Exercices sur les suites (révisions et compléments)

TS Exercices sur les suites (révisions et compléments)

1 On considère la suite

 

un définie sur paru_n n cosn. Étudier le sens de variation de

 

un par étude de fonction.

Indication : On commencera par définir « la » fonctionf définie sur telle que pour tout entier natureln on ait

 

un f n puis on étudiera le sens de variation defsur sans faire le tableau de variations.

On admettra que la fonction x cos x est dérivable sur et que sa dérivée est la fonction x – sin x.

On retient ce résultat sous la forme :



^cosx



^{'– sinx.}

On peut avoir une idée en calculant les termes grâce à la calculatrice.

2 On considère la suite

 

un définie sur par son premier termeu₀ et la relation de récurrence

 

² 1

1  

 n n

n u u

u .

Étudier le sens de variation de

 

un par différence.

Calculer les premiers termes en utilisant la touche Ans pour plusieurs valeurs de u0.

3 Soit

 

un une suite définie sur à termes positifs ou nuls^* (c’est-à-dire dont tous les termes sont positifs ou nuls).

Pour tout entier natureln, on pose

n n

n u

v u

 

1 .

Démontrer que, pour tout entier natureln, on a

 

1



1

1 1 1 

 





 



n n

n n n

n u u

u v u

v .

Démontrer que si

 

un est croissante, alors

 

vn est croissante.

Démontrer que si

 

vn est croissante, alors

 

un est croissante.

* La suite

 

un est à termes positifs ou nuls signifie que ( n u_n0).

4 Pour tout entier natureln, on pose

2 2 2 2

1 ...

7 7 7

n

Sn           .

Donner une expression simplifiée deS_n sous forme factorisée ; en déduire que la suite

 

Sn est majorée.

5 Soit

 

un une suite arithmétique définie sur telle queu₃2 etu₇14. 1°) Calculer son premier termeu₀ et sa raisonr.

2°) Exprimeru_n en fonction den.

3°) Calculer la somme Su₄u₅ ... u₂₅.

6 Soit

 

un une suite géométrique monotone définie sur telle queu₄1 etu₆9. 1°) Calculer son premier termeu0 et sa raisonq.

2°) Exprimeru_n en fonction den.

3°) Calculer la somme Su₄  u₅ ... u₁₄.

7 On considère la suite

 

un définie sur par son premier termeu₀6 et la relation de récurrence 3

1 3 2

1 

 n

n u

u .

1°) Dans le plan muni d’un repère orthonormé



^{O, , i j}



, tracer les droites etD d’équations réduites respectives yx et 2 1

3 3

y x . On prendra 1,5 cm pour unité graphique.

Placer alors les points d’abscisses respectivesu₀,u₁,u₂,u₃,u₄ (sans faire les calculs).

On laissera apparentes les constructions.

2°) Pour tout entier natureln, on posev_nu_n1. a) Démontrer que la suite

 

vn est géométrique.

b) Exprimer alorsv_n puisu_n en fonction den.

On peut rentrer les suitesu etv dans la calculatrice.

8 On considère la suite

 

un définie sur par son premier terme 3 1

0

u et la relation de récurrence

1

13 

 n

n

n u

u u .

1°) Justifier par un raisonnement « de proche en proche », sans faire de calcul, que pour tout entier natureln on a :u_n0.

Remarque : Ce raisonnement sera mis en forme de manière satisfaisante grâce au raisonnement par récurrence que l’on étudiera plus tard. Il ne s’agit ici que d’une justification intuitive. On s’efforcera de comprendre l’«

effet domino » sous-jacent.

2°) Étudier le sens de variation de la suite

 

un par différence.

3°) Pour tout entier natureln, on pose

n

n u

v  1 . a) Démontrer que la suite

 

vn est arithmétique.

b) Exprimer v_n puisu_n en fonction den.

9 On considère la suite

 

un définie sur par son premier termeu₀ 1 et la relation de récurrence

1

9

n 6

n

u^  u

 pour tout entier natureln.

Pour tout entier natureln, on pose 1

n 3

n

v u

 (on admettra que, pour tout entier natureln, on a :u_n3).

1°) Calculer v₀.

2°) Exprimerv_n1 en fonction deu_n (en factorisant le dénominateur).

Calculer v_n1v_n ; en déduire que la suite

 

vn est arithmétique.

