Montrer que les suites (an) et (bn) sont adjacentes

M1 Enseignement, 2019-2020. Analyse 2 Feuille 1 : s´eries num´eriques.

Vers les s´eries num´eriques et les s´eries enti`eres : quelques ´enonc´es de concours pour d´ebuter

I. Premier probl`eme de la premi`ere ´epreuve 2018 (extraits) Pour tout entier naturel nnon nul on pose

an=

n

X

p=0

1

p! etbn=an+ 1 n×n!. 1. Montrer que les suites (a_n) et (b_n) sont adjacentes.

2. Montrer que, pour tout entier naturelnnon nul, e−a_n= 1

n!

Z 1 0

(1−t)ⁿe^tdt (on pourra proc´eder par r´ecurrence).

3. En d´eduire que, pour tout entier natureln non nul, 0≤e−a_n≤ 1

n×n!

(on pourra ´etudier les variations de t7→(1−t)e^t). Que vaut la limite de la suite (a_n)? Donner une valeur approch´ee de eavec une erreur inf´erieure ou ´egale `a 10⁻³.

II.Premi`ere ´epreuve 2019 (extraits)

1. Montrer que, pour tout entier naturelnet tout nombre r´eel xdiff´erent de 1,

n

X

k=0

x^k= 1−xⁿ⁺¹ 1−x .

2. En d´eduire, pour tout entier naturelnnon nul et tout nombre r´eelx diff´erent de 1, une expres- sion de Pn

k=1kx^k−1.

3. Soit x∈]−1,1[. Montrer que la suite (Pn

k=1kx^k−1)n∈N^∗ converge et calculer sa limite.

III.Deuxi`eme ´epreuve 2019 (extraits)

1. Montrer que, pour tout entier naturelnnon nul et tout nombre r´eelx diff´erent de−1, 1

1 +x =

n−1

X

k=0

(−1)^kx^k+ (−1)ⁿ xⁿ 1 +x.

2. En d´eduire, pour tout entier naturelnnon nul et tout nombre r´eel x >−1, ln(1 +x) =

n−1

X

k=0

(−1)^kx^k+1 k+ 1+

Z x 0

(−1)ⁿ tⁿ 1 +tdt.

1

3. On suppose quex≥0. Montrer que|Rx

0(−1)^{n t}_1+tⁿ dt| ≤ ^x_n+1ⁿ⁺¹. En d´eduire la suite (Pn−1

k=0(−1)^{k x}_k+1^k+1)n∈N^∗

converge et calculer sa limite.

IV.Premi`ere ´epreuve 2015 (extraits)

A. Montrer qu’une suite minor´ee par une suite qui diverge vers +∞ diverge elle mˆeme vers +∞.

B.On consid`ere la suite (a_n)n≥1 d´efinie pour tout entier natureln≥1 par par a_n=

n

X

k=1

1 k 1. Montrer que

1 k+ 1 ≤

Z k+1 k

dt t ≤ 1

k pour tout entierk≥1.

2. En d´eduire que

an−1≤lnn≤an

pour toutn≥1 puis que la suite (a_n) diverge. Montrer que a_n∼lnn quandn→+∞.

S´eries num´eriques

V. Soient (u_n) et (v_n) deux suites de nombres r´eels ou complexes. On suppose que les s´eriesP u_n etP

vn sont convergentes. Montrer que la s´erie P

(un+vn) est convergente et que l’on a l’´egalit´e des sommesP+∞

n=0(u_n+v_n) =P+∞

n=0u_n+P+∞

n=0v_n.

VI.Th´eor`eme de comparaison pour les s´eries `a termes positifs et corollaires Soient (u_n) et (v_n) deux suites de nombres r´eelsstrictement positifs. On pose

S_n=u₀+· · ·+u_n et

T_n=v₀+· · ·+v_n. 1. a. Montrer que les suites (S_n) et (T_n) sont croissantes.

b. On suppose que v_n≥u_n>0 pour toutn. Montrer que si la suite (T_n) est convergente il en est de mˆeme de la suite (Sn) et que si la suite (Sn) est divergente il en est de mˆeme de la suite (Tn).

