D´ efinition de l’´ equivalence

Equivalence

D´edou

Avril 2012

D´ efinition de l’´ equivalence

D´efinition

On dit que, quandx tend vers a∈R,f(x) est ´equivalent `ag(x) (ouf(x) est ´equivalent `ag(x)) si

x→alim f(x) g(x) = 1.

On peut noter ¸ca

f(x)∼_x→ag(x), ou, en sous-entendanta,

f ∼g.

L’exemple-phare

Proposition

Pourf d´erivable ena avecf⁰(a) non nul, on a f(x)−f(a)∼_x→af⁰(a)(x−a).

Exemple

sinx ∼_x→0 x.

Exo 1

Donnez un ´equivalent simple de lnxln 2 quand x tend vers 2.

Warning

Dans les mˆemes conditions, a-t-on

f(x)∼_x→af(a) +f⁰(a)(x−a)?

Oui mais c’est d´ebile, ¸ca ne porte pas le sens qu’on pourrait croire, ce n’est pas plus vrai que

f(x)∼x→af(a) + 3f⁰(a)(x−a) (sauf sif(a) = 0).

Equivalence et Taylor

Proposition

Pourf ind´efiniment d´erivable ena, quand x tend vers a, a)f(x) est ´equivalent au premier terme non nul de sa s´erie de Taylor ena;

b) en particulier, avec la notation ´evidente,f(x)−T_n(x) est

´equivalent au premier terme non nul du reste de la s´erie de Taylor.

Exemple

e^x−1−x− ^x₂² ∼_x→0 ^x₆³. Exo 2

Donnez un ´equivalent simple, pour x tendant vers 0 de cosx−1 +^x₂².