3°) a) Exprimer v_n en fonction den.

b) Exprimer u_n en fonction dev_n ; en déduireu_n en fonction den (sous la forme d’un seul quotient).

10 On considère la suite

 

un définie sur par son premier termeu₀1 et la relation de récurrence

1

3 1

2

n n

n

u u

  u pour tout entier natureln.

Pour tout entier natureln, on pose 2 1 1

n n

n

v u u

 

 (on admettra que, pour tout entier natureln, on au_n 1).

1°) Calculerv₀.

2°) Démontrer que la suite

 

vn est géométrique.

3°) Exprimerv_n en fonction den.

4°) Exprimeru_n en fonction dev_n ; en déduireu_n en fonction den (sous la forme d’un seul quotient).

11 Soit

 

un la suite arithmétique définie sur^* de premier termeu₁ 2 et de raisonr3. Calculer la somme S u₁ u₂ ... u₂₀ (on peut écrire

20

1 k

k k

S u









^).

12 Soit

 

un la suite arithmétique définie sur de premier termeu₀ 3 et de raisonr 2. Calculer la somme Su₂₅u₂₆ ... u₁₂₅ (on peut écrire

125

25 k

k k

S u









^).

13 Soit

 

un la suite géométrique définie sur^* de premier termeu₁ 2 et de raisonq3. 1°) Exprimeru_n en fonction den.

2°) Calculer la somme S   u₁ u₂ ... u₇. On peut écrire :

7

1 k

k k

S u









^.

14 Calculer la somme A 1 3 5   47.

(On admet que les termes de la somme sont construits suivant un principe logique simple).

15 Calculer la sommeB 1, 05 1, 05  ² ... 1,05¹⁰.

16 Calculer la somme de tous les entiers naturels pairs jusqu’à mille.

17 Soit

 

un la suite définie sur paru_n2ⁿ2^n1. Déterminer la nature de la suite

 

un .

18 Soit

 

un la suite définie sur par son premier termeu₀5 et la relation de récurrence ₁ 1

n n 4 n

u_ u  u . Déterminer la nature de la suite

 

un .

19 Pour tout entier natureln1, on pose 1 1 1 1

...

1 2 2 3 3 4 1

Sn

n n

    

     .

On peut écrire

1

1 1

k n n

k

S

k k









  ^. Déterminer une expression simplifiée de S_n.

20 Pour tout entier natureln1, on pose

1

1

k n n

k

S k









^.

Deux remarques :

1. La suite

 

Sn n’est pas définie en mode explicite.

2. On ne cherchera pas d’expression explicite de S_n en fonction den (car il n’en existe pas).

Si on désigne par

 

un la suite définie sur^* par 1 un

n, S_n est la somme desn premiers termes de la suite

 

un (ou des termes d’indices 1 àn de cette suite) .

Comme la suite

 

un n’est ni arithmétique ni géométrique, il n’existe pas de formule sommatoire pour S_n c’est-à-dire qu’il n’est pas possible de réduire la sommeS_n. On ne peut pas trouver de formule explicite deS_n en fonction den.

1°) Calculer S₁, S₂, S₃ « à la main ».

2°) Calculer S₅₀ et S₁₀₀ à l’aide de la calculatrice.

3°) Étudier le sens de variation de la suite

 

Sn . 21 Situations concrètes

En 2020, une petite ville compte 10000 habitants.

Pour tout entier natureln, on note u_n la population en milliers l’année 2020n selon l’hypothèse considérée dans chaque question. On a doncu₀10.

1°) Dans cette question, on suppose que chaque année, la ville gagne 100 habitants.

Exprimeru_n1 en fonction deu_n. Quelle est la nature de

 

un dans ce cas ?

2°) Dans cette question, on suppose que chaque année, la population augmente de 5 %.

Exprimeru_n1 en fonction deu_n. Quelle est la nature de

 

un dans ce cas ?

3°) Dans cette question, on suppose que chaque année, 2 % des habitants migrent vers une grande ville mais que 50 nouveaux habitants arrivent.

Exprimeru_n1 en fonction deu_n. Quelle est la nature de

 

u_n dans ce cas ?

22 La suite

 

un définie par son premier termeu₀e et la relation de récurrenceu_n1lnu_n est-elle définie sur ?

23 Méthode de dichotomie et suites

On considère la fonctionf :xx³x²1 définie sur.

