Probabilit´es et Statistiques

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Probabilit´es et Statistiques

Rapha¨el KRIKORIAN Universit´e Paris 6

Ann´ee 2005-2006

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(3)

Table des mati` eres

1 Rappels de th´eorie des ensembles 5

1.1 Op´erations sur les ensembles . . . 5

1.2 Applications entre ensembles . . . 6

1.3 D´enombrement . . . 8

1.4 D´enombrabilit´e . . . 11

2 Espaces Probabilisés et variables aléatoires 13 2.1 Espace probabilisé . . . 13

2.1.1 Tribus . . . 13

2.1.2 Probabilit´e . . . 15

2.1.3 Exemples . . . 17

2.2 Variables Al´eatoires . . . 24

2.2.1 Le cas particulier des v.a `a valeurs dans un ensemble fini ou d´enombrable . . . 25

2.2.2 Loi d’une variable al´eatoire . . . 26

2.2.3 Loi des variables aléatoires à valeurs dans un ensemble fini ou dénombrable . . . 27

2.2.4 Loi de variables al´eatoires admettant une densit´e . . . 29

2.3 Esp´erance d’une v.a. . . 30

2.3.1 Espérance d’une v.a. à valeurs dans un ensemble fini (ou dénombrable) . . . 30

2.3.2 Esp´erance d’une v.a. positive . . . 31

2.3.3 Esp´erance des v.a int´egrables . . . 32

2.3.4 Formule de transfert . . . 35

2.3.5 Application au calcul de densit´e . . . 40

2.4 EspacesL², variance et Bienaym´e-Tch´ebychev . . . 42

2.4.1 Variance . . . 44

2.4.2 Calculs de variance . . . 44

2.4.3 Inégalité de Markov et de Bienaymé-Tchebychev . . . . 48 3

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3 Vecteurs al´eatoires et Ind´ependance 51

3.1 Vecteurs al´eatoires . . . 51

3.1.1 Tribu bor´elienne de R^m . . . 51

3.1.2 Vecteurs al´eatoires . . . 52

3.1.3 Loi d’un vecteur al´eatoire . . . 52

3.1.4 Marginales . . . 53

3.1.5 Esp´erance et variance des vecteurs al´eatoires . . . 54

3.1.6 Formule de transfert . . . 56

3.1.7 Calcul de densit´e de vecteurs al´eatoires . . . 56

3.2 Variables al´eatoires ind´ependantes . . . 60

3.2.1 Cas des v.a `a valeurs dans un ensemble discret . . . 61

3.2.2 Cas des v.a admettant des densit´es . . . 63

3.2.3 Esp´erance des produits de v.a ind´ependantes . . . 63

3.2.4 Crit`eres d’ind´ependance . . . 66

3.3 Ev`enements ind´ependants . . . 68

4 Sommes de variables al´eatoires ind´ependantes 71 4.1 Lois des grands nombres dans le cas L² . . . 72

4.1.1 Loi faible des grands nombres . . . 72

4.1.2 Loi forte des grands nombres . . . 73

4.2 Th´eor`eme de la limite centrale . . . 75

4.2.1 Convergence en loi . . . 76

4.2.2 Fonctions caract´eristiques . . . 78

4.2.3 Démonstration du théorème de la limite centrale . . . . 83

4.3 Quelques remarques sur les diverses notions de convergence . . 85

5 Esp´erance conditionnelle 87 5.1 Probabilit´es conditionnelles . . . 87

5.2 Esp´erance conditionnelle : cas discret . . . 88

5.3 Cas des v.a admettant des densit´es . . . 91

5.4 Ind´ependance . . . 93

(5)

Chapitre 1

Rappels de th´ eorie des ensembles

Nous rappelons dans ce chapitre quelques notions élémentaires de théorie des ensembles.

1.1 Op´ erations sur les ensembles

Un ensemble est intuitivement une collection d’éléments. Etant donnés un ensemble E et un élément aon écrita∈E sia est un élément deE. Il existe un unique ensemble ne contenant aucun élément ; on le note ∅.

Si E et A sont deux ensembles on dit que F est inclus dans E ou que A est un sous-ensemble de E si tout élément de A est un élément de E et on

écrit A ⊂ E. On peut alors définir le complémentaire de A dans E qui est l’ensemble des éléments deE qui n’appartiennent pas àA. On le notera dans ce cours E −A ou A^c; cette dernière notation cesse d’être ambigüe si l’on suppose E fixé une fois pour toute, ce que nous ferons.

SiE est un ensemble, l’ensemble constitu´e des sous-ensembles deE s’appelle l’ensemble des parties de E et se note P(E).

Si (Ai)i∈I est une collection d’ensembles inclus dans E, la r´eunion desAi est l’ensemble S

i∈IA_i des a∈ E pour lesquels il existe i∈ I tel que a∈A_i. De mˆeme l’intersection des Ai est l’ensemble T

i∈IAi des a ∈ E pour lesquels a ∈ Ai pour tout i ∈ I. On dit que deux ensembles sont disjoints si leur intersection est vide. On dit que les ensembles A_i, i ∈ I constituent une partitionde l’enemble E si i) ils sont non vides, ii) leur union sur i∈I vaut E iii) ils sont disjoints deux `a deux (Ai ∩Aj =∅ si i6=j) ; on dit aussi que E est union disjointe des Ai, i∈I.

5

(6)

On a les formules

[

i∈I

A_i c

=\

i∈I

A^c_i,

\

i∈I

A_i c

=[

i∈I

A^c_i.

Si A1, . . . , An sont des ensembles on peut définir le produit cartésien de ces ensembles comme étant l’ensemble des n-uplets (a1, . . . , an) où a1 ∈ A1, . . . , an ∈ An. On note cet ensemble A1 × · · · ×An. Quand les Ai sont finis son cardinal est le produit des cardinaux des Ai.

1.2 Applications entre ensembles

Si A etB sont deux ensembles, une application associe à tout élément a deAun unique élément notéf(a) de B. On dit quef(a) est l’image deapar f. Un élément deB peut n’être l’image d’aucun élément deAou au contraire être l’image de plusieurs éléments de A. On dit qu’une application est injective si tout élément de B est l’image d’au plus un élément de A, surjective si tout élément de B est l’image d’au moins un élément de A et bijective si elle est injective et surjective. On note BÂ l’ensemble des applications deA dans B. QuandA et B son finis son cardinal vaut (#B)^#A.

Si E est un ensemble fixé, l’ensemble des parties de E est en bijection avec l’ensemble des applications de E dans l’ensemble à deux éléments {0,1}. Cette bijection est la suivante : à tout ensembleA⊂E on associe safonction caractéristiqueoufonction indicatrice 1A:E → {0,1} définie par 1A(e) = 1 si e ∈ A et 1_A(e) = 0 sinon. Réciproquement si f est une application de E dans{0,1}l’ensembleA dese∈E tels que f(e) = 1 est tel que 1A(·) =f(·).

En particulier, ceci d´emontre que quand E est fini le cardinal de P(E) est 2^#E.

Si A1, . . . , An sont des sous-ensembles de E on a 1A1∩···∩An =

n

Y

i=1

1Ai.

Sif est une application deE dans F on définit pour toutB ⊂F l’ensemble f⁻¹(B) comme étant l’ensemble dese∈Etels quef(e)∈B. (Cette définition a un sens même sif n’est pas inversible.) On dit quef⁻¹(B) est la pré-image deB par f.

On a toujours f⁻¹

[

i∈I

Ai

=[

i∈I

f⁻¹(Ai), f⁻¹

\

i∈I

Ai

=\

i∈I

f⁻¹(Ai), f⁻¹(A^c) =

f⁻¹(A) c

.

