Correction des exercices sur les suites
I Vrai ou faux ?
1. Si une suite n’est pas majorée, alors elle tend vers+∞.
FAUX : Soit une suite (un) non majorée. Pour tout A>0, il existe un termeuntel queun>A. Pour que la suite tende vers+∞, il faudrait que tousles termes de la suite soient supérieurs àA à partir d’un certain rang.
Contre-exemple : un=(−1)n×n ; pour tout A>0, il existe un terme de la suite (de rang pair) supérieur A, mais comme la suite change alter- nativement de signe, elle ne peut tendre vers +∞.
2. Si une suite n’est pas minorée alors elle tend vers−∞.
FAUX: même contre-exemple
3. Si une suite est strictement croissante alors elle tend vers+∞.
FAUX: contre-exemple :un=2− 1
n+1; (un) est croissante mais lim
n→+∞un=2
4. Si une suite tend vers +∞, alors elle n’est pas majorée.
5. Si une suite tend vers +∞, alors elle est crois- sante.
FAUX: contre-exemple :un=n+(−1)n.
• (−1)nÊ −1 doncunÊn−1 ; or lim
n→+∞(n−1)= +∞ donc lim
n→+∞un = +∞
(théorème de comparaison )
• Étudions les variations de (un) :
∀n∈N,un+1−un
=£
n+1+(−1)n+1¤
−£
n+(−1)n¤
=£
n+1+(−1)×(−1)n¤
−£
n+(−1)n¤
=n+1−(−1)n−n−(−1)n
=1−2×(−1)n=
(3 sinest impair
−1 sinest pair . La suite (un) n’est donc pas croissante.
6. Toute suite bornée est convergente (c’est-à-dire possède une limite réelle).
FAUX : contre-exemple :un =(1)n. (un) est di- vergente (pas de limite) mais est bornée par -1 et 1.
7. Toute suite croissante non majorée tend vers +∞.
VRAI: c’est un théorème du cours.
II
Justifier les limites suivantes avec la définition : 1. lim
n→+∞2n+3= +∞
SoitA>0 un réel quelconque. On veut montrer qu’il existeptel quen>p⇒2n+3>A.
Or 2n+3> A⇔n > A−3
2 ; tout entierp supé- rieur à A−3
2 convient.
2. lim
n→+∞−n+6= −∞
SoitA<0 un réel quelconque. On veut montrer qu’il existeptel quen>p⇒ −n+6<A.
Or−n+6<A A⇔n>6−A; tout entierpsupé- rieur à 6−Aconvient.
3. lim
n→+∞n2= +∞
Fait en cours!
4. lim
n→+∞6−n2= −∞
Soit A < 0 quelconque; on cherche p tel que n>p⇒6−n2<A.
Or : 6−n2< A ⇔6−A <n2⇔p
6−A <n (la fonctionx7→p
xest croissante sur [0 ;+∞]).
Tout entierpsupérieur àp
6−Aconvient.
5. lim
n→+∞5p
n= +∞
SoitA>0 un réel quelconque. On veut montrer qu’il existeptel quen>p⇒5p
n>A.
Or 5p
n > A ⇔25n > A2 (la fonction carré est croissante sur [0 ;+∞[); tout entierpsupérieur à A2
25 convient.
6. lim
n→+∞
n2+3
n+1 = +∞.
On cherchea,b etc tels que n2+3
n+1 =an+b+ c
n+1.
an + b + c
n+1 = (an+b)(n+1)+c
n+1 =
an2+(a+b)n+b+c n+1 . Page 1/3
Pour que cette expression soit égale à n2+3 n+1, les coefficients den2,net constant doivent être les mêmes au numérateur.
D’où
a=1 a+b=0 b+c=3
⇔
a=1 b= −1 c=4 Donc : n2+3
n+1 =n−1+ 4 n+1. n −1+ 4
n+1 > n −1 et lim
n→+∞(n−1) = +∞
(évident !) donc, d’après un théorème de com- paraison,
nlim→+∞
µn2+3 n+1
¶
= +∞. On verra une autre méthode bientôt.