Observer la représentation graphique def sur l’écran de la calculatrice.

On admet quef est strictement décroissante sur l’intervalle

 

1 ; 2 et que l’équation ^{f x}

 

⁰ admet une unique solution dans cet intervalle, que l’on notera et dont on ne cherchera pas à déterminer la valeur exacte.

On définit alors deux suites

 

un et

 

vn :

0 0

1 2 u v

 

 

 n 

2

n n

n

u v

c 



 n 

 

 

1 1

si 0

si 0

n n n

n n n

u c f c

u u f c





 

 

 

 n 

 

 

1 1

si 0

si 0

n n n

n n n

v v f c

v c f c





 

 

 

Par construction des suites, n  u_n  v_n.

On ne cherchera pas à exprimeru_n et v_n en fonction den.

En s’aidant éventuellement de la calculatrice, recopier et compléter le tableau suivant avec des valeurs décimales éventuellement arrondies au millième pour f c

 

_n .

n u_n v_n c_n f c

 

n Signe de f c

 

n

0 1 2 1,5 – 0,125 –

1 1 1,5

2 3 4 5

Rédiger un algorithme en langage naturel (pseudo code) puis un programme Python permettant de calculer les termes des suites.

24 On considère la suite

 

un définie sur par son premier termeu₀ et la relation de récurrence

 

³

1 3

n n n

u_  u  u pour tout entier natureln.

Déterminer les valeurs deu₀ pour lesquelles la suite

 

un est constante.

25 Dans chaque cas, calculer les premiers termes de la suite puis proposer une formule explicite de u_n en fonction den.

1^er cas :

 

un est la suite définie sur par son premier termeu₀3 et la relation de récurrenceun_1

 

un ²

pour tout entier natureln.

2^e cas :

 

un est la suite définie sur^* de premier termeu₁1 et la relation de récurrence _n1 uⁿ

u^  n pour tout entier natureln1.

26 Dans chaque cas, déterminer la nature de la suite

 

un définie définie par le terme général.

1^er cas :un 

 

¹ⁿ^23n1 2^e cas :un 

 

¹ⁿ^32n1 3^e cas :u_ne^3n1

27 Soit

 

un la suite définie sur définie paru_n3ⁿ1. Pour tout entier natureln, on pose S_nu₀  u₁ ... u_n. Déterminer une expression simplifiée de S_n en fonction den.

28 Pour tout entier natureln, on pose ^{2 1}

0

3

k n k n

k

S











^.

Déterminer une expression simplifiée de S_n en fonction den.

Le 21 octobre 2021

Rajouter deux exercices sur des expressions simplifiées de S_n en fonction den, l’un pour une suite arithmétique, l’autre pour une suite géométrique. Proposé dans le 4 .

Il faut penser à tester les formules.

Corrigé

1 La suite

 

un est croissante à partir de l’indice 0.

Solution détaillée :

 

un : suite définie sur paru_n n cosn

Déterminons le sens de variation de

 

un .

La suite

 

un est définie en mode explicite (on a l’expression du terme général en fonction de n).

La fonction f associée à la suite (telle que  n  un f n

 

) permet d’étudier le sens de variation de la suite.

Considérons la fonctionf définie sur par ^{f x}

 

^{ x cosx.}

Ou

Considérons la fonctionf :xxcosx. On a : n  un f n

 

.

f est dérivable sur carf est la somme de deux fonctions dérivables sur.

 x ^f'

 

^{x  1 sinx}

Or x  sin x1 d’où x  1 sin  x0. Donc x ^f'

 

^{x 0.}

On en déduit quef est croissante sur. Par conséquent, la suite

 

un est croissante à partir de l’indice 0.

N.B. : La méthode par différence est plus compliquée. Il est préférable de passer par une fonction.

Pas de tableau de variation def à cause de la ligne du signe de ^f'

 

^x (il y aurait une infinité de 0 sur cette ligne).

On peut cependant faire le tableau de variation def sans écrire la ligne du signe de ^f'

 

^{x .}

x – + Variation def

La fonctionf est bien strictement croissante sur (car sa dérivée s’annule en des points isolés) et par conséquent, la suite

 

u_n est strictement croissante.

Autre méthode :

On utilise la méthode par différence, plus compliquée à mettre en œuvre ici.

