2008-2009-Test 06 Tableaux de signes

Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php Test Seconde – Avril 2009

1

2^nd 3, 1h 29/4/2009

Interrogation :

équations ; inéquations ; tableaux de signes

Votre copie doit être propre et soignée. Il sera tenu compte de la rédaction dans la note finale.

Exercice n° 1 / 13 points

A- Résoudre dans R :

1) 3x² =2(x²+4) 2) ) 1 2 )(

3 ( ) 2 1

( ² x

x x

+ +

−

=

+

B- Résoudre dans R :

1) −2≤3x−7≤5 2) 6( 2) 2

3 +7 > −

− x x

C- Résoudre dans R :

1) 5) 0

3

(2x− ≥

x 2) ^{(2 1)(1 3 ) 0}

1 4

x x

x + − <

+ 3) 2 5

4 <

− + x

x 4) (x+3)² >4

Exercice n° 2 / 7 points

Voici le tableau de signes d’une expression P(x) :

x -∞ -2 3 -∞ P(x) + 0 - || + 1- Quelle est la ou les valeurs de x pour lesquelles …

a- P n’est pas défini ? b- P s’annule ? 2- Donner le signe de :

a- P(0) b- P(-100) c- P(2 541,68) 3- Résoudre P(x)>0

4- Représenter graphiquement une fonction qui admette ce tableau de signes.

5- Donner un exemple algébrique de fonction qui admette ce tableau de signes.

Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php Test Seconde – Avril 2009

2

Eléments de Correction :

équations ; inéquations ; tableaux de signes

Exercice n° 1 / 13 points

A- Résoudre dans R :

1) 3x²=2(x²+ ⇔4) 3x² =2x²+ ⇔8 x²= ⇔ = ±8 x 8

2)

2 2

( 1) ( 3)(1 ) ( 1) ( 3)(1 ) 0 ( 1) (1 ) ( 3) 0

2 2 2 2 2 2

3 4

( 1) 2 0 2

2 2 3

x x x x x x

x x x

x x

x ou x

 

+ = − + + ⇔ + − − + + = ⇔ +  + − − + =

   

⇔ +  − = ⇔ = − = 

B- Résoudre dans R : 1)

2 3 7 5

5 3 12

5 4

3 x x x

− ≤ − ≤

≤ ≤

≤ ≤

2) 3 ⁷ 6( 2) 6 2 ⁷ 6 3 ^{7 / 2 6 2}

2 2 9

x x x x x +

− + > − ⇔ + > + ⇔ <

C- Résoudre dans R :

1) 5) 0

3

(2x− ≥

x : à l’aide d’un tableaux de signes, on trouve que ] ; 0] [¹⁵; [

S= − ∞ ∪ 2 +∞ . 2) ^{(2 1)(1 3 )} 0

1 4

x x

x + − <

+ : à l’aide d’un tableaux de signes, on trouve que ] ¹; ¹[ ] ;¹ [

2 4 3

S = − − ∪ +∞ .

3) ^{4 4 2 5}( ) ^{3 6}

2 0 0

5 5 5 5

x x x x

x x x x

+ < ⇔ + − − < ⇔ − <

− − − − : à l’aide d’un tableaux de signes, on trouve que

] ; 2[ ]5; [

S= − ∞ ^∪ +∞ .

4) ^{(x+3)2 > ⇔ +4 (x 3)2− > ⇔2² 0} (^{x+ +3 2})(^{x+ − >3 2}) ⁰: à l’aide d’un tableaux de signes, on trouve que ] ; 5[ ] 1; [

S= − ∞ − ^∪ − +∞ .

Exercice n° 2 / 7 points

Voici le tableau de signes d’une expression P(x) :

x -∞ -2 3 -∞ P(x) + 0 - || + 6- Quelle est la ou les valeurs de x pour lesquelles …

a- P n’est pas défini en 3 b- P s’annule pour x = -2 7- Donner le signe de :

a- P(0) < 0 b- P(-100) > 0 c- P(2 541,68 > 0)

Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php Test Seconde – Avril 2009

3

8- Résoudre P(x)>0 : S= − ∞ −] ; 2[ ]3;^∪ +∞[

9- Voici une fonction qui admette ce tableau de signes :

10- On veut une valeur interdite en 3 : on pense donc à x-3 au dénominateur d’une fonction.

- Elle doit s’annuler en -2, donc on mets x+2 au numérateur.

- Prenons ( ) ²

3 f x x

x

= +

− : après étude de son signe, on peut conclure que cette fonction est une fonction qui admet ce tableau de signes.

2 3 4 5 6 -1

-2 -3

2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1 -2 -3 -4 -5 -6

0 1 1

x y