(7)

1.2. APPLICATIONS ENTRE ENSEMBLES 7 Attention le comportement par image directe n’est pas aussi bon.

Exercice i) Montrer que si A, B sont deux sous-ensembles de E on a 1−1_A∪B = (1−1_A)(1−1_B),

et en d´eduire que

#(A∪B) = #A+ #B−#(A∩B).

ii) En généralisant la formule précédente montrer que

#(A1 ∪ · · · ∪An) =

n

X

p=1

(−1)^p−1 X

1≤i1<...<ip≤n

#(Ai1 ∩ · · · ∩Aip).

Solution. i) Pour tout ensemble F ⊂E 1F^c = 1−1F. Donc

1−1A∪B =1A^c∩B^c

=1A^c1B^c

= (1−1A)(1−1B).

On a donc

1A∪B =1A+1B−1A·1B

=1A+1B−1A∩B. Or, pour tout ensemble F ⊂E

#F =X

e∈E

1F(e).

On a donc bien la conclusion.

ii) De fa¸con g´en´erale,

1−1A1∪···∪An =

n

Y

i=1

(1−1Ai), et donc

1−1A1∪···∪An = 1 +

n

X

p=1

(−1)^p X

1≤i1<...<ip≤n

1Ai1· · ·1Aip

= 1 +

n

X

p=1

(−1)^p X

1≤i1<...<ip≤n

1Ai1∩···∩A_ip, et en sommant sur e∈E on obtient bien la formule annonc´ee.

(8)

1.3 D´ enombrement

Cardinal d’une union disjointe finie. SiA1, . . . , An sont des ensembles finis disjoints deux `a deux tels que A1∪ · · · ∪=E alors E et fini et

#E =

n

X

i=1

#Ai.

Cardinal d’un produit. SiA1, . . . , Ansont des ensembles finis le cardinal du produit A1× · · · ×An est donn´e par

#(A1× · · · ×An) = (#A1)· · ·(#An).

Cardinal de l’ensemble des applications de A dans B. Si A et B sont des ensembles finis, l’ensemble des applications de A dans B est fini et

`a pour cardinal

#(B^A) = (#B)^#A.

Nombre d’injections entre deux ensmbles finis. SiA etB sont deux ensembles finis avec #A=p, #B =n, l’ensemble des applications injectives deA vers B a un cardinal ´egal `a

( 0 si #A >#B

n(n−1)· · ·(n−p+ 1) si p≤n.

En effet, supposons A = {a1, . . . , ap}; si p > n, il ne peut y avoir d’applications injective de A vers B, tandis que si p ≤ n, il y a n choix possibles pour la valeur f(a₁), n−1 choix possibles pour la valeur de f(a₂) (comme f est injective f(a2) ne peut pas prendre la mˆeme valeur que f(a1)) etc.

n−(p−1) =n−p+ 1 choix possibles pour f(ap)

C’est aussi le nombre de p-uplet (ordonn´es) (e₁, . . . , e_p) o`u e_i ∈E.

Nombre de bijections deA vers A. SiAest un ensemble de cardinaln, une application de A vers A est bijective si et seulement si elle est injective et par cons´equent le nombre de bijection deAvers A(on dit aussi le nombre depermutations de A) ´egale

n! =n(n−1)· · ·1.

(9)

1.3. D ´ENOMBREMENT 9 Cardinal deP(E). SiEest fini de cardinaln, le nombre de sous-ensembles deE est ´egal au nombre d’applications de E vers {0,1} et vaut donc

#P(E) = 2ⁿ.

Nombre de sous-ensembles de cardinalpd’un ensemble ànéléments.

SiE est un ensemble fini de cardinal n, le nombre de sous-ensemble de E de cardinal exactement p´egale

n p

=C_n^p = n(n−1)· · ·(n−p+ 1)

p! = n!

p!(n−p)!.

En effet, un sous-ensemble {a1, . . . , ap} de E peut être vu comme un p- uplet d’élément deE où l’on oublie l’ordre des éléments. Or, étant donnés p

éléments de E on peut former p! (nombre de bijections de {a₁, . . . , a_p} dans lui même) p-uplets. Ainsi, le nombre de sous-ensembles de cardinal p d’un ensemble à n éléments égale le nombre d’injection de l’ensemble {1, . . . , p} dans E (i.e le nombre de p-uplets de E) divisé par p!.

Une autre preuve de ce résultat est la suivante : considérons le polynôme (1 +X)ⁿ = (1 +X)· · ·(1 +X). Quand on développe le produit, on obtient une somme de produits de 1 et de X et on voit que le coefficient de X^p est

égal au nombre de fa¸cons de choisir péléments parmi n. Or, on sait d’après la formule du binôme de Newton, que le coefficient deX^p est C_n^p.

Cardinal et fonctions caractristiques SiA ⊂E on a

#A =X

x∈E

1A(x).

ExerciceUne urne contient N boules noires et M boules blanches.

i) On effectue n tirages sans remise. Quel est le nombre total de tels tirages ? Combien de tirages donnent x (x≤n) boules noires ?

ii) ) On effectue n tirages avec remise. Quel est le nombre total de tels tirages ? Combien de tirages donnent x (x≤n) boules noires ?

Solution.

On note {1, . . . , N} l’ensemble des boules noires et {N + 1, . . . , N +M} l’ensemble des boules blanches.

i) Un tirage sans remise est équivalent à la donnée d’une injection de{1, . . . , n} dans {1, . . . , N + M} (ou à une suite ordonnée, un n-uplet (x1, . . . , xn),

(10)

xi ∈ {1, . . . , N +M}). Il y a donc (N +M)· · ·(N +M − n+ 1) tirages sans remise.

Un tirage oùxboules noires sont tirées est équivalent à la donnée d’un sous- ensemble A de {1, . . . , n} à x élements (si on pense au tirage comme à une expérience, Aest l’ensemble des temps où le résultat de notre expérience est

“boule noire”) et de deux injections, une de A dans l’ensemble des boules noires, une seconde du compl´ementaire deA dans{1, . . . , n}dans l’ensemble des boules blanches : on a donc

n x

·N(N −1)· · ·(N −x+ 1)·M(M −1)· · ·(M −(n−x) + 1) choix possibles, c’est-`a-dire

n x

·N(N −1)· · ·(N −x+ 1)·M(M −1)· · ·(M −n+x+ 1) choix possibles.

Remarquons que la proportion du nombre de tirages sans remise o`uxboules noires sortent dans l’ensemble des tirages sans remise est

n x

·N(N −1)· · ·(N −x+ 1)·M(M −1)· · ·(M−n+x+ 1) (N +M)· · ·(N +M−n+ 1)

=

n x

· ^N_x

x!· _n−x^M

(n−x)!

N+M n

n!

=

N x

_M

n−x

N+M n

ii) Un tirage avec remise est équivalent à la donnée d’une application (pas nécessairement injective) de{1, . . . , n} vers{1, . . . , N +M} (ou encore d’un n-uplet (e1, . . . , en) de{1, . . . , N+M}ⁿ) ; il y a donc (N+M)ⁿchoix possibles.

Un tirage oùxboules noires sont tirées est équivalent à la donnée : d’un sous- ensembleAde{1, . . . , n}àxélements, d’une application (pas nécessairement injective) de A dans {1, . . . , N} (ou encore d’un x-uplet de {1, . . . , N}^x) et d’une application de{1, . . . , n} −A dans{N+ 1, . . . , N+M} (ou encore un (n−x)-uplet de {N + 1, . . . , N +M}). Il y a donc

n x

·N^x·M^n−x

choix possibles. Remarquons que la proportion du nombre de tirages avec

(11)

1.4. D ÉNOMBRABILIT É 11 remise oùx boules noires sortent dans l’ensemble des tirages avec remise est

n x

N^xM^n−x (N +M)ⁿ =

n x

p^x(1−p)^n−x, o`up=N/(N +M).