 

1 1 cos 1 cos

n n

u_ u   n  n

1

2 1 1

1 2 sin sin

2 2

n n

u_ u   n (formule de trigonométrie : cos cos 2 sin sin

2 2

p q p q

p q      ) On procède par inégalités successives.

2 1

sin 1

– 1 2

n 



2 sin1 2

 

   (or 1

sin 0

2 car ¹

 

0 ;

2  d’où 1

2sin 0

 2 )

1 2 1 1

2 sin sin

2 sin1 2 sin

2 2 2

2

n

  



+ 1

1 2 1 1

1 2 sin sin 1 2 s

1 2 sin1

2 in

2 2 2

n

  

  

 n  ₁ 1

1 2 sin

n n 2

u_ u   .

Avec la calculatrice (mode radian), on obtient : 1 0, 9588

1 2 sin 510 ..

2 77.

  donc 1

1 2 sin 0

 2 .

Donc 2 1 1

1 2 sin sin 0

2 2

n

  .

Par suite,  n u_n1u_n0.

On en déduit que la suite

 

un est strictement croissante à partir de l’indice 0.

2 La suite

 

u_n est croissante à partir de l’indice 0.

Solution détaillée :

 

un : suite définie sur par son premier terme u et la relation de récurrence₀ u_n1

 

u_n ²u_n1 Déterminons le sens de variation de

 

un .

La suite

 

un est définie en mode récurrent.

Pour trouver le sens de variation, on utilise la technique usuelle de différence.

On utilise la méthode par différence (méthode que l’on utilise le plus souvent ; ici seule méthode possible).

 n u_n1u_n

 

u_n ²  u_n 1 u_n

 

un ^{2 2}un ¹

  



un ¹



²

 

 n



un¹



²⁰ (un carré est toujours positif ou nul)

Donc n  u_n1u_n0 soitu_n1u_n donc la suite

 

un est croissante à partir de l’indice 0.

3 Solution détaillée :

 

un : suite définie sur à termes positifs ou nuls

 n 1

n n

n

v u

 u

 Démontrons que n 

 

¹



1

1 1 1

n n

n n

n n

u u

v v

u u

 



  

  .

 n ₁ ¹

1 1 1

n n

n n

n n

u u

v v

u u







  

 

   

  

1 1

1

1 1

1 1

n n n n

n n

u u u u

u u

 



  

  

1 1

n n n

u_ u u_

 uⁿu u^{n n}_¹



1u_n1



1u_n





1 ¹1



1



n n

n n

u u

u u





 

 

Démontrons que si

 

un est croissante, alors

 

vn est croissante.

Démontrons que si

 

vn est croissante, alors

 

un est croissante.

La suite

 

un est à termes positifs ou nuls signifie que ( n  u_n0).

La suite

 

un est à termes positifs ou nuls donc n 



1u_n1



1u_n



0. Le signe dev_n1v_n est donc le même que celui de u_n1u_n.

 Si

 

un est croissante, alors n  u_n1u_n0. Donc n  v_n1v_n0.

On en déduit que la suite

 

vn est croissante.

 Si

 

vn est croissante, alors  n v_n1v_n0. Donc n  u_n1u_n0.

On en déduit que la suite

 

un est croissante.

Remarque : On a démontré que :

· Si

 

un est croissante, alors la suite

 

vn est croissante.

· Si

 

u_n est décroissante, alors la suite

 

v_n est décroissante.

Du coup, par « disjonction de cas », on en déduit l’équivalence logique :

«

 

un est croissante si et seulement si

 

vn est croissante. »

«

 

un croissanteÛ

 

vn croissante. » 4 Solution détaillée :

2 2 2 2

1 ...

7 7 7

n

Sn          

Donnons une expression simplifiée de S ._n

Le terme général de la suite

 

Sn est défini par une somme.

Remarque : À la base, S_n est une somme définie en extension (présence des trois petits points).

On pourrait aussi écrire S_n à l’aide du symbole. Ce serait plus clair (et plus rigoureux).

0

2 7

k n k

k

Sn





  





  L’écritureest plus rigoureuse qu’avec les petits points.

L’objectif de l’exercice est d’obtenir une formule sommatoire (c’est-à-dire une formule réduite) de S_n. 1^ère méthode :

On applique uneformule sommatoire du cours (permettant la réduction de la somme).