En d´eduire leth´eor`eme de comparaison:

On suppose quev_n ≥u_n>0 pour toutn. Si la s´erie P

v_n est convergente alors la s´erie P u_n est convergente et si le s´erie P

un est divergente il en est de mˆeme de la s´erie P vn. Que peut-on conclure si l’on ne suppose pasu_n etv_n positifs?

c. Application : On suppose que u_n >0 et qu’il existe α >1 tel que n^αu_n → 0 quand n→+∞.

Montrer queP

unconverge.

2. On suppose que les suites de nombres r´eels strictement positfs (un) et (vn) sont ´equivalentes.

a. Montrer que les s´eries P

u_n et P

v_n sont de mˆeme nature (c’est le th´eor`eme des ´equivalents pour les s´eries `a termes positifs).

b. Application : discuter, selon les valeurs de a > 0, la nature de la s´erie de terme g´en´eral 2

u_n=n²aⁿ/(n²+n+ 12).

VII. 1. Des s´eries aux suites : premi`ere ´epreuve 2009 On consid`ere la suite (u_n) d´efinie, pourn≥1, par

un= n!eⁿ nⁿ√

n et la suite auxiliaire (v_n) d´efinie, pourn≥2, par

v_n= lnu_n−lnun−1.

1. Exprimer simplementvn en fonction denet donner un d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 en 1/n de la suite (v_n).

2. En d´eduire que la s´erie P

v_n est convergente. Montrer alors que les suites (lnu_n) et (u_n) con- vergent.

VIII.Premi`re ´epreuve 2018 (voir aussi deuxi`eme ´epreuve exceptionnelle de 2014) On appelle suite dyadique toute suite (ak)k∈N^∗ o`uak∈ {0,1}. De plus :

• une suite dyadique (a_k) est dite impropre s’il existe un entier m ∈ N^∗ tel que a_k = 1 pour toutk≥m,

• une suite dyadique (ak) est dite propre si elle n’est pas impropre.

1. On suppose que (a_k) est une suite dyadique. Montrer que la s´erie de terme g´en´eral a_k2^−k est convergente. On note sa somme s(a) =P+∞

k=1ak2^−k. 2. Soit N un entier naturel non nul. Que vautP+∞

k=N2^−k? 3. V´erifier que s(a)∈[0,1].

4. Montrer que si (ak) est une suite dyadique propre, alors s(a)∈[0,1[.

5. Montrer que si (a_k) est une suite dyadique impropre, alorss(a) est un nombre dyadique, c’est

`

a dire de la formeb/2^p o`ub∈Zet p∈N.

IX.Comparaison s´erie-int´egrale, voir premi`ere ´epreuve 2006 et 2009 1. Soit α >0. Montrer que

Z n+1 n

dt t^α ≤ 1

n^α ≤ Z n

n−1

dt t^α,

la premi`ere in´egalit´e ayant lieu pour tout n≥1, la seconde pour tout n≥2.

2. Retrouver la nature des s´eries P ₁

n^α,α >0.

3. Trouver un ´equivalent simple (quand n tend vers l’infini) `a P+∞

k=n 1

k^α si α > 1 et trouver un

´

equivalent simple (quand ntend vers l’infini) `a Pn k=1 1

k^α siα≤1.

X. Vers les s´eries enti`eres

1. Rappeler le crit`ere sur les s´eries altern´ees et le principe de sa preuve.

2. Nature de P(−1)ⁿ n .

3. Rappeler la r`egle de d’Alembert pour les s´eries `a termes positifs.

3

4. Pour quelles valeurs du nombre r´eel x la s´erie P_xⁿ

n! est-elle absolument convergente, conver- gente, divergente? Mˆemes questions pour la s´erie P_xⁿ

n. XI.M´ethodes diverses

Nature des s´eriesP_lnn

n² ,P_{√ 1}

nlnn,P

ln(1 +^(−1)√_nⁿ),P _nⁿ

4ⁿn!,P

e^an2(1−^a_n)ⁿ³

4