1.4 D´ enombrabilit´ e

D´efinition 1.4.1 Un ensemble est dit d´enombrable s’il est en bijection avec l’ensemble N des entiers naturels.

Nous étendrons cette définition en disant qu’un ensemble est dénombrable s’il est fini ou en bijection avec N.

De fa¸con plus concrète, un ensemble est dénombrable si on peut énumérer ses éléments.

Proposition 1.4.1 Si A et B sont deux ensembles.

a) S’il existe une injection de A dans B et si B est d´enombrable alors A est d´enombrable

b) S’il existe une surjection de A dans B et si A est d´enombrable, alors B est d´enombrable.

Théorème 1.4.1 a) SiA1, . . . , An sont des ensembles dénombrables, le produit A₁× · · · ×A_n est également dénombrable.

b) Si (Ai)i∈I est une famille dénombrable (c’est-à-dire I est dénombrable) d’ensembles dénombrables (pour tout i ∈ I, A_i est dénombrable) alors la réunion S

i∈IAi est ´egalement d´enombrable.

D´emonstration.—

a) On peut supposer A1 = . . . = An = N. Notons p1, . . . , pn les n premiers nombres premiers (p est premier s’il est divisble uniquement par 1 et par p) et considérons l’application qui à (l1, . . . , ln)∈ Nⁿ associe le nombre 2^l¹ · 3^l²· · ·p^l_nⁿ est une injection de Nⁿ dans N car la décomposition en facteurs premiers d’un nombre est unique. La proposition 1.4.1 a) permet de conclure.

b) Consid´erons l’application de N×N dans S

i∈IAi qui au couple (n, m) associe le m-ième élément de l’ensemble Ain où in est le n-ième élément de I. C’est une surjection. La proposition 1.4.1 b) donne la conclusion.

2 Corollaire 1.4.1 L’ensemble des entiers relatifsZet l’ensemble des nombres rationnels Q sont d´enombrables.

(12)

D´emonstration.—

L’ensembleZest dénombrable car l’application de l’ensemble dénombrable {1,−1} ×Ndans Z qui au couple (, n) associe le produitn est une surjection. De même,Qest dénombrable car l’application de l’ensemble dénombrable Z×(N− {0}) dans Q qui au couple (p, q) associe le rationnel p/q est une surjection.

2 On peut d´emontrer que

Théorème 1.4.2 L’ensemble des nombres réels R n’est pas dénombrable.

Corollaire 1.4.2 L’ensemble des nombres irrationnels n’est pas d´enombrable.

D´emonstration.—

Car sinon,Rqui est réunion deQ et de l’ensemble des nombres irrationnels serait dénombrable (comme union dénombrable d’ensembles dénombrables).

2

(13)

Chapitre 2

Espaces Probabilis´ es et variables al´ eatoires

2.1 Espace probabilis´ e

Un espace probabilis´e est la donn´ee

– d’un espace Ω que l’on appelle l’espace des états. Quand on modélise une situation concrète Ω est l’ensemble des états du système que l’on considère. Bien souvent cet espace est inaccessible à l’expérience ; – d’un sous-ensemble BdeP(Ω) qui estl’ensemble des évènements. Dans

une situation concrète c’est l’ensemble de tous les résultats d’expériences que l’on peut effectuer sur le système. En théorie des probabilités (donc quand on fait des mathématiques) cet ensembleBsera unetribuou encore (c’est équivalent) uneσ-algèbre (cf. définition 2.1.1 ;

– d’une probabilité P : pour tout évènement A ∈ B le réel P(A) est le degré de vraisemblance de l’évènement A; c’est un nombre compris entre 0 et 1. Mathématiquement, une probabilité est une application P:B → [0,1] vérifiant les propriétés décrites en dans la définition 2.1.2.

Nous pr´ecisons dans la suite les deux derniers points.

2.1.1 Tribus

Soit Ω un ensemble fix´e (l’espace des ´etats).

Définition 2.1.1 Une tribu ou encore une σ-algèbre de Ω est un ensemble de parties de Ω (donc un sous-ensemble de P(Ω), l’ensemble des parties de Ω) qui contient l’ensemble vide, est stable par passage au complémentaire et est stable par union dénombrable :

– ∅ ∈ B

13

(14)

– pour tout A∈ B on a A^c ∈ B

– pour toute famille dénombrable (A_i)_i∈^N d’éléments de B l’union [

i∈N

Ai

est ´egalement dans B.

Il est clair que Ω est toujours élément de la tribu (c’est le complémentaire de l’ensemble vide) et qu’une intersection dénombrable d’éléments de la tribu est encore dans la tribu (car∩î∈^NAi = (∪î∈^NA^c_i)^c).

Exemples

1) Si Ω est un ensemble quelconque on peut toujours d´efinir deux tribus : la tribu trivialequi est B ={∅,Ω}

la tribu totale qui est B=P(Ω).

2) Si Ω ={1,2,3} le sous-ensemble de P(Ω), B={∅,{1},{2,3},Ω} est une tribu de Ω.

3)(Exercice :)Si Ωest un ensemble le sous-ensemble deP(Ω)constitué des ensembles qui sont dénombrables ou dont le complémentaire est dénombrable est une tribu.

Sauf dans le cas où l’espace Ω est fini, les exemples précédents de tribus sont trop simples pour être utiles. La proposition donne un moyen très commode de construire des tribus non-triviales.

Proposition 2.1.1 Soit Ω un ensemble et S un sous-ensemble de parties de Ω (un sous-ensemble de P(Ω)) sans structure particulière. Il existe une unique tribu B qui contient S et qui est minimale pour cette propriété c’est-

`a-dire :

– (S ⊂ B) : pour tout A∈ S on a A∈ B

– (minimale) : si B⁰ est une autre tribu telle que S ⊂ B⁰ alors B ⊂ B⁰. On appelle B la tribu engendr´ee par la partieS et on la note (dans ce cours) B=B(S).

D´emonstration.—

Considérons l’ensemble E des tribusC de Ω tel que S ⊂ C. Cet ensemble Eest non vide puisqu’il contient la tribuP(Ω) et puisque S ⊂ P(Ω). Notons Bl’intersection des C quandC décrit E. C’est un sous-ensemble deP(Ω) qui contientS mais c’est également une tribu comme il est facile de vérifier (nous

(15)

2.1. ESPACE PROBABILIS É 15 recommandons au lecteur de vérifier ce point). Ainsi, B est une tribu contenant S et appartient donc à E. CommeB est l’intersection des C décrivant E on a pour toute tribu C contenant S l’inclusion B ⊂ C : ceci qui signifie que B est la plus petite trbibu contenant S.

2

2.1.2 Probabilit´ e

Définition 2.1.2 Si Ω est un ensemble et B est une tribu de Ω, une proba- bilité P est une application de B dans [0,1] telle P(Ω) = 1 et telle que pour toute famille dénombrable(A_i)_i∈^N d’évènements de B disjoints 2 à 2 on a

P

[

i∈N

Ai

=

∞

X

i=0

P(Ai).

où l’égalité précédente signifie la chose suivante : la probabilité P(∪i∈NAi) est égale à la limite de la suite croissante de nombres réelsPN

i=0P(A_i)quand N tend vers l’infini.( Cette limite existe toujours car la suite en question est croissante et born´ee.)

Remarque L’intérêt d’autoriser la stabilité par unions (intersections) dénombrables dans la définition d’une tribu permet de construire à partir d’évènements

simples des évènements beaucoup plus intéressants que ceux qu’on obtien- drait en ne supposant que la stabilité par unions (intersections) finies. En revanche, si on autorisait la stabilité par unions (intersections) quelconques on ne pourrait pas construire beaucoup de probabilités. La stabilité par unions (intersections) dénombrable est donc le bon compromis.