Pourq1, on a :

1

2 1

1 1

n

n q

q q ... q q

 

    

 . On applique cette formule avec 2

q7 (qui est bien différent de 1).

1 1

1

2 2

1 1

7 2

7 7

2 5 5 1 7

1 7 7

n n

n

Sn

 

    

         

         

(réduction de la somme)

On dit que l’on a réduit la somme.

Il est important de tester la formule pour n=0 et n=1.

2^e méthode :

On applique laformule sommatoire pour la somme des termes consécutifs d’une suite géométrique.

Soit

 

un la suite géométrique de premier termeu₀1 et de raison 2 q7.

 n u_n u₀ qⁿ soit n  2 7

n

un   

  .

On effectue une réécriture de la somme (à l’aide de la suite) :S_nu₀  u₁ ... u_n (étape fondamentale).

nombre de termes 0

1

n 1 S u q

q

  

 2 1

1 7

1 2

1 7

n

n

S

 

  

   

 2 1

1 7

5 7

n

Sn

 

   



7 2 1

5 1 7

n

n

S

  

      

(Pour calculer le nombre de termes de la somme, on effectue le calcul :n   0 1 n 1 selon la formule (dernier indice) – (premier indice) + 1.)

On a donc

7 2 1

1

5 7

n

Sn

  

     .

Déduisons-en que la suite

 

Sn est majorée.

On se réfère à la définition :

Il s’agit de démontrer que tous les termes de la suite

 

Sn sont inférieurs ou égaux à un nombre M (fixe, qui ne dépend pas den).

On ne peut pas le démontrer à partir de l’expression de base.

Pour la majoration, on prend l’expression simplifiée.

 n 2 1

7 0

 n 

   donc n 2 1

7 0

 n

    d’où  n 2 1

1 1

7

 n

    donc

 n

7 2 1 7

5 1 7 5

  n

      .

On en déduit que n 7

n 5 S  .

Donc la suite

 

Sn est majorée par 7 5. On peut aussi dire que 7

5 est un majorant de la suite

 

Sn . Quelques commentaires :

 Pour démontrer que la suite est majorée, nous n’avons pas parlé de limite (à priori, la notion de majorant n’est pas directement reliée à la notion de limite).

 On ne parle pas de maximum. En effet, nous avons démontré que tous les termes de la suite sont strictement inférieurs à 7

5. Par conséquent, le nombre 7

5 n’est jamais atteint.

Aucun terme de la suite n’est égal à 7 5.

 Tous les nombres supérieurs ou égaux à 7

5 sont aussi des majorants de la suite.

Cependant, 7

5 est le plus petit des majorants. Nous verrons plus tard que c’est également la limite de la suite.

 On a démontré que tous les termes de la suite sont strictement inférieurs à 7

5. Or dans la définition d’un majorant, l’inégalité est large. Ça n’est pas gênant : nous savons qu’une inégalité stricte entraîne une inégalité large (la réciproque est fausse).

 On n’aurait pas pu démontrer que la suite est majorée en partant de l’égalité de définition de S_n comme somme. On était obligé d’utiliser la forme réduite de la somme.

5 1°) u₀ 7 etr3 ; 2°) n  u_n3n7 ; 3°) _{4 5 25}

25 4 1 22 termes

...

S u u u

  

   ; S803 Solution détaillée :

 

un : suite arithmétique définie sur telle que u₃2 et u₇14

1°)Calculons son premier terme u et sa raison r.₀

Comme

 

un est une suite arithmétique, ^



^{n p,}



^2 unup



np



r. En particulier,u₇u₃4r donc 14 2 4r soit 4r12 d’où r3. Doncu₀u₃3r

0 2 9– u 

0 –7

u 

2°)Exprimons u en fonction de n._n Il y a deux méthodes possibles.

 n  u_nu₀nr

 n  u_n   7 3 n

 n  u_n3n7

 n  u_nu₃



n 3



r

 n  un ²



n ³



³

 n  u_n3n7

Il est important de tester la formule pourn0 etn1.

3°)Calculons la somme _{4 5 25} 25 4 1 22 termes

...

S u u u

  

    .

On a : 22 ^{4 25}

2 u u

S   .