III
L’exercice sera fait en cours !
IV Exercice un peu difficile
On considère la suite numérique (un) définie par :u0=1 et pour toutn∈N,un+1=2un+3 un+2 . 1. On posef(x)=2x+3
x+2 .
On obtient successivement :u0= 1 ;u1=f(1)= 5
3 ;u2=f µ5
3
¶
= 19
11 ;u3=f µ19
11
¶
= 71 41 2. f′(x)=2(x+2)−(2x+3)
(x+2)2 = 1
(x+2)2>0 donc f estcroissantesur ]−2 ;+∞[.
3. f(1)=5 3; f(p
3)=2p 3+3 p3+2 =
p3¡ 2+p
3¢ 2+p
3 =p
3 donc f³p 3´
=p 3. 4. Prouvons par récurrence que pour toutn∈N,unÊ1 :
• Initialisation: pourn=0,u0=1Ê1 donc la propriété est vraie pourn=0.
• Hérédité: on suppose que la propriété est vraie au rangn, doncunÊ1.
f est croissante sur ]−2 ;+∞[ doncf (un)Êf(1), c’est-à-direun+1Ê5
3>1 doncun+1Ê1.
La propriété est héréditaire.
D’après l’axiome de récurrence, la propriété est vraie pour toutn, doncunÊ1.
5. Démontrons que la suite est majorée parp 3.
• Initialisation: pourn=0,u0=1Ép
3 donc la propriété est vraie pourn=0.
• Hérédité: on suppose que la propriété est vraie au rangn, doncunÉp 3.
f est croissante sur ]−2 ;+∞[ doncf (un)Êf ³p 3´
, c’est-à-direun+1Êp
3 puisquef ³p 4´
=p 3 donc un+1Ép
3.
La propriété est héréditaire.
D’après l’axiome de récurrence, la propriété est vraie pour toutn, doncunÉp 3.
6. Montrons par récurrence que la suite (un) est strictement croissante en montrant que, pour tout n, un+1>unpour toutn.
• Initialisation:u1=5
3>1=u0doncu1>u0
• Hérédité: on suppose la propriété vraie pour un rangnquelconque doncun+1>un.
Comme f est croissante, f (un+1)> f (un) (conservation de l’ordre) doncun+2>un+1: la propriété est héréditaire.
Elle est donc vraie pour toutn: la suite (un) est croissante.
Page 2/3
7. On considère la suite (vn) définie par : pour toutn∈N, vn=un−p
3 un+p
3 .
(a) Montrons que la suite (vn) est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.
Pour toutn,vn+1=un+1−p 3 un+1+p
3=
2un+3 un+2 −p
3
2un+3 un+2 +p
3=
(2−p
3un+3−2p 3) un+2
(2+p
3un+3+2p 3) un+2
=(2−p
3)un+3−2p 3 (2+p
3)un+3−2p
3=(2−p
3)un−p
3(2−p 3) (2+p
3)un+p
3(2+p
3)=(2−p 3)¡
un−p 3¢ (2+p
3)¡ un+p
3¢= 2−p 3 2+p
3vn . On poseq=2−p
3 2+p
3=(2−p
3)(2−p 3) (2+p
3)(3−p
3)=(2−p 3)2 22−p
32 =4−4p 3+3
1 = 7−4p 3. (vn) est géométrique de raisonq=7−4p
3.
(b) Pour toutn,vn=v0qn= 1−p 3 1+p
3×
³7−4p 3´n
vn=un−p 3 un=p
3⇔vnun+vnp
3=un−p 3⇔p
3(vn+1)=un(1−vn)⇔ un=p
3×1+vn 1−vn
Par conséquent : un=p 3×
1+1−p 3 1+p
3ס 7−4p
3¢n
1−1−p 3 1+p
3ס 7−4p
3¢n
pour toutn.
Page 3/3
