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D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php Fiche Exo Corrigé
I. Suites arithmétiques et géométriques.
1. Calculer : A = 1 + 3 + 5 + … + 301 et B = 1 + 1 3 + 1
9 + 1
27 + … + 1 6561 .
2. Le 6ième terme d’une suite géométrique de raison −3 est 243. Quel est le 11ième terme ? 3. Lesquelles de ces suites sont arithmétiques ? géométriques ? ni l’un ni l’autre ?
∀n∈IN, a. un = 5 + n b. un = 7 + n² c. un
=
8( )
2 n−1 d. un+1 −un = 12un4. Pour effectuer un forage, une entreprise présente le devis suivant :
Le 1ier mètre coûte 100 (unité monétaire non précisée), le 2ième coûte 120, le 3ième coûte 140 et ainsi de suite.
a. Combien coûtera un forage de 25 m ?
b. Quelle profondeur atteindra−t−on si on dispose d’un budget de 13 120.
5. u est la suite définie par u0 =0et 1
2 3
4
n n
n
u u
+ u
= +
+ . v est la suite définie par : ∀ n∈IN, 1 3
n n
n
v u u
= − + a. Montrer que v est géométrique.
b. En déduire vn puis un en fonction de n.
c. En déduire la limite de u quand n → +∞
II. Etudier la convergence des suites suivantes.
Déterminer la limite de la suite u dans les cas suivants : a. un = 1 + 1 4 + 1
4² + … + 1
4n b. ( 1)
1
n
un
n
= −
+ c. un = 2n- 1 3n d. un = cos n
n² e. 1
0
1 3
n n
u u
u
+ = −
= (raisonner par l’absurde)
III. Suites définies par une somme.
1. Ecrire à l’aide du symbole Σ : A = 2 + 3 + … n et B = 2×3 + 3×4 + … + 50×51.
2. Calculer les 4 premiers termes de la suite dans les cas suivants : a. un = 1 − 1 2 + 1
3 − 1 4 + … +
( 1)n1
n
− −
b. un= 1×2 + 2×3 + … + n(n+1) c. un = 1 + 3 + 5 + … + (2n+1) 3. u et v sont les suites définies pour tout entier naturel non nul, par :
un = 1
1+ n + 2
1+ 2n + 3
1+ 3n + … + n
1+n et vn = 1 1+n² + 2
2+n² + … + n n+n² a. Démontrer que pour tous les entiers naturels n et k tels que 1 ≤ k ≤ n, on a 1
1+ kn ≥ 1 1+n . b. En déduire que un ≥ n/2 et déterminer la limite de (un).
4. a. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, ½ ≤ vn ≤ n(n+1) 2(n²+1) . b. En déduire que la suite (vn) est convergente et préciser sa limite.
IV. Qui a raison ??.
On pose
(
20)
220
50 2500
( ) x
f x x
+ −
= .
1. A l’aide de la calculatrice (tableau de valeur ou lecture graphique), donner une valeur approchée de f(x) près de 0.
Conjecturer la limite de f en 0.
2. a. En développant
(
50+x20)
2, simplifier f(x).b. En déduire la limite de f au voisinage de 0.
3. Conclure
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1. A = 1+3+5+ … +301 = 1+301
2 ×151 = 22 801 et B = 1+1 3+ 1
9 + 1
27 + … + 1 6561 = (1
3)0+(1 3)1+(1
3)²+(1
3)3+ … +(1
3)8= 1 - (1/3)9 1 - 1/3
= 3/2(1 − (1/3)9)
2. u11 = u6 × q11−6 = 243×(−3)5 = −59 049
3. a. un = 5+n : un+1 − un = 5+n+1 − (5+n) = 1 donc u est arithmétique de raison 1
b. un = 7 + n² : u0 = 7, u1 = 8, u2 = 11 u1 − u0 ≠ u2 − u1 et u1/u0 ≠ u2/u1 donc ni arithmétique ni géométrique c. un = 8( 2)n−1 : un+1/un = 8( 2)n/8( 2)n−1 = 2 donc u est géométrique de raison 2
d. un+1 − un = ½ un ⇔ un+1 = 3/2 un donc u est géométrique de raison 3/2
4. Notons un le coût du nième mètre de forage. On sait que u1 = 100 et que u est arithmétique de raison 20
Le coût d’un forage de n mètres sera Cn = u1 + u2 + … + un . C1 = ½(u1 + un)×n avec un = 100 + (n−1)×20 = 80 + 20n donc Cn = (90+10n)n = 10n²+ 90n d’où C25 = 8 500
Pour quelle valeur de n a−t−on Cn = 13 120 ? Cn = 13 120 ⇔ 10n²+ 90n = 13120 ⇔ n²+ 9n − 1312 = 0
∆ = 81−4×(−1312)= 73²et donc n = (−9+73)/2 = 32 (n = (−9−73)/2 est impossible car n > 0)
5. u0 = 0 et un+1 = 2un +3
un +4 . v est la suite définie par : ∀ n∈IN, vn = un -1 un +3 vn+1 = un+1 -1
un+1 +3 = 2un +3 - un - 4
un +4 × un +4
2un +3 +3un +12 = un -1
5un +15 = (1/5)vn donc v est géométrique de raison 1/5 et v0= −1/3 On en déduit que ∀n∈IN , vn = −(1/3)(1/5)n
vn = un -1
un +3 ⇔ vn(un +3)−(un −1) = 0 ⇔ un(vn −1) = −3vn −1 ⇔ un = 3vn +1
1 - vn car vn≠ 1 puisque vn < 0 donc un = -(1/5)n +1
1 + (1/3)(1/5)n 0 < 1/5 < 1 donc quand n → +∞, (1/5)n → 0 et un → 1
Limites de suites.