Oru₄12 – 75 etu₂₅75 – 768. Donc :

22 5 68 S  2

22 73 S 2

11 73 S 

803 S

6 1°) q3 (utiliser

 

un est monotone doncq0) ; ₀

4

1 1

3 81

u   ; 2°) n  u_n3^n4 ; 3°) S88 573. Solution détaillée :

 

un : suite géométrique monotone définie sur telle queu₄1 etu₆9

1°)Calculons le premier terme u et la raison q de la suite₀

 

un .

On au₆u₄q^{6 4} (formuleu_nu_pq^{n p} ) donc9 1 q² soit q²9 d’oùq3 ouq– 3. Or

 

un est monotone donc q0 (en effet, une suite géométrique dont le premier terme n’est pas nul est monotone si et seulement si sa raison est positive ou nulle) d’où q3.

Rappel de définition :

On dit qu’une suite estmonotone pour exprimer qu’elle est soit croissante soit décroissante.

La définition s’adapte au cas d’une suite strictement monotone.

On notera qu’une suite constante est une suite monotone.

On notera que la définition d’une suite monotone est la même que celle d’une fonction monotone sur les intervalles.

On en déduit que n u_nu₀3ⁿ.

En particulier, pour n4, on obtient u₄u₀3⁴ d’où ₀ ⁴ 34

u u soit ₀ 1 u 81.

Remarque :

On peut préciser la monotonie de la suite

 

^u_n dès le début caru₄1 etu₆9 par hypothèse.

On a :u₄u₉ donc la suite

 

un est strictement croissante.

On peut aussi le voir à la fin de l’exercice en distant queu₀0 etq1.

2°)Exprimons u en fonction de n._n

 n  u_nu₀qⁿ

 n  1 81 3

n

u   n

 n  1₄ 3 3

n

un 

 n  u_n3^n4

3°)Calculons la somme Su₄u₅ ... u₁₄.

On peut écrire

14

4 k

k k

S u









^.

1^ère méthode :

On calcule tous les termes. On fait la somme.

2^e méthode :

On utilise la commande de calcul de somme de la calculatrice.

Calculatrice NUMWORKS :

· Aller dans la boîte à outils (touche en haut à droite).

· Aller dans calculs.

· Aller dans sum(f(n),n,nmin,nmax) somme.

· Appuyer sur « OK ».

14 4 4

3ⁿ

n







3^e méthode :

On utilise la formule du cours donnant la somme des termes consécutifs d’une suite géométrique.

bien moins bien

4 5 14

Su   u ... u

11 4

1 1 q S u q 

 311 1

1 3 1

S  

 177 146 S 2

88 573 S

4 5 14

Su   u ... u

11 4

1 u 1

S q

q

  

 1 311

1 1 3

S  

 177 146 S 2

 88 573 S

7

 

un 0

1

6

2 1

3 3

n n

u

n u_ u

 



   

 

Il s’agit d’une suite arithmético-géométrique c’est-à-dire admettant une relation de récurrence du type

1

n n

u_ au b.

Il s’agit de l’étude guidée d’une suite homographique : passage du mode récurrent au mode explicite au moyen d’une suite auxiliaire.

1°)Représentation graphique

La fonction associée à la suite est la fonctionf :x2 1 3x3. On a n  un_1 f u

 

n .

Commef est une fonction affine, sa représentation graphique est la droiteD d’équation 2 1

3 3

y x . On trace cette droite en prenant deux points (par exemple les points A de coordonnées (1 ; 1) et B de coordonnées (4 ; 3) qui ont l’avantage d’être à coordonnées entières).

On trace également la droite d’équation yx. On trace les droites : yx etD : 2 1

3 3

y x (droite qui représente la fonctionf :x 2 1

3x3 associée à la suite).

On applique le procédé de construction classique.

O



D

i j

 On n’écrit pas les valeurs de u₀,u₁,u₂ sur l’axe des abscisses. On peut éventuellement mettre la valeur de u0.

 On peut écrire les équations réduites de etD sur le graphique (au moins celle de qui est importante).

 On peut faire apparaître la construction sur l’écran de la calculatrice.

 Par calcul, on obtient : ₁ 13 u  3 , ₂ 29

u  9 , ₃ 67

u 27, ₄ 161 u  81. On a deux valeurs deu₁ (ce sont les mêmes).

Seules les valeurs sur l’axe des abscisses sont intéressantes.

2°) La suite

 

un est arithmético-géométrique. L’énoncé va nous guider pour trouver l’expression explicite de un. Pour cela, on utilise une suite auxiliaire.

 n  v_nu_n1

a)Démontrons que la suite

 

vn est géométrique.