Mentionnons tout d’abord deux propriétés immédiates des probabilités : Proposition 2.1.2 Soit (Ω,B,P) un espace probabilisé.

a) Si A∈ B,

P(A^c) = 1−P(A).

b) P(∅) = 0

c)(Positivit´e) Si A, B ∈ B v´erifient A⊂B alors P(A)≤P(B).

d) Si A, B ∈ B alors

P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B).

(16)

D´emonstration.—

a) Il suffit d´ecrire Ω comme l’union disjointe finie Ω =A∪A^c : commePest une probabilit´e 1 =P(Ω) =P(A) +P(A^c).

b) suit de la formule pr´ec´edente et du fait queP(Ω) = 1.

c) On ´ecrit B comme l’union disjointe B =A∪(B∩A^c) etP(B) =P(A) + P(B∩A^c). Comme P(B∩A^c)≥0 on a bienP(B)≥P(A).

d) De l’union disjointe A∪B =A∪(B∩A^c) on déduit P(A∪B) =P(A) + P(B ∩A^c). Mais de l’union disjointe B = (B ∩A^c)∪(B ∩A) on obtient P(B) =P(B∩A^c) +P(A∩B). De ces deux égalités on déduit la formule d) 2 La preuve des propriétés qui suivent n’est pas difficile mais, à la différence de la démonstration des propriétés précédentes, ne pourrait se faire sans autoriser des unions dénombrables:

Proposition 2.1.3 a) Si Ai, i ∈ N est une famille croissante d’éléments de B dont l’union est A alors A ∈ B et la suite P(An) (qui est croissante bornée) converge vers P(A) :

n→∞lim P(An) =P(A);

b) Si Ai, i∈Nest une famille décroissante d’éléments de B dont l’union est A alorsA ∈ B et la suiteP(A_n) (qui est décroissante positive) converge vers P(A) :

n→∞lim P(An) =P(A);

c) Si Ai, i∈N est une famille dénombrable d’ensembles appartenant à B on a toujours (même si les Ai ne sont pas disjoints deux à deux)

P

[

i∈N

Ai

≤

∞

X

i=0

P(Ai),

(où le membre de droite de l’inégalité précédente qui est la limite de la suite croissante peut éventuellement être infini).

D´emonstration.—

a) Définissons les ensembles Bn, n ≥ 0 de la fa¸con suivante : B0 = A0, et pour n ≥ 1, Bn = An∩A^c_n−1. Les Bn constituent une famille dénombrable d’ensembles disjoints deux à deux d’éléments de B et on peut donc écrire

∞

X

k=0

P(Bk) = P

[

k∈N

Bk

.

(17)

2.1. ESPACE PROBABILIS ´E 17 c’est-`a-dire

N→∞lim

N

X

k=0

P(Bk) =P

[

k∈N

Bk

,

ou encore, puisque les Bk sont disjoints deux `a deux

N→∞lim P ^N

[

k=0

Bk

=P

[

k∈N

Bk

,

Mais N

[

k=0

Bk =AN,

∞

[

k=0

Bk =A ce qui ´etablit la preuve de a).

b) Il suffit de passer au compl´ementaire et d’utiliser a)

c) Pourω∈Ω d´efinissons l’entierν(ω) comme ´etant le plus petit entierk ≥0 pour lequel ω ∈ A_k. L’ensemble C_n des ω ∈ Ω pour lesquels ν(ω) = n est l’ensemble

Cn ={ω ∈Ω, ν(ω) =n}=An∩(An−1∪ · · · ∪A0)^c

qui est clairement dans B. Les ensembles C_n sont de toute ´evidence disjoints deux `a deux et leur union pour n ≥ 0 est ∪n∈NAn car pour tout ω dans

∪n∈NAn il existe un n tel que ν(ω) = n c’est-`a-dire il existe un n tel que ω∈C_n. On a donc

P

[

n≥0

An

=P

[

n≥0

Cn

=

∞

X

n=0

P(Cn),

et commeP(C_n)≤P(A_n) (puisqueC_n ⊂A_n) on obtient la conclusion du c).

2 Les deux propriétés précédentes a) et b) sont des propriétés decontinuité (dans un sens à préciser) des probabilités.

2.1.3 Exemples

Mesures de Dirac

Sur tout ensemble Ω muni d’une tribu B il est possible de construire des mesures de la fa¸con suivante : pour tout α∈ Ω définissons l’application δα : B → [0,1] qui à un ensemble A ∈ B associe le réel 1 si α ∈ A et 0

(18)

sinon. Cette application δα est une mesure de probabilité que l’on appelle la mesure de Dirac au pointα. Vérifions rapidement que c’est bien une mesure : déjà δα(Ω) = 1 puisque α ∈Ω ; par ailleurs si Ai ∈ B, i ≥ 0 est une famille dénombrable d’ensembles de la trbibu disjoints deux à deux on a

δα

[

i≥0

Ai

=δα(Ai), car :

– soitα appartient à∪i≥0A_i; mais alors il existe un i≥0 pour lequelα∈A_i et cet indice i est unique car les Ai sont disjoints deux à deux. L’égalité précédente se réduit à 1 = 1 ;

– soit α n’appartient pas à ∪i≥0A_i et de ce fait n’apartient à aucun desA_i : l’égalité se réduit à 0 = 0.

Probabilit´es sur un ensemble fini

Les espaces probabilisés les plus simples sont ceux où l’espace des états Ω est fini. On choisit en général comme tribu B l’ensemble P(Ω) de toutes les parties de Ω (qui est bien une tribu). C’est ce que nous ferons (car le cas oùB est une tribu plus petite que P(Ω) s’y ramène). Ceci étant, il reste

à définir la probabilité. Remarquons que tout ensemble A ∈ B = P(Ω) est fini (car inclus dans Ω qui est fini) et est par conséquent l’union (finie donc dénombrable) des singletons {a} oùa décrit A :

A = [

a∈A

{a}.

Comme cette union est disjointe et finie on a P(A) =X

a∈A

P({a}).

Si Ω ={c1, . . . , cn} et si on note pi =P({ci}) on a P(A) = X

i,ci∈A

pi.

Remarquons que les pi sont dans [0,1] et v´erifient

n

X

i=1

pi = 1.

(19)

2.1. ESPACE PROBABILIS É 19 En conclusion :dans le cas où Ωest fini, une probabilité Psur B=P(Ω) est déterminée par ses valeurs sur les singletons de Ω. Réciproquement si on se donnennombres réels positifsp1, . . . , pndont la somme vaut 1 (p1+· · ·+pn= 1) alors, l’applicationP:P(Ω)→[0,1] qui àA∈ P(Ω) associe le réel (dans [0,1])

P(A) = X

{i:ci∈A}

pi

est une probabilit´e

Exercice : Démontrer l’énoncé précédent.

Probabilités uniformes et lien avec la combinatoireUn cas important est celui où tous lespi, 1≤i≤n précédents sont égaux. Comme leur somme doit valoir 1 ceci signifie que p1 = · · · = pn = ¹_n. On dit dans ce cas que la probabilité Pest uniforme. On a alors, pour tout sous-ensemble A de Ω

P(A) = X

{i:ci∈A}

pi = #{i∈ {1, . . . , n}, ci ∈A}.1 n

soit

P(A) = #A

#Ω.

Ainsi, quand on travaille avec une probabilité uniforme sur un ensemble fini, déterminer la probabilité d’un évènement revient à calculer son cardinal : on voit apparaˆıitre le lien avec la combinatoire.

Exercice :On tire cinq cartes d’un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité d’obtenit un full c’est-à-dire deux cartes de même valeur et trois autres cartes de même valeur. On supposera chaque tirage équiprobable

Exercice : Une urne contient n boules noires et b boules blanches.

a) On effectue N tirages avec remises. Quelle est la probabilit´e d’obtenir x boules noires ?

b) Mˆeme question si les tirages sont sans remises.

