Test 04

(1)

Test

Tableaux de signes, 1h

Exercice 1 (12 pts)

Résoudre les inéquations suivantes :

A.

(

^{3 2}⁻ ^x

)(

⁵^x^{− <}³

)

⁰ ^B.^{6 5} ⁰

5 6 x x

− ≥

− C. ³

(

⁴ ¹

)

₀

5 2 x x

x + >

+ D. ³ ⁴ 3

3 2 x

+ ≥x

− E.

2 2

2 0 2 x x − ≤

+

Voici le tableau de signes d’une expression P(x) :

x -∞ -2 3 -∞ P(x) + 0 - || +

1- Quelle est la ou les valeurs de x pour lesquelles … a- P n’est pas défini ?

b- P s’annule ? 2- Donner le signe de :

a- P(0) b- P(-100) c- P(2 541,68) 3- Résoudre P(x)>0

4- Représenter graphiquement une fonction qui admette ce tableau de signes.

5- Donner un exemple algébrique de fonction qui admette ce tableau de signes.

(1) Donner un exemple graphique de fonction définie sur ℝ, qui s’annule deux fois et positive sur ℝ. (2) Donner un exemple graphique de fonction définie sur ℝ, croissante et négative sur ℝ.

(2)

Bref Corrigé Exercice 1 (12 pts)

Résoudre les inéquations suivantes : A.

(

^{3 2}⁻ ^x

)(

⁵^x^{− <}³

)

⁰

Ainsi, P(x) < 0 pour ] ; [ ] ;³ ³ [

5 2

x∈ − ∞ ∪ +∞ .

B. ^{6 5} 0 5 6

x x

− ≥

−

Ainsi, Q(x) n’est jamais positif, S= ∅.

C. ³

(

⁴ ¹

)

₀

5 2 x x

x + >

+

Ainsi, Q(x) > 0 pour ] ²; ¹[ ]0; [ 5 4

x∈ − − ∪ +∞ . x -∞ 3/5 3/2 +∞

3-2x + + 0 - 5x-3 - 0 + + P(x) - 0 + 0 -

x -∞ 6/5 +∞ 6-5x + 0 - 5x-6 - 0 + Q(x) - || -

x -∞ -2/5 -1/4 0 +∞

3x - - - 0 +

4x+1 - - 0 + + 5x+2 - 0 + + + Q(x) - || + 0 - 0 +

(3)

D. ³ ⁴ ³ ⁴ ^{3 3 2}

( )

⁹ ⁵

3 0 0

3 2 3 2 3 2 3 2

x x x x

+ ≥ ⇔ + − − ≥ ⇔ − ≥

− − − −

Ainsi, ³ ⁴ 3 3 2

x + ≥x

− pour [ ; [^{5 3} x∈ 9 2 .

E. ²

( )( )

2 2

2 0 0

2 2

x x

x

x x

− +

− ≤ ⇔ ≤

+ +

Ainsi,

2 2

2 0 2 x x − ≤

+ pour x∈ −[ 2; 2].

1- Quelle est la ou les valeurs de x pour lesquelles … a- P n’est pas défini en 3 (double barre) b- P s’annule pour x = -2

2- Donner le signe de : c- P(0) < 0 d- P(-100) > 0 e- P(2 541,68 > 0)

3- Résoudre P(x)>0 : S= − ∞ −] ; 2[ ]3;∪ +∞[

4- Voici une fonction qui admette ce tableau de signes :

On veut une valeur interdite en 3 : on pense donc à x-3 au dénominateur d’une fonction.

- Elle doit s’annuler en -2, donc on mets x+2 au numérateur.

- Prenons ( ) ² 3 f x x

x

= +

− : après étude de son signe, on peut conclure que cette fonction est une fonction qui admet ce tableau de signes.

x -∞ 5/9 3/2 +∞ 9x-5 - 0 + + 3-2x + + 0 - Q(x) - 0 + || -

x -∞ - ² 2 +∞

2

x− - - 0 +

2

x+ - 0 + + x²+2 + + + Q(x) + 0 - 0 +

2 3 4 5 6 -1

-2 -3

2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1 -2 -3 -4 -5 -6

0 1 1

x y

(4)

(1) La fonction suivante est définie sur ^ℝ, s’annule deux fois et est positive sur ^ℝ.

(2) La fonction suivante est définie sur ℝ, croissante et est négative sur ℝ.

2 3

-1 -2

2 3 4

0 1

1

x y

2 3 4 5 6 7

-1 -2 -3 -4 -5

-1 -2 -3 -4

0 1

1

x y