meilleur encadrement de ^f^'

 

^x ^pour ^{0 ;}

x  4

  

  .

2°) Soit

 

un la suite définie par son premier terme u₀ et la relation de récurrence un_1f u

 

n pour tout entier naturel n.

a) Démontrer que l’on peut restreindre l’étude au cas où u0



0 ; 1



. b) Quelle est la nature de la suite

 

^u_n ^lorsque^u₀⁰ ?

c) On suppose que u0



0 ; 1



.

 Démontrer que tous les termes sont compris dans l’intervalle ; 1 4

 

 

 

à partir d’un certain rang.

Indication : raisonner par l’absurde et utiliser le 1°) a).

 Étudier la convergence de

 

^u_n ^.

32 Pour tout entier naturel n3, on pose

3

cos

n n

k

P

k





  

 



^.

Étudier les propriétés de la suite

 

^P_n ^.

 

un définie par son premier terme u0



0 ;1



et la relation de récurrence

1 0 n

n k

k

u_ u





^.

1°) Déterminer la limite de

 

un .

2°) Démontrer que pour tout entier naturel n, on a : u_n2ⁿ.

34 On considère la fonction f définie sur l’intervalle ^I^{ }



^{2 ;}^{ }



^par^{f x}

 

 ^x². 1°) Démontrer que I est stable par f.

2°) Étudier le signe de ^{f x}

 

^x pour xI.

3°) Étudier les propriétés de la suite

 

un définie par son premier terme u₀I et la relation de récurrence

1

 

n n

u_ f u pour tout entier naturel n suivant les valeurs de u₀.

35 On considère la fonction f : x  lnx x.

1°) Démontrer que f réalise une bijection de l’intervalle ^I^



^{1 ;}^{ }



dans un intervalle J à préciser.

2°) Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, l’équation ^{f x}

 

^ⁿ admet une unique solution dans I.

On note u_n cette solution.

3°) Déterminer le sens de variation de

 

un et sa limite.

4°) Justifier que, pour tout entier naturel n non nul, on a : ^lnun^{ln ln}



un



^lnn. En déduire un équivalent de lnu_n puis un équivalent de u_n lorsque n tend vers + .

36 Soit

 

un une suite réelle telle que pour tout entier k2 la suite extraite



ukn



converge.

La suite

 

un converge-t-elle ?

On pourra considérer la suite

 

u_n définie par u_n1 si n est premier, u_n0 sinon.

37 Soit

 

^u_n une suite réelle. On considère deux applications strictement croissantes ₁ et ₂ de  dans lui- même telles que ₁

 

 ₂

 

 .

Le but de l’exercice est de démontrer que si _{ } _{ }

1 2

lim _n lim _n

n u_ n u_

    



^{ }^



, alors lim _n

n u

  . 1°) On se place dans le cas où   .

Soit  un réel strictement positif.

Il existe deux entiers naturels N₁ et N₂ tels que : nN1  _{ }

1n

u_    et nN₂  _{ }

2n

u_   . On pose Nmax



1



N1



;2



N2

 

.

Démontrer que, si nN, alors u_n  . Conclure.

2°) Traiter de même les autres cas.

38 Pour tout entier naturel n non nul, on pose

2 1

1 2

n n

k

u

n k





 ^. Étudier le comportement à l’infini de u_n.

 

un définie sur ^* par

0

1 !

!

n n

k

u k

n





^.

Étudier la convergence de

 

un . Indications :

1°) Déterminer un minorant de

 

un . 2°) Majorer simplement

0

!

n

k



 ^.

40 1°) Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, il existe un unique réel x_n tel que _n cosxⁿ x  n . 2°) Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, on a : xn



^{0 ;1}



.

 

xn . 4°) Déterminer la limite de

 

xn .

(5)

  

1

1 1

n n

k

u

n k n k



  



^.

 

un . 2°) Démontrer que

 

un est majorée.

Que peut-on en déduire ?

4 1 n n

k

u n

n k





 ^. Déterminer lim _n

n u

  

(encadrer en utilisant un principe grossier).

 

un définie sur  par son premier terme u₀ et la relation de récurrence

1 2

1 1

1

n n

n

u u

 u

  

 .

1°) Déterminer pour quelles valeurs de u₀ la suite

 

^u_n est constante.