On supposera les tirages ´equiprobables.

Jeu de n Pile ou Face On se propose de modéliser un jeu où l’on lancen fois une pièce (Pile/Face). De fa¸con équivalente un expérimentateur réalise n expérience le résultat de chaqu’une d’entre elles pouvant être positif (1) ou négatif (0). Il est naturel de décrire le jeu ou l’expérience précédentes de la fa¸con suivante : on choisit comme espace des états l’ensemble Ω de toutes les suites de longueur n constituées de 0 ou de 1. Une telle suite est donc un

(20)

n-uplet ω = (ω1, . . . , ωn) chaque ωi, 1 ≤ i ≤ n appartenant à l’ensemble à deux éléments {0,1}. Ainsi

Ω ={0,1}ⁿ,

et a 2ⁿ éléments. Nous choisirons comme tribu B = P(Ω), l’ensemble des parties de Ω (qui a donc 2²ⁿ mais cela n’a pas d’importance). Cette tribu nous permet de décrire des évènements. Par exemple l’évènement (A) “obtenir k Pile lors des n lancers” est décrit par l’ensemble A∈ B (Pile=1, Face=0)

A={ω= (ω1, . . . , ωn),

n

X

i=1

ωi =k.}.

L’évènement (B) “on tire au moins un Pile” est décrit par l’ensemble B ={ω= (ω1, . . . , ωn),∃i∈ {1, . . . , n} ωi = 1}.

L’évènement “(A) et (B)” est décrit par l’intersection A∩B, l’evènement

“non A” est décrit par A^c, l’évènement “A ou B” par A∪B etc.

Le choix de la probabilité sur notre ensemble est dicté par le jeu ou l’expérience que l’on modélise. Ainsi, on ne modélisera pas de la même fa¸con un jeu ou pile et face ont les mêmes chances de sortir qu’un jeu où pile a deux fois plus de chance de sortir que face. Dans le premier cas, il est naturel

1 de choisir comme probabilit´e Pla probabilit´e uniforme P(A) = #A

Ω = #A 2ⁿ .

Noter que la probabilité d’un évènement élémentaire “on a tiré la suite (1, . . . , n)” c’est-à-dire la probabilité du singleton {(1, . . . , n)} vaut 1/2ⁿ (ceci quel que soit 1, . . . , n). En revanche, dans le second cas, on définira la probabilité d’un évènement élémentaire{₁, . . . , _n)}comme étant (2/3)^k(1/3)^n−k oùk est le nombre de 1 dans la suite1, . . . , n.

Exercice : Calculer dans chacun des cas précédents les probabibilités des

´ev`enements A et B.

Le jeu infini de pile ou face

Nous présentons dans ce paragraphe la modélisation du jeu de pile ou face où l’on joue une infinité de fois. Il est naturel d’introduire comme espace des états l’ensemble Ω des suitesω = (ω1, ω2, . . .) où les ωi valent 0 ou 1. On a ainsi Ω = {0,1}^N^−{⁰^}. Un problème plus délicat est de trouver une tribu

1en fait cela sera encore plus naturel quand on aura d´efini la notion d’ind´ependance

(21)

2.1. ESPACE PROBABILIS ´E 21 raisonnable sur cet ensemble. On aimerait par exemple pouvoir d´ecrire un

´ev`enement du type : “en moyenne pile sort deux fois plus souvent que face”

qui de fa¸con ensembliste est l’ensemble des ω = (ω1, . . .) ∈ Ω pour lesquels la limite quandn tend vers l’infini de la suite

1 n

n

X

i=1

ω_i

existe et vaut 2/3. Un moment de réflexion montre que cet évènement n’appartient à aucune des tribus Fⁿ qui modélisent un jeu de n pile/face².

Nous définirons la tribu B sur Ω de la fa¸con suivante : la tribu B est la tribu engendrée (au sens de la proposition 2.1.1) par tous les évènements Ci,

Ci, ={ω ∈Ω, ωi =}, oùi décrit N− {0} et décrit{0,1}.

Il reste à présent à construire une probabilité sur B ce qui est assez délicat. Si on joue avec une pièce qui donne Pile (resp. Face) avec proba- bilité 1/2 il est naturel d’attribuer à tout évènement Ci, la probablité (1/2) (indépendamment de la valeur de) et il est également naturel de demander que la probabilité d’un évènement de la forme³

{ω∈Ω, ωi1 =1, . . . , ωir =r}=Ci1,1∩ · · · ∩Cir,r

soit égale à (1/2)^r. Il n’est en revanche pas du tout clair que l’on puisse attribuer à tout évènement de la tribuB une probabilité qui soitcompatible avec ces choix. En fait c’est possible :

Théorème 2.1.1 Il existe une unique mesure de probabilité P définie sur (Ω,B) telle que pour tous r ≥1, i1, . . . , ir ∈ N− {0}, 1, . . . , r ∈ {0,1} on ait

P(Ci1,1 ∩ · · · ∩Cir,r) = 1 2^r. Probabilit´e sur R

Il est important de savoir décrire des probabilités sur R, l’ensemble des nombres réels. L’espace des états est alors Ω =R et la tribu que l’on choisit est la tribu engendrée par les intervalles ouverts de R. On l’appelle la tribu borélienneet on la note Bor(R). Retenons la définition :

2On peut toujours consid´erer un jeu denpile/face comme un cas particulier d’un jeu infini de pile/face : Il suffit d’associer `a toute suite ω = (ω¹, . . . , ωⁿ) de {0,1}ⁿ la suite

˜

ω∈ {0,1}^N− {0}d´efinie par ˜ωⁱ=ωⁱ si 1≤i≤net ˜ωⁱ= 0 sii≥n+ 1

3Cet évènement décrit l’expérience suivante : au tempsi¹, . . . , i^r, on observe¹, . . . , ^r et on ne précise pas ce qui se passe aux autres temps

(22)

Définition 2.1.3 La tribu borélienne de R est la tribu engendrée par les intervalles ouverts de R.⁴. On la note Bor(R).

Exercice : Montrer que la tribu borélienne de R est également la tribu en- gendrée par les intervalles de la forme ]− ∞, a].

Solution: NotonsC la tribu engendr´ee par les intervalles de la forme ]−∞, a].

Remarquons pour cela que si ]c, d[ est un intervalle ouvert (c < d peuvent ˆetre infinis) on a

]c, d[=]− ∞, c]^c∩]− ∞, d[.

Mais ]− ∞, d[ s’´ecrit comme union d´enombrable d’intervalles de C : ]− ∞, d[= [

n∈N∗

]− ∞, d− 1 n].

Ainsi,Cétant une tribu (donc stable par union dénombrable) ]−∞, d[ appartient àC. Comme ]−∞, c] est dansC, l’intersection ]c, d[=]−∞, c]^c∩]−∞, d[

est également dans C (C est stable par complémentaire et intersections finies ou dénombrables). Nous avons donc démontré que la tribu C contenait les intervalles ouverts. Or, la tribu borélienne est la plus petite tribu contenant les intevalles ouverts. Par conséquent, Bor(R)⊂ C. L’inclusion récipoque se démontre de fa¸con similaire (c’est plus facile).

Exercice : 1) Montrer qu’un singleton {a} est bor´elien.

2) Montrer que Q l’ensemble des rationnels est bor´elien.

3) L’ensemble des irrationnels est-il bor´elien.

4) Montrer qu’un intervalle ferm´e [a, b] est bor´elien (on observera que [a, b] =

∩^p≥1]a− ¹_p, b+ ¹_p[.)

D´efinition 2.1.4 Si µ est une probabilit´e sur (R, Bor(R)) on introduit Fµ

la fonction définie par F_µ(x) =µ(]− ∞, x]). On appelle F_µ(·) la fonction de répartition de la mesure de probabilitéµ.

