Exercices sur les suites

Exercices sur les suites

1. Exercice 1 Déterminer la limite des chacune des suites suivantes : (a) un= 2 + 3

n (b) uⁿ= 2n²+ 3n

n²+ 4n (c) un= 2n−3

5n+ 1 (d) un= 2 + 5(−1)ⁿ

n (e) un=√

n²+ 1 (f) un=√

n²+ 1−n (g) un= 2ⁿ−7

3ⁿ+ 5 (h) un=√

n+ 1−√ n−1 (i) uⁿ= 0,6 + 0,6²+...+ 0,6ⁿ Solution

(a) lim

n→+∞

3

n = 0 et donc lim

n→+∞un= 2

(b) Il y a une forme indéterminée. On peut écrire : un=

n²

2 + 3 n

n²

1 + 4 n

= 2 + 3

n 1 + 4 n

et comme : lim

n→+∞2+3

n = 2et lim

n→+∞1 + 4

n = 1alors lim

n→+∞un= 2

(c) Pour toutn∈N:−1≤(−1)ⁿ≤1

d’où : −3≤2 + 5 (−1)ⁿ≤7 et finalement : −3

n ≤un≤ 7 n Or, lim

n→+∞

−3

n = 0 et lim

n→+∞

7 n = 0

On peut donc appliquer le théorème des gendarmes : lim

n→+∞un= 0

(d) Pour tout n∈N:n²+ 1≥n². Comme la fonction racine carrée est croissante sur [0; +∞[ on a :√

n²+ 1≥n. On sait que : lim

n→+∞n= +∞. Par comparaison : lim

n→+∞un= +∞ (e) Il y a une forme indéterminée. On peut écrire :

un= √

n²+ 1−n √

n²+ 1 +n

√n²+ 1 +n = 1

√n²+ 1 +n donc lim

n→+∞un= 0

(f) un= 2ⁿ

1− 7

2ⁿ

3ⁿ

1 + 5 3ⁿ

= 2

3 ⁿ

× 1− 7

2ⁿ 1 + 5

3ⁿ Comme lim

n→+∞1− 7

2ⁿ = 1, lim

n→+∞1 + 5

3ⁿ = 1 et lim

n→+∞

2 3

ⁿ

= 0 alors lim

n→+∞un= 0 (g) un=

√n+ 1−√

n−1 √

n+ 1 +√ n−1

√n+ 1 +√

n−1 = 2

√n+ 1 +√

n−1 donc lim

n→+∞un= 0 (h) un= 0,6×1−0,6ⁿ

1−0,6 = 3

2 ×(1−0,6ⁿ) donc lim

n→+∞un= 3 2

1

2. Exercice 2

La suite(un)est définie par : u0= 1 etun+1 = 1

2un+ 1, n∈N.

(a) En traçant dans un repère orthonormal les droites d’équation :y= 1

2x+ 1ety=x, construire sur l’axe des abscisses les 4 premiers termes de la suite.

Que peut-on conjecturer sur le sens de variation de la suite(un)et sur la majoration de(un)? (b) i. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,uⁿ≤uⁿ+1 <2

ii. Justifier la convergence de la suite(uⁿ) (c) Soit(vⁿ) la suite définie par :vⁿ= 2−un, n∈N

i. Exprimervn+1 en fonction de vnet en déduire la nature de la suite (vⁿ) ii. Calculer lim

n→+∞vn et lim

n→+∞un

Solution

(a) On trace les droites

O ~ı

~

u0

u1

u1

u2

u2

u3

u3

(b) i. 1)Initialisation u1 = 3

Pour n= 0 on a bien :u20≤u1 <2

2) Hérédité On suppose que la propriété est vraie pour un entier naturel k c’est-à-dire que :

uk≤uk+1<2. En multipliant par 1

2 et en additionnant 1 on obtient : 1

2uk+ 1≤ 1

2uk+1+ 1< 1

2×2 + 1soit uk+1 ≤uk+2 <2: la propriété est vraie pour k+ 1 ConclusionPour tout entier naturel n,un≤un+1 <2

2

ii. D’après la question précédente, la suite(uⁿ) est croissante et majorée donc convergente.

(c) i. Pour tout nde N,vn+1 = 2−un+1 = 2− 1

2un+ 1

= 1−1

2(2−vn) = 1 2vn

La suite (vn) est une suite géométrique de raison 1

2 et de premier terme v0= 2−1 = 1 ii. D’après la question précédente, pour tout nde N:vⁿ=v0×bⁿ=

1 2

ⁿ

Comme −1< 1

2 <1, lim

n→+∞vn= 0et lim

n→+∞un= 2 3. Exercice 3

Soit la suite(un) définie pour tout entier n≥2par : uⁿ=

1−1

4

×

1−1 9

×...×

1− 1 n²

(a) i. Construire un algorithme qui permette de calculer un pour tout entiern≥2

ii. Programmer puis, en utilisant le programme, conjecturer le sens de variation et le com- portement à l’infini de la suite (uⁿ)

(b) i. Démontrer que pour tout entiern≥2 on a :un+1= n(n+ 2) (n+ 1)²un

ii. Démontrer par récurrence que pour tout entiern≥2 :un= n+ 1 2n Prouver les conjectures émises à la question a.

Solution

(a) i. Voici un exemple d’algorithme Entrée Lire n

Initialisation Affecter àu la valeur 1 Traitement Pour ide 2 à n

Affecter àu la valeur u×

1− 1 i²

FinPour Sortie Afficher u

ii. La suite semble décroissante et converger vers 1 2 (b) i. un+1 =un

1− 1 (n+ 1)²

= n(n+ 2) (n+ 1)² un

ii. initialisation Pourn= 2 :u2= 3

4 = 2 + 1 2×2

hérédité On suppose que la propriété est vraie pour un entier naturel k≥2.

On a alors : uk+1 = k(k+ 2)

(k+ 1)² uk = k(k+ 2)

(k+ 1)² × k+ 1

2k = k+ 2

2(k+ 1) : la propriété est vraie pour k+ 1

Conclusion pour tout entier n≥2 :un= n+ 1 2n Pour tout entier n≥2 :un+1−un= −1

2n(n+ 1) ≤0la suite est décroissante

n→+∞lim un= 1 2

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