un = 1 + 1 4 + 1
4² + … + 1
4n = 1 - (1/4)n+1
1 - 1/4 = (4/3)(1 − (1/4)n+1) 0 < ¼ < 1 donc (1/4)n+1 → 0 et un → 4/3 un = (-1)n
n + 1 : ∀n ∈IN, −1 ≤ (−1)n ≤ 1 et n+1 > 0 donc −1/(n+1) ≤ un ≤ 1/(n+1) or −1/(n+1) → 0 et 1/(n+1) → 0 donc un → 0
un = 2n- 1
3n = (2/3)n − (1/3)n 0 < 2/3 < 1 et 0 < 1/3 < 1 donc (2/3)n → 0 et (1/3)n→ 0 donc un → 0 un = cos n
n² : ∀n∈IN*, −1 ≤ cos n ≤ 1 et n²> 0 donc −1/n² ≤ un ≤ 1/n² or −1/n² → 0 et 1/n² → 0 donc un → 0
Suites définies par une somme.
1. A = 2 + 3 + … n = 2
i n
i
= i
= B = 2×3 + 3×4 + … + 50×51 =
50
2 i ( 1)
i
= i i
=
× + 2. un = 1 − 1
2 + 1 3 − 1
4 + … + (-1)n-1
n u1= 1 ; u2= 1 − 1 2 = 1
2 ; u3 = 1 − 1 2 + 1
3 = 1 2 + 1
3 = 5/6 ; u4 = 1 − 1 2 + 1
3 − 1 4 = 5/6
−1/4 = 7/12
un = 1×2 + 2×3 + … + n(n+1) u1= 1×2 = 2 ; u2=1×2 + 2×3 = 8; u3 = 1×2 + 2×3 + 3×4 = 20 u4 =1×2 + 2×3 + 3×4 + 4×5
= 40
un = 1 + 3 + 5 + … + (2n+1) u1= 1+3 = 4 ; u2= 1+3+5 = 9 ; u3 = 1+3+5+7 = 16 ; u4 = 1+3+5+7+9 = 25
3. a. 1 ≤ k ≤ n ⇔ n ≤ kn ≤ n²(en multipliant par n qui est > 0)
⇔ n ≤ kn ≤ n (car x → x est sur IR+)
⇔ 1+ n ≤ 1+ kn ≤ 1+n
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⇔ 1 1+ kn ≥ 1
1+n on va écrire cette inégalité avec k = 1, puis k = 2, puis k = 3, etc … jusqu’à k = n On a alors : 1
1+ n ≥ 1 1+n , 2
1+ 2n ≥ 2× 1
1+n , 3
1+ 3n ≥ 3× 1
1+n , etc … jusqu'à n
1+n ≥ n × 1 1+n en ajoutant membres à membres ces inégalités, on obtient : un ≥ 1
1+n (1+2+3+ … +n) cad un ≥ 1
1+n × n(n+1)
2 soit un ≥ n/2 quand n → +∞, n/2 → +∞ on en déduit que un → +∞
b. 2+n² ≥ 1+n²donc 2
2+n² ≤ 2× 1
1+n² , 3+n² ≥ 1+n²donc 3
3+n² ≤ 3× 1
1+n² etc … jusqu'à n+n² ≥ 1+n²donc n
n+n² ≤ n× 1 1+n² En ajoutant membres à membres ces inégalités, on obtient : vn ≤ 1
1+n² (1+2+3+ … +n) soit vn ≤ n(n+1) 2(n²+1) D’autre part, vn+1 − vn = (n+1)²
(n+1)+(n+1)² qui est évidemment positif, donc v est donc v est minorée par son premier terme v0
= ½
pour tout entier n, ½ ≤ vn ≤ n(n+1)
2(n²+1) ; Quand n → +∞, n(n+1)
2(n²+1) se comporte comme n²/2n² soit ½ donc n(n+1) 2(n²+1) → ½ On en déduit que vn → ½