Proposition 2.1.4 La fonction Fµ : R → [0,1] d´efinie par F(x) = µ(]−

∞, x])

i) est croissante

ii) admet des limites en +∞ et −∞ qui valent :

x→∞lim F(x) = 1, lim

x→−∞F(x) = 0

4elle est ´egalement engendr´ee par les intervalles ou les intervalles de la forme ]− ∞, a]

ou encore les intervalles ferm´esetc.

(23)

2.1. ESPACE PROBABILIS É 23 iii) est continue à droite en tout point x∈R c’est-à-dire

t→x,x<tlim F(t) =F(x).

D´emonstration.—

i) Si x ≤y on a ]− ∞, x] ⊂]− ∞, y] et d’apr`es la proposition 2.2.1 c) on a bien µ(]− ∞, x])≤µ(]− ∞, y]).

ii) Pour tout suitexncroissant vers∞(resp. décroissant vers−∞) la suite de boréliens ]−∞, xn] est croissante pour l’inclusion (resp. décroissante pour l’inclusion) et leur union vaut Ω (resp. leur intersection vaut∅). Par conséquent d’après la proposition 2.1.3 a) (resp. b)) limn→∞µ(]− ∞, xn]) = 1 (resp.

limn→∞µ(]− ∞, xn]) = 0 ) ce qui d´emontre ii)

iii) Pour toute suitetndécroissante et convergeant versx, la suite de boréliens ]− ∞, tn] est décroissante et leur intersection vaut ]− ∞, x] ce qui démontre que limn→∞µ(]− ∞, tn]) =µ(]− ∞, x]).

2 Remarque : Attention, la fonction de répartition d’une mesure n’est pas toujours continue à gauche.Considérons en effet la mesure de Dirac en 0 que nous notons δ0 : par définition c’est la mesure qui à tout borélien A de R associe 1 si 0 appartient à A et 0 sinon ; on sait que c’est une mesure. Sa fonction de répartition est : F(x) = 0 si x < 0 et F(x) = 1 si x ≥ 0 (c’est une fonction en escalier) qui est bien continue à droite en 0 mais n’est pas continue à gauche en 0.

Le théorème qui suit (dont la démonstration dépasse le cadre de ce cours) permet de construire de très nombreuses mesures de probabilités sur la droite réelle munie de sa tribu borélienne.

Théorème 2.1.2 Si F : R → [0,1] est une fonction croissante, qui admet une limite nulle en −∞ et une limite égale à 1 en ∞, et qui est continue à droite en tout point de R alors il existe une unique mesure de probabilitéµ définie sur (R, Bor(R))qui admet F comme fonction de répartition.

Ce théorème illustre l’équivalence entre la notion de probabilité sur (R, Bor(R)) et celle de fonction de répartition.

Donnons un exemple fondamental et typique d’une telle construction : la fonction F définie par : F(x) = 0 si x < 0, F(x) = x si 0 ≤ x < 1 et F(x) = 1 si x ≥ 1 vérifie bien les hypothèses du théorème 2.1.2 et définit donc une mesure de probabilitéλque l’on appelle la mesure de Lebesguesur l’intervalle [0,1]. Si I est un intervalle de R on a

λ(I) = longueur(I∩[0,1]).

(24)

2.2 Variables Al´ eatoires

Définition 2.2.1 Une variable aléatoire réelle (en abrégé v.a) est une application X : Ω→ R telle que pour tout intervalle ouvert I de R l’ensemble X⁻¹(I) des ω ∈Ω tels que X(ω)∈I, appartient à B.

En fait

Proposition 2.2.1 Si X : Ω→R est une application alors les trois propo- sitions suivantes sont ´equivalentes

a) pour tout bor´elienA∈Bor(R) X⁻¹(A)∈ B. b) X est une variable al´eatoire ;

c) pour tout intervalleI de la forme I =]− ∞, a], X⁻¹(I)appartient à B; Démonstration.— Que a) implique b) et que b) implique c) est évident.

Démontrons donc que c) implique a). L’ensemble E des A ⊂ R tels que X⁻¹(A) ∈ B est une tribu (exercice). Or, cet ensemble E contient d’après c) les intervalles de la forme ]− ∞, a] et par conséquent la tribu engendrée par les intervalles de la forme ]− ∞, a]. Mais on sait, d’après l’exercice qui suit la définition 2.1.3, que cette tribu égale la tribu borélienne. Ainsi, pour tout borélien A,X⁻¹(A)∈ B.

2 Notation Dans la suite du cours, quand X est une v.a etA un bor´elien de R nous noterons {X ∈ A} ou [X ∈ A] ou (X ∈ A) l’ensemble {ω ∈ Ω : X(ω)∈A}.

La proposition qui suit permet de construire de v.a.

Proposition 2.2.2 a) Si Xn, n ≥ 1 est une famille de v.a alors Z = sup_n≥1X_n (resp. Z = inf_n≥1X_n) est une v.a

b) Si X1, . . . , Xn sont des v.a et f : Rⁿ → R est une application continue alors Z =f(X1, . . . , Xn) est une v.a

D´emonstration.—

a) Soit ω tel que sup_n≥1Xn(ω) > a. Alors par définition du sup, il existe un n pour lequel Xn(ω) > a et ω est donc dans l’union ∪n≥1{Xn > a}. Réciproquement si ω ∈ ∪n≥1{X_n > a} alors il existe n tel que X_n(ω)> a et a fortiorisup_nXn(ω)> a. Nous avons donc démontré que les deux ensembles {Z > a}et∪n≥1{Xn> a}sont égaux. Mais ce dernier ensemble est une union dénombrable d’éléments de la tribuB(car chaque Xi est une v.a). Ainsi pour

(25)

2.2. VARIABLES AL ÉATOIRES 25 toutal’évènement{sup_n≥1Xn(ω)> a}est dansBet il en est de même de son complémentaire {sup_n≥1X_n(ω)≤a}. La proposition ?? permet de conclure.

b) Si I est un intervalle de R, Z⁻¹(I) est l’ensmble des ω ∈ Ω tels que (X1(ω), . . . , Xn(ω)) ∈ f⁻¹(I). Comme f est continue, f⁻¹(I) est un ensemble ouvertdeRⁿ et, par consquent, est une union dénombrable de pavés ouverts c’est -à-dire d’ensembles P de la forme ]a1, b1[× · · · ×]an, bn[. Par conséquent l’ensmble des ω ∈ Ω tels que (X₁(ω), . . . , X_n(ω)) ∈ f⁻¹(I) est une union dénombrable d’ensembles de la forme{ω∈Ω,(X1(ω), . . . , Xn(ω)∈ ]a1, b1[× · · · ×]an, bn[} c’est-à-dire d’ensembles de la forme {ω ∈ Ω, X1(ω) ∈ ]a₁, b₁[, . . . , X_n(ω) ∈]a_n, b_n[} = X₁⁻¹(]a₁, b₁[) ∩ · · · ∩ X_n⁻¹(]a_n, b_n[) qui sont clairement dansB.

2 En particulier

Proposition 2.2.3 a) Si X : Ω → R est une v.a. et f : R → R est une application continue, alors la fonction Y : Ω → R d´efinie par Y = f ◦X (c’est-`a-dire Y(ω) = f(X(ω)) pour tout ω ∈ Ω) est encore une v.a. On la note Y =f(X).

b) Si X, Y sont deux v.a l’application Z = max(X, Y) est une v.a c) Si X et Y sont deux v.a, aX+bY est ´egalement une v.a.

2.2.1 Le cas particulier des v.a ` a valeurs dans un en- semble fini ou d´ enombrable

Il s’agit du cas où X(Ω) l’ensemble des valeurs prises par X est un ensemble fini ou dénombrable deR. Dans ce cas la caractérisation des variables aléatoires est plus simple :

Proposition 2.2.4 Si X : Ω → R est à valeurs dans un ensemble fini ou dénombrableE alors X est une variable aléatoire si et seulement si pour tout e∈E, X⁻¹({e})∈ B.