Méthode :

On exprime v_n1 en fonction dev_n. On travaille en littéral.

u3 u₂ u₁ u₀

u1

u2

u3

 n v_n1u_n11

2 1

3uⁿ 3 1

 

  

2 1

3uⁿ 3 1

  

2 2

3uⁿ 3

 

 

2 1

3 uⁿ

 

2 3vⁿ



On en déduit que la suite

 

vn est une suite géométrique de raison 2 q3. Le premier terme est égal àv₀u₀ 1 5.

0 5

v 

Mauvaise démarche :

0 0 1 5

v u  

1

2 1 1 13

6 4

3 3 3 3

u       donc ₁ 13 13 3 10

3 1 3 3 3

v     

On calcule ¹

0

10 3 2

5 3

v

v   .

La suite

 

vn est donc géométrique de raison 2 q3.

On peut aussi fairev_n en fonction dev_n1 (un peu moins logique).

b)Exprimonsv puis_n u en fonction de n._n

 n v_n v₀ qⁿ

 n 2

5 3

n

vn  

  



parenthèses obligatoires

 n u_nv_n1

 n 2

5 1

3

n

un  

  

  

 On peut vérifier que cette formule marche pour le calcul des premiers termesu₀,u₁,u₂,u₃. On dit que l’on teste la formule.

 L’une des difficultés de la question 2°) b) est d’arriver à mettre « en connexion » toutes les formules.

Il est à noter qu’un logiciel de calcul formel tel que XCas peut permettre d’obtenir directement le terme général d’une suite arithmético-géométrique.

8

 

un 0

1

1 3

3 1

n n

n

u

n u u

 u

 



  

  

La suite

 

un est définie par récurrence (pourquoi ?).

Il s’agit de l’étude guidée d’une suite homographique : passage du mode récurrent au mode explicite au moyen d’une suite auxiliaire.

1°)Justifions par un raisonnement « de proche en proche » que pour tout entier naturel n on a : u_n0. Il s’agit de démontrer que la suite

 

u_n est à termes strictement positifs.

Version 19-10-2021 en T1 :

On démontre que le fait qu’ un terme soit positif entraîne que le suivant l’est également (vu l’expression de

1

un_ en fonction deu_n, très simple).

Comme ₀ 1

u 3 par hypothèse (hypothèse en mathématiques = donnée), on au₀0 et on peut en déduire que tous les termes sont positifs.

On peut s’intéresser à une autre propriété :u_n. Cette propriété est vraie pour tout entier natureln.

On la démontre par un raisonnement de proche en proche.

Autre version du même jour (en T6-T7) :

Pour notre suite (pas vrai pour toutes le suites), la propriété de « positivité » des termes se transmet d’un indice au suivant. On démontre ce résultat en utilisant la relation ₁

3 1

k k

k

u u

  u

 , sans faire de calcul.

Comme elle est vraie « au départ » (puisqueu₀0), elle est vraie à tous les indices.

La propriété de positivité est vraie pour tous les termes.

Siu_k 0, alorsu_k10 d’après l’expression ₁

3 1

k k

k

u u

  u

 (il s’agit d’un « signe évident »).

Le 19-10-2021

Ces propriétés peuvent se démontrer assez facilement en introduisant la fonctionf :x

3 1

x x . Il s’agit de la fonction associée à la suite.

La fonctionf possède la propriété suivante de conservation de la positivité :x0 Þ ^{f x}

 

⁰. La fonctionf possède la propriété suivante de conservation de la rationalité :x Þ f x

 

. Ces propriétés sont quasiment évidentes en utilisant l’expression def.

---

Pour cela, on va démontrer que la phrase «u_n0 » (il s’agit d’une phrase ouverte) est vraie pour n0 et qu’elle esthéréditaire outransmissible.

Tout d’abord, on au₀0 de manière évidente.

0 1

3 0 1 u u

 u

 doncu₁0 (sans faire de calcul).

1 2

31 1 u u

 u

 doncu₂0.

On montre aisément que la propriété passe d’un indice au suivant.

Si pour un entier naturelk, on a :u_k0, alors comme ₁

3 1

k k

k

u u

  u

 , on a :u_k10. Donc si la propriété est vraie pour un indicek, alors elle vraie pour l’indice suivant k1. On a donc démontré que la propriété de positivité est héréditaire ou transmissible.