2°) On prend u₀ dans l’intervalle



^^{1 ; 0}



^.

a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a : 1 u_n0. Étudier le sens de variation de

 

un .

b) En déduire que

 

un converge et déterminer sa limite.

44 Soit  un réel n’appartenant pas à .

On se propose de démontrer que les suites



^cosn



et



^sinn



divergent.

1°) Démontrer que si cos

n n l

  , alors sin '

n n l

  (considérer ^cos



ⁿ¹



) ; exprimer 'l en fonction de l.

2°) Étudier la réciproque.

3°) Trouver une contradiction.

45 Soit

 

^u_n une suite réelle telle que lim



₂_n



lim



₂_n₁



n u n u _

    



^{ }



^.

Démontrer que lim _n

n u

    .

46 Soit

 

un une suite réelle telle que



u3n



,



u2n



,



u2n_1



convergent.

Le but de l’exercice est de démontrer que

 

^u_n converge.

1°) On note ₁, ₂, ₃ les limites respectives des suites



u_3n



,



u_2n



,



u₂_n_₁



.

 Démontrer   ₁ ₂.

 Démontrer   ₁ ₃. 2°) Conclure.

47 Soit

 

^u_n une suite réelle. Soit

 

^v_n une suite extraite de

 

^u_n ^et



^w_n



une suite extraite de

 

^v_n ^.

Démontrer



w_n



une suite extraite de

 

u_n .

48 Soit

E

l’ensemble des suites numériques

 

^u_n définies sur  telles que, pour tout entier naturel n, on ait :

1 4

n n

u_ u n (1).

1°) Déterminer une suite arithmétique appartenant à

E

^.

2°) En s’inspirant de la méthode de la variation de la constante pour les équations différentielles du premier ordre avec second membre et en utilisant le 1°), déterminer les éléments de

E

^.

49 On considère une suite réelle

 

u_n définie sur  à valeurs dans



0 ; 1 telle que, pour tout entier naturel n,



on ait :

2 1

n n n

u_ u u_ .

Étudier les propriétés de la suite

 

^u_n ^.

 

u_n définie sur  par ses premiers termes u₀a et u₁b où a et b sont deux réels positifs ou nuls ainsi que la relation de récurrence u_n_₂ u_n_₁ u_n pour tout entier naturel n.

On pose mmin 1 ; min

 

a b;

 

.

 

u est définie sur  et est minorée par m. _n

2°) Démontrer que si

 

u_n converge alors elle converge alors elle converge vers 0 ou 4.

Soit

 

^v_n définie sur  par v_n u_n4 .

3°) a) Démontrer que la suite



^Mn



définie par M_nmax



v_n;v_n_1



est décroissante.

b) Démontrer que pour tout entier naturel n, on a : ₂ ¹ 2

n n

n

v v

v

m



 . c) En déduire la nature de la suite

 

u et sa limite éventuelle. n

51 Soit ^a^



^{0 ;1}



. On considère la suite réelle

 

u_n définie sur  par ses deux premiers termes u₀ et u₁ ainsi que par la relation de récurrence u_n_2au_n_1



1a



min 1 ;



u_n



.

1°) Étant donné un entier naturel n, démontrer que u_n_₁1  u_n_₂1. 2°) On suppose dans cette question que : u₁1.

a) Démontrer que, pour tout entier n2, on a : u_nu_n_1



a1



ⁿ^²



u2u1



. La suite

 

u_n est-elle monotone ?

b) En considérant



1



2 n

k k

k

u u_





 , en déduire, pour tout n2, une expression de u_n en fonction de n, a, u₁ et u2.

La suite

 

u_n est-elle convergente ? Si oui, préciser sa limite.

3°) On suppose dans cette question que : u₁1 et u₂1. a) Établir que, pour tout entier naturel n non nul, on a : u_n1. b) Étudier la monotonie de la suite

 

un à partir de l’indice 2.

En déduire que la suite

 

u_n converge et déterminer sa limite.

4°) On suppose dans cette question que : u₁1 et u₂1.

Déduire du 2°) la nature de la suite

 

u et préciser sa limite éventuelle. _n

(6)

52 Le plan

P

est muni d’un repère orthonormé



^{O, ,}^{ }^{i j}



^.

À tout point M(a ; b) de

P

, on fait correspondre les points P et Q projetés orthogonaux de M respectivement sur l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées. Si M est distinct de O, on associe à M le point M ' , projeté

orthogonal de O sur la droite (PQ). Dans le cas où MO, P et Q sont confondus avec O, on associe à M le point M ' tel que M 'O.

Soit  l’application de

P

^dans

P

ainsi définie. On notera ^{M '} 

 

^M . 1°) Déterminer les coordonnées de M ' en fonction de celles de M.

2°) Démontrer que, pour tout point M de

P

^{, on a :}^{OM '} ¹^OM

2 .

3°) Soit



^Mn



la suite ainsi définie : M₀

P

et, pour tout entier naturel n, M_n_1 



M_n



. Déterminer lim M_n

n   . 4°) Déterminer l’image par  :

 d’une droite passant par l’origine ;

 d’une droite parallèle à l’un des axes de coordonnées.

53 Densité de Schnirelmann

Soit A une partie de ^*. On dit que A admet une densité lorsque ^lim ¹^{card A}

 

^{1, 2, ...,}

 

n

n n

    existe et est

finie ; dans ce cas, cette limite est appelée la densité de A et est notée ^d

 

^A ^.

On a : ⁰^^d

 

^A ^¹^.

1°) L’ensemble des carrés parfaits de ^* admet-il une densité ?

2°) Soit

D

l’ensemble des parties de ^* admettant une densité. Démontrer que

D

est stable par passage au complémentaire et par réunion disjointe finie.

On dit que

D

est une classe de Dynkin faible.

3°) Soit

D

₀ l’ensemble des parties de ^* de densité nulle.

a) Démontrer que

D

₀ est stable par réunion finie.

b) Démontrer qu’étant données deux parties A et B de ^* telles que AB, si B

D

₀^{, alors}^A

D

₀^.

54 1°) Pour tout entier naturel non nul N, on note

F

_N l’ensemble des rationnels de l’intervalle [0 ; 1] qui peuvent s’écrire avec un dénominateur inférieur ou égal à N (

F

_N est l’ensemble de Farey d’indice N).

Démontrer que

F

_N est un ensemble fini.

2°) On considère deux suites d’entiers naturels



^p_n



^et

 

^q_n telles que pour tout entier naturel n, on ait

n n

p q et q_n0. On suppose que ⁿ

n

p q

 

 

 

converge vers un nombre irrationnel l.

a) On pose min

N N

r F r l



   .

Démontrer que _N0.

b) Démontrer que, si l’on a : ⁿ _N

n

p l

q    , alors q_nN. En déduire la limite des suites

 

^p_n ^et

 

^q_n ^.

55 Démontrer qu’une suite d’entiers relatifs

 

un converge si et seulement si elle est stationnaire.

Indication : pour démontrer le sens de gauche à droite, on pourra considérer la suite

 

vn définie par

1

n n n

v u_ u .

56 Étudier la convergence des suites

 

un et

 

vn de terme général u_nⁿn et v_nⁿn!. 57 Un triplet (a ; b ; c) d’entiers naturels est appelé triplet de Pythagore si a²b²c². Soit a un entier naturel impair ; on pose

2

2 b a 

  

  et

2

2 c a 

  

 

respectivement la plus grande borne entière inférieure et la plus petite borne entière inférieure de

2

2 a .

1°) Démontrer que a²b²c² (indication : poser a2n1 et exprimer b et c en fonction de n).

2°) Déterminer

2

lim 2 2

a

  

 

 

 

 

soit analytiquement, soit géométriquement en utilisant une figure.

58 1°) Soit k un entier naturel non nul. Démontrer que l’on a :

1 1 d 1

1

k

t

k t k



 ^



^ ; en déduire que l’on a :

 

1 1

ln 1 ln

1 k k

k   k

   .

2°) Pour tout entier naturel n non nul, on pose :

1

1 ln

n n

k

u n

 k





 ^et

^ ^

1

1 ln 1

n n

k

v n

 k





  ^. Démontrer que les suites

 

un et

 

vn sont adjacentes.

59 On rappelle le résultat suivant sur les moyennes de Césaro.

Soit

 

Si a_n_n_ l (



^l^^



^{, alors}^a⁰ ^a¹ ^{... a}ⁿ _n ^l

n ^

  

 .

On considère une suite réelle

 

u_n définie sur  telle que la suite



u2n



est converge vers un réel a et la suite



u2n_1



converge vers un réel b.

Démontrer que la suite

 

Sn définie par

0

1 ⁿ

n k

k

S u

n





converge et déterminer la limite.

60 Soit

 

u_n et

 

vn deux suites réelles telles que n^lim



un vn



⁰

   et n^lim



u vn n



⁰

 

.. Démontrer que

 

u_n et

 

vn convergent et déterminer leurs limites.

(7)

 

u_n définie sur ^* par son premier terme u₁ et la relation de récurrence

1 ⁿ 1

n

u u

  n  pour tout entier naturel n non nul.

1°) On suppose que u₁0 .

Étudier la monotonie de

 

u_n et déterminer sa limite.

2°) On suppose que u₁0 .

Démontrer que pour tout n2, on a : u_nu₁1. Démontrer qu’il existe un entier p1 tel que u_p0. En déduire la limite de

 

un .

62 Soit f la fonction définie sur  par f x

 

xE

 

x .

Soit

 

xn et

 

yn deux suites définie sur  telles que f x

 

n n_ ⁰ et f y

 

n n_ ⁰. 1°) Donner un exemple de suites non constantes

 

xn et

 

yn vérifiant les hypothèses.

2°) Démontrer que f x



nyn



n_ ⁰ et f x



nyn



n_ ⁰.

63 Partie A

Soit f la fonction définie sur  par

 

₂¹ ¹

1 f x x

x

  

 . 1°) Étudier la fonction f.

En déduire ^f

 

^ ^,^f







, ^f

 

^^{1 ; 0}

 

^,^f

 

^{  }^{; 1}

 

^.

2°) Étudier le signe de la fonction g définie par g x

 

f x

 

x. Partie B

 

un définie sur  par son premier terme u₀ et la relation de récurrence u_n_₁f u

 

_n . 1°) Quel est le sens de variation de la suite

 

un ?

2°) Pour quelle valeur de u₀ la suite

 

^u_n est-elle constante ? 3°) On suppose désormais que la suite

 

un n’est pas constante.

Étudier la convergence de

 

un suivant les valeurs de u₀. Lorsque

 

un converge, on explicitera sa limite.

64 Partie A

Soit f la fonction définie sur  par ^{f x}

 

^^x²^^x^.

Déterminer ^f

 

^{0 ;}^{ }

 

^,^f

 

^^{1 ; 0}

 

^,^f

 

^{  }^{; 1}

 

^.

Partie B

 

un définie sur  par son premier terme u₀ et la relation de récurrence ^u_n_₁ ^{f u}

 

_n . 1°) Étudier le sens de variation de la suite

 

un .

2°) À quelle condition nécessaire et suffisante portant sur u₀ la suite

 

un est-elle constante ? 3°) On suppose désormais que la suite

 

un n’est pas constante.

Déterminer la limite de

 

un suivant les valeurs de u₀. Partie C

Faire une étude similaire pour la suite

 

^v_n définie sur  par son premier terme v₀ et la relation de récurrence

2 1

n n n

v_ v v .

65 Pour tout entier naturel n, on pose :

0

1 C

n

n n

k k

u





^.

1°) a) Démontrer que l’application f :



^{0 ;}ⁿ



^^ est croissante sur 0 ; E 2

n

 

 

 

 

  et décroissante sur kC^k_n

E ;

2 n n

 

 

 

 

 

 .

b) À l’aide d’un encadrement, déterminer la limite de

 

un .

2°) Démontrer que

 

un est monotone à partir d’un certain rang (étudier u₀, u₁, u₂, u₃, u₄).

3°) Démontrer que pour tout entier naturel n, on a :

 

1

1 2

2 1

n n

u n u

 n

  

 . Retrouver la limite de

 

un .

66 Partie A

Soit f la fonction définie sur



^{0 ;}^{ }



^par^{f x}

 

 ^x^ln^x si x0 et ^f

 

⁰ ⁰. 1°) Étudier les variations de la fonction f.

En déduire 1

0 ;e f 

 

 

, 1

e;1 f 

 

 

, ^f

 

^{1 ;}^{ }

 

^.

2°) Étudier le signe de la fonction g définie par ^{g x}

 

^^{f x}

 

^^x^.

Partie B

 

un définie sur  par son premier terme u₀ (u₀ étant un réel positif ou nul) et la relation de récurrence un_1f u

 

n .

 

un est bien définie sur .

2°) Pour quelle valeur de u₀ la suite

 

^u_n est-elle stationnaire ?