Démonstration.— Il s’agit de démontrer que pour tout intervalle ouvert de la forme ]a, b[ (avec a et b finis par exemple) l’ensemble des ω ∈ Ω tels X(ω)∈]a, b[ est dansB. On a alorsX(ω)∈]a, b[∩E. Mais ce dernier ensemble est au plus dénombrable et comme

X⁻¹(]a, b[) = [

e∈]a,b[∩E

X⁻¹({e}) on voit que X⁻¹(]a, b[) est dans B.

(26)

2 ExempleRevisitons l’exemple du jeu infini de Pile/Face : Ω ={0,1}^N etB est la tribu engendrée par les ensembles C_i,_i ={ω = (ω₀, . . .)∈ Ω, ω_i = _i}. Pourn ∈Nl’applicationXn:{0,1}^N → {0,1}qui àω = (ω0, ω1, . . .) associe ωn est une variable aléatoire. Il suffit en effet de vérifier que pour = 0 ou = 1 l’ensemble desω pour lesquelsω_n=appartient à B. Or, cet ensemble est le cylindre Cn, qui par définition est dans B. En fait, la tribu B a été construite de fa¸con que toutes les applications Xn : Ω → {0,1} (n ≥ 0) soient des variables aléatoires (c’est d’ailleurs la plus petite tribu ayant cette propriété).

Exercice On considère le jeu infini de Pile/Face (Ω,B,P) et on garde les notations de l’exemple précédent. Définissons pour tout ω ∈Ω, l’entier ν(ω) comme étant le plus petit entierk pour lequel Xk(ω) = 1 (en d’autres termes ν(ω)est le premier temps où on tire Pile). Démontrer que ν est une variable aléatoire.

Solution :Si{ν = 0}={X0 = 1}est dans B carX0 est une v.a et pour tout n∈N, (n ≥1)

{ν =n}={X0 = 0} ∩ · · · ∩ {Xn−1 = 0} ∩ {Xn= 1};

c’est une intersection finie d´el´ements de B (car, puisque chaque X_i est une v.a, les ensembles {Xi = 0}, 1≤i≤n−1 et {Xn= 1}^c sont dansB)

2.2.2 Loi d’une variable al´ eatoire

SoitX : Ω →Rune v.a. On sait que pour tout borélienAdeRl’ensemble X⁻¹(A) est un évènement (appartient àB). Il est donc possible de parler de la probabilitéP(X ∈A) de l’évènement {X ∈A}.

Proposition 2.2.5 L’application µX : Bor(R) → [0,1] qui à tout borélien de R associe le réel P(X ∈A) de [0,1] est une probabilité sur (R, Bor(R)).

On appelle cette probabilit´e la loide la v.a X.

Démonstration.— Il suffit de démontrer que si (Ai)i∈N est une famille dénombrable de boréliens deR disjoints deux à deux alors

P(X ∈ [

i∈N

Ai) =

∞

X

i=0

P(X ∈Ai),

ce qui est clair car l’évènement {X ∈ ∪î∈^NAi} est l’union dénombrable disjointe des évènements {X ∈ Ai}. Enfin la condition P(X ∈ R) = 1 achève la preuve.

(27)

2.2. VARIABLES AL ÉATOIRES 27 Il faut retenir que la loi d’une v.a est une probabilité sur R (muni de sa tribu borélienne). Ceci illustre le fait qu’il est possible de construire de nombreuses mesures de probablilités sur R muni de sa tribu borélienne.

2

2.2.3 Loi des variables al´ eatoires ` a valeurs dans un en- semble fini ou d´ enombrable

Si X : Ω → R prend ses valeurs dans un ensemble E = {e0, e1, . . .} qui est fini ou d´enombrable la loi µX de X est la mesure sur (R, Bor(R))

µX =X

e∈E

P(X =e)δe. En effet pour tout bor´elien (ou tout intervalle) A P(X ∈A) =P(X ∈A∩E) = X

e∈A∩E

P(X =e), et cette somme n’est rien d’autre que

X

e∈E

P(X =e)δe(A).

La loi deXest donc parfaitement déterminée par les réelspX(e) = P(X = e), (e∈E) et dans la pratique quand on demande de déterminer la loi de X on demande de calculer les réels pX(e) =P(X =e).

Quelques lois classiques de variables aléatoires à valeurs dans un ensemble fini ou dénombrable

Loi géométrique On dit qu’une v.a X : Ω → N (à valeurs dans N) suit une loi géométrique de paramètre a (0< a <1) si

P(X=n) = (1−a)aⁿ. On remarquera que l’on a bien P∞

k=0P(X =k) = 1 (P

k≥0a^k= 1/(1−a)).

La v.a ν de l’exercice de la section 2.2.1 suit une loi géométrique de paramètre 1/2. En effet

ν⁻¹(n) ={ω = (ω0, ω1, . . .)∈Ω, ω0 = 0, . . . , ωn−1 = 0, ωn= 1}

=C0,0∩ · · · ∩Cn−1,0∩Cn,1

et d’après le théorème 2.1.1

P(ν =n) = (1/2)ⁿ.(1/2).

(28)

Loi binomiale On dit qu’une variable al´eatoireZ `a valeurs dans{0, . . . , n} suit une loi binomiale (n, p) si

P(Z =k) = n

k

p^k(1−p)^n−k. o`u ⁿ_k

est le coefficient binomial n

k

=C_n^k = n!

(n−k)!k! = n(n−1)· · ·(n−k+ 1)

k! .

On a bien (formule du binˆome de Newton)P∞

k=0P(X =k) = (p+1−p)ⁿ= 1.

ExempleJouons n fois au jeu de pile/face où pile sort avec probabilitép et face avec probabilité 1−pet notonsZla variable aléatoire :Zest le nombre de pile qui sortent (après avoir jouénfois). Si on noteXi les variables aléatoires Xi(ω) =ωi (ω = (ω1, . . . , ωn)) on a

Z =X₁+· · ·+X_n.

C’est bien une variable al´eatoire Z : B → N `a valeurs dans l’ensemble fini {0, . . . , n} (B=P(Ω)) et

P(Z =k) = n

k

p^k(1−p)^n−k.

Loi de Poisson Une variable al´eatoire Z : Ω→N suit une loi de Poisson de param`etre λ >0 si

P(Z =n) =e^−λλ^k k!. On v´erifie encore que P∞

k=0P(X =k) = 1 (cf. le d´eveloppement en s´erie de e^λ).

Exercice Soit X_n une v.a suivant une loi binomiale (n, p_n). Montrer que si limn→∞npn =λ on a pour tout k∈N

n→∞lim P(X_n =k) =e^−λλ^k k!.

(On dit que Xn converge en loi vers une loi de Poisson de param`etre λ)

(29)

2.2. VARIABLES AL ´EATOIRES 29

2.2.4 Loi de variables al´ eatoires admettant une densit´ e

Définition 2.2.2 On dit que la variable aléatoire X : Ω → R admet une densité continue (resp. continue par morceauxetc.) si sa loi (qui est une mesure de probabilité sur(R, Bor(R))) admet une densité continue (resp. continue par morceaux etc.) c’est-à-dire s’il existe une fonction positive continue (resp. continue par morceauxetc.) ρ_X :R→[0,∞[telle queR∞

−∞ρ_X(t)dt= 1 et telle que pour tout intervalle ]a, b[

µX(]a, b]) =P(X ∈]a, b]) = Z b

a

ρX(t)dt.