Le « passage du fini à l’infini » (selon la formule célèbre du mathématicien Poincaré) sera justifié plus tard avec un nouveau type de raisonnement appelé« raisonnement par récurrence ».

On retiendra que le raisonnement s’organise en deux grandes parties (outre l’introduction et la conclusion).

2°)Déterminons le sens de variation de la suite

 

un . On utilise la méthode par différence.

 n ₁

3 1

n

n n n

n

u u u u

   u 





^{3 1}



3 1

n n n

n

u u u

u

 

 

3 2

3 1

n n

u

  u

 (Il faut absolument aboutir à cette forme simplifiée pour pouvoir conclure).

On analyse le signe du quotient obtenu.

Or

3 2 0

3 1 0 car on a démontré dans la question précédente que 0 pour tout

n

n n

u

u u n



  

    

donc n  u_n1u_n0 D’où n  u_n1u_n.

On en déduit quela suite

 

un est strictement décroissante à partir de l’indice 0.

Quelques commentaires :

 Pour étudier le sens de variation de la suite

 

un , on ne peut pas seulement étudier le signe de la différence

1 0

u u . En effet, ce serait « local », comme me l’a dit Baptiste Salaun le mercredi 18-9-2013, jour où nous avons corrigé les exercices en classe.

Ça n’aurait rien de général.

 On pourrait aussi utiliser la méthode par quotient car on a démontré que tous les termes de la suite sont strictement positifs.

 Une présentation possible au brouillon pour analyser le signe est la suivante :

 

3 2

3 1

n n

u u

 

 

On évitera cependant d’adopter cette présentation dans une version rédigée au propre.

3°)  n 

n

n u

v  1

a)Démontrons que la suite

 

vn est arithmétique.

 n  ₁

1

1

n n

v^ u_ (on remarquera la répercussion du changement d’indice suru àv : c’est la notion de variable muette)

1

3 1

n n

u u



 3 _n 1

n

u u

 

3 _n 1

n n

u

u u

 

3 1 un

 

 3 v_n

On en déduit que

 

vn est une suite arithmétique de premier termev₀3 et de raisonr3. b)Exprimons v puis_n u en fonction de n._n

On a : n  v_nv₀nr soit n  v_n3n3. On a : n  1

n n

u v donc n  1

3 3

un

 n

 .

On teste la formule obtenue pour n0 (calcul mental).

9

 

un 0

1

1

9

n 6

n

u

n u

 u

  

  

 

 

 n 1

n 3

n

v u

 (on admet que n  u_n3)

Il s’agit de l’étude guidée d’une suite homographique (passage du mode récurrent au mode explicite).

1°)Calculonsv .₀

0

1 v  1 3

 

0

1 v  4 2°)

Exprimonsv_n1 en fonction deu ._n

1 1

1

n 3

n

v^ u

 

1

1

9 3

6

n

n

v

u

 

 

 

1

1 9 3 6 6

n

n n

v u

u

 

 



1

1

3 9

6

n n

n

u u v_  



1

6

3 9

n n

n

v u

 u

 



 

1

6

3 3

n n

n

v u

 u

 



Calculonsv_n1v_n.

 n 

 

1

6 1

3 3 3

n

n n

n n

v v u

u u



   

  .

 

6 3

3 3

n n

u u

  





³



3 3

n n

u u

 





un ³



 

 

3 u_n3 (simplification) 1

 3

À propos de la simplification : écrit le 20-10-2021 3x est l’opposé de x3



3

 

³



3 3

x x x

 

 

 ³



^x³



1

3

Déduisons-en que la suite

 

vn est arithmétique.

On a démontré que n  ₁ 1

n n 3

v_   v (la différence est un nombre fixe qui ne dépend pas den) donc la suite

 

v_n est arithmétique de raison 1

r 3.

Point-méthode :

On retiendra le point suivant pour démontrer qu’une suite est arithmétique.

On utilise une méthode de différence.

3°)

a)Exprimonsv en fonction de n._n

 n  1

4 3

n

v   n (formule donnant le terme explicite d’une suite arithmétique :v_n v₀ nr)

b)Exprimons u en fonction de n._n

On a 1

n 3

n

v u

 donc 1

n 3

n

u  v d’où 1

n 3

n

u v  .