Faisons une remarque importante : si une v.a. X admet une densit´e ρX

alors sa fonction de r´epartition

FX(x) =µX(]− ∞, x]) = Z x

−∞

ρX(t)dt

est continue. Il existe donc des variables aléatoires n’admettant pas de den- sité : par exemple une v.a X à valeurs dans R ne prenant que deux valeurs 0 ou 1 et telle queP(X = 0) =p avec 0< p <1 ne peut posséder de densité car sa fonction de répartition FX(x) vaut 0 si x <0, 1/2 si 0≤x <1 et 1 si 1≤x : elle est discontinue en 0 et en 1 (mais bien continue à droite).

Quelques exemples de loi admettant une densit´e

Loi uniforme La variable aléatoire X : Ω → R suit une loi uniforme sur l’intervalle [a, b] si sa densité est donnée par

ρX(x) = 1

b−a ·1[a,b]. On a bienρX(t)≥0 pour tout t etR

RρX(t)dt= 1. Cette loi est caract´eris´ee par

P(X ∈[c, d]) = 1

b−alongueur([a, b]∩[c, d]).

(En effet,

P(X ∈[c, d]) = Z

[c,d]

1

b−a ·1[a,b](x)dx

= 1

b−a Z

R

1[c,d](x)·1[a,b](x)dx

= 1

b−a Z

R

1[c,d]∩[a,b](x)dx.

(30)

Loi exponentielle de paramètre θ La v.a admet une densité ρX exponentielle de paramètre θ si

ρX(x) =θe^−θx1[0,∞[(x).

La fonction de r´epartition est FX(x) =

Z x

−∞

ρX(t)dt= (1−e^−θx)1[0,∞[(x),

et converge bien vers 1 en ∞. Intuitivement, la loi uniforme sur l’intervalle [a, b] modélise une expérience où la probabilité d’un point de tomber dans un intervalle de taille 2∆x, ]x−∆x, x+ ∆x[⊂ [a, b] ne dépend pas de x(et est linéaire en ∆x).

Loi normale N(µ, σ) C’est la loi de densit´e ρ_X(x) = 1

√2πσ²e^−(x−µ)²^/2σ². Il n’est pas compl`etement ´evident que R

RρX(x)dx = 1 (ce qui est indispen- sable pour que ρX soit une densité). Ceci résulte, après le changement de variable u= (x−µ)/σ de l’égalité (cf. *** pour une preuve)

Z ∞

−∞

e^−u²^/2du=√ 2π.

La loi normaleN(0,1), donc de densit´e,

√1

2πe^−x²^/2, est dite loi normale centr´ee r´eduite.

2.3 Esp´ erance d’une v.a.

2.3.1 Esp´ erance d’une v.a. ` a valeurs dans un ensemble fini (ou d´ enombrable)

Soit X : Ω → R une variable aléatoire ne prenant qu’un nombre fini de valeurs x1, . . . xr. On définit l’espérance de X comme étant le nombre réel

E(X) =

r

X

i=1

xi·P(X =xi).

(31)

2.3. ESP ÉRANCE D’UNE V.A. 31 Remarquons que siXprend ses valeurs dans un ensemble infini dénombrable la quantité

E(X) =

∞

X

i=1

xi·P(X =xi),

qui semble être un bon candidat pour la définition de l’espérance peut ne pas exister car la série peut ne pas converger. Pour garantir cette convergence il suffit de demander que la série précédente soit absolument convergente.

2.3.2 Esp´ erance d’une v.a. positive

Nous définissons dans cette section l’espérance d’une variable aléatoire X : Ω → R qui ne prend que des valeurs positives ou nulles. Pour cela on définit pour n≥1 la variable aléatoire Xn de la fa¸con suivante : on découpe [0,∞) en intervalles [0,1[, [1,2[,..., [n−1, n[, [n,∞) puis on redécoupe chacun des n intervalles [0,1[, [n −1, n[ en 2ⁿ intervalles d’égale longueur (on ne touche pas à [n,∞[) : on obtient n2ⁿ−1 intervalles de taille 2⁻ⁿ de la forme [k/2ⁿ,(k+ 1)/2ⁿ[ (0 ≤k≤n2ⁿ−1) ; on pose alors

Xn(ω) =n si Xn(ω)≥n

X_n(ω) = (k/2ⁿ) si X_n(ω)∈[k/2ⁿ,(k+ 1)/2ⁿ[.

Il n’est pas très difficile de vérifier que pour tout ω la suite de v.a Xn(ω) est croissante (et converge vers X(ω)) ; la suite de nombre réels E(Xn) est donc croissante (mais pas nécessairement bornée). On pose

E(X) = lim

n→∞E(Xn), où la limite précédente peut être finie ou infinie.

On peut d´emontrer

Théorème 2.3.1 L’espérance vérifie les conditions suivantes : a) si A∈B on a E(1_A) =P(A).

b) Si X, Y sont des v.a positives telle que X ≤ Y (c’est-`a-dire pour tout ω ∈Ω X(ω)≤Y(ω)) alors E(X)≤E(Y).

c) Si X, Y sont des v.a positives et a, b∈R on a (linéarité de l’espérance) E(aX+bY) =aE(X) +bE(Y).

d) Si X est une v.a positive telle que E(X) = 0 alors X est nulleP-presque sûrement c’est-à-dire que l’ensemble des ω∈Ωpour lesquels X(ω)>0a une probabilité nulle.

Notons que E(a) =a si a est une constante.

(32)

Remarque On dit qu’une propriété Pω qui dépend deω ∈Ω est vraie P- presque sûrement si l’ensemble des ω ∈ Omega pour lesquels P_ω est fausse est de P-probabilité nulle (P({ω:Pω fause}) = 0).

Mentionnons le théorème suivant qui permet de calculer l’espérance d’une v.a obtenue comme limite d’autres v.a

Théorème 2.3.2 (Théorème de convergence monotone) SiXnest une suite de v.a Xn : Ω→[0,∞] qui

i) est croissante : pour tout ω ∈Ω, Xn(ω)≤Xn+1(ω)

ii) converge vers X : Ω → [0,∞] : pour tout ω ∈Ω la suite Xn(ω) converge vers X(ω).

Alors,

a) l’application X : Ω→[0,∞] est une v.a ;

b) la suite E(Xn) converge vers E(X) (limn→∞E(Xn) =E(X)).

En particulier, si Yn est une suite de v.a positives ou nulles on a

E(

∞

X

n=0

Yn) =

∞

X

n=0

E(Yn)

(on peut intervertir le signe de sommation infini et l’esp´erance).

2.3.3 Esp´ erance des v.a int´ egrables

Nous pouvons définir à présent l’espérance de v.a qui ne sont pas nécessairement positives. Pour cela, on constate que toute v.a X : Ω → R peut s’écrire comme différence de deux v.a positivesX⁺etX⁻: si on poseX⁺= max(0, X) etX⁻= max(0,−X) on a bien queX⁺, X⁻sont des v.a à valeurs positives et queX =X⁺−X⁻. Il est donc naturel de définirE(X) comme étant la quan- titéE(X⁺)−E(X⁻). Cependant, siE(X⁺) etE(X⁻) valent∞on obtient de cette fa¸con une expression indéterminée de la forme∞−∞. Pour que la quan- titéE(X⁺)−E(X⁻) ait un sens il faut donc queE(X⁺)<∞etE(X⁻)<∞ (c’est-à-dire soient des quantités finies). Ceci est équivalent (puisqueE(X⁺) etE(X⁻) sont positives ou nulles) au fait que E(X⁺) +E(X⁻)<∞. Or il est facile de voir que

X⁺+X⁻=|X|,

et la quantit´e E(X⁺) + E(X⁻) est finie si et seulement si E(|X|) l’est.

R´esumons :

Définition 2.3.1 SiXest une v.a telle queE(|X|)<∞on définit l’espérance de X comme étant

E(X) =E(X⁺)−E